高考空间向量与立体几何真题答案

1、2014高考真题答案：1、C （考查空间几何体，正方体中的想象绘图能力）2、C （考查圆柱体的体积）3、B（考查三角形中内切圆半径的计算）4、A （考查正方体中的体积计算）5、D （考查在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图）6、B （考查异面直线所成的角，三垂线4 / 8定理）7、B （考查直线与平面关系的定理） 空间向量求解角度，或采用余弦定理？）8、D （考查直线与直线间的垂直）9、B （考查利用10、D （考查正棱柱的外接球体积的算法）11、A（考查正四棱锥外接球的表面积）12、A （考查正方体中角度成 60°锥体的体积）14、A （考查空间向量的数量积）15、D

2、（考查投影）的直线）13、B （考查圆16、C （利用空间向量求异面直线所成角度）17、33 （考查圆柱的侧面积和体积）218、19、arctan 2v2 (考查圆锥的侧面积）20、(2).3一一 （考查直线与平面平行的证明，以及空间向量坐标法）8版权文档，请勿用做商业用途21、（1）省略（2） W33. 10 、一 （3）（主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线10与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力）22. (2)11一(3)71（考查面面平行，棱4锥的体积计算，二面角）版权文档，请勿用做商业用途1、【

3、答案】：C【解析】：如图所示，原几彳5体为三棱锥D - ABC ,其中 AB =BC =4,AC =4J2,DB = DC =2瓜DA 二J(4 而 +4=6,故最长的棱的长度为 DA = 6,;加工前的零件半径为3, ;加工后的零件，左半部2、C高 6,.体积 v1 = 9 ti?6 = 54 支.为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半径为3,高为2.:体积 v2 = 4n ?4+9 n？2= 34 支.：削掉部分的体积与原体 积之比=54）-34汽=10.故选C.54 n 275、DE答寡】Dr 解析】试题分析在坐标系中标出已知的四个就，根据三视图的画困扰则判断三棱辕的正艇为与幅视图为

4、,故选EL$9、B设边长为1,分别以CD,CB,CC1为x, y,z轴建立坐标系，设P(Q0, m), m G 0,1,则1 1O(-,-,0), B(0,1,0), D(1,0,0), A (1,1,1).面ABD法向重为 n = (x, y,z),则,1 1BDHaDALWt'mme15, 口 人',' nOPnBD = nBD = 0,斛得一个 n = (1,1,-1).sin oc=| cos< n, OP >=|n|OP|2(1+ m)2三 2+m2、亚1+ 2m2)匕,1.选B4 、，冗选D310、D设球的半径为 r”(2r)2= 12 + 12

5、+(J2)2 = 4，解得 r= 1,： V = 4冗312A*A闿喉/*心酎0 k之2 = “M13、B解析】试题分析】设壁底面圆的半径为一 禹为由，依也需，£ =（加尸，!加，=/（加/儿所以L开即I*的近似偎为9I械选B.37514、丁 AB?AP=| AB|?|AP|cos< AB,AP>= 1?1= 1 .只有一个值 选A1解析】试题分析三糠椎口-用呢在平面rf上的投影为所以m=2,设。在平面内2、w以平面上的投影分别为白土、口、.则。-H此在平面工、定4上的投函分别为息90口1、AQ4R,因为马4(L*历，所以-国二叵故选D，1516、 C如图，分别以CiB,

6、 GA, CiC为X,Y,Z轴，建立坐标系。令 AC= BC=GC=2,则A(022),B(2,0,2),M (1,1,0),N(Q1,0).； BM = (-1,1,-2) ,AN = (0,-1,-2)。BM ?AN 0-1+430 也生心cos 9=_= L L =.故选C.|BM|?|AN|.651017、 ra ' " 3【答案】- 2【解析】设甲乙两个圆柱的底面和高分别为小用，5 则2町肉=2加我.=- *又 %气萨寺/吗弓则【考点】圆柱的侧面积与体积.181答案】20、(第16题)C; Sw = 3s底< ?Jr2+h2 = <2,化简得 Jr2 +

7、 h2 = 3r22h 斛得8r = h ,即 tan 0= = 272, 0= arctan2V2 r所以，是 arctan2.2 20. (1)设AC的中点为 G 连接EG。在三角形 PBD中，中位线 EG/PB,且EG在平面AEC上，所以PB平面AEC.版权文档，请勿用做商业用途(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则.31 一A(0,0,0),D( .3,0,0), E(一,0, 一),C( .3,m,0).22-.31-AD = (、. 3,0,0), AE = (一 ,0, 一), AC = ( . 3, m,0).22设平面 ADE 法向量为 n1 =

8、 (x1, y1, z1),则 n1AD = 0,n1 AE = 0,解得一个 n1 = (0,1,0).同理设平面 ACE法向量为 n2 = (x2, y2, z2)，则n2 AC = 0,n2 AE = 0,21、【答案】解得一个 n2 = (m,-3,- 3m). 冗 I / n2?n2 |<31 布数曰 3- cos - =| cos< n2 ,n2 >|= -= ,用牛仔 m = _.3 12 皿|?巾2|m2+3+3m22,2EF 1 一设F为AD的中点，则PAEF,且PA=一，EFL面ACD, 2211 1 31. 3即为三棱锯 E-ACD 的局., Ve-ac

9、d = 一？S 儆cd ?EF = -?-?- ?3? = 一.33 2 22833所以，三棱锥E-ACD的体积为o 86 / 8,3(1)省略 (2)3(方法一)3, 10 10依题意，以点 A为原点建立空间直角坐标系(如图) ，可得B(1,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0)的中点，得E(1,1,1).(I)证明：向量 BE= (0,1,1),Dc =(2,0,0),故BE DC = 0.所以，BEXDC.(n)解：向量 BD= (- 1,2,0),PB= (1,0,- 2).,P(0,0,2).由 E 为棱 PC4 z 、一，一口 n * BD = 0 及 x+ 2y= 0,

10、设3= (x, y,z)为平面PBD的法向重，则(_ _h、即?n PB = 0?x- 2z= 0.不妨令y = 1,可得n = (2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有cos. n,BEn >BE12 / 8所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3(出)解：向量BC= (1,2,0),CP= (- 2,- 2,2), AC= (2,2,0), AB = (1,0,0).由点f在pc上，设CF = l CP,故BF =BC+ CF= BC+ l CP= (1- 2l ,2- 2l ,2l ).由 BFXAC，得 BF AC = 0,因此，2(1- 2l )+ 2(2- 2l

11、) = 0,解得l = 3 .即41 1 3 :,<2 2 2；设n1 = (x, y,z)为平面FAB的法向量，则n,AB=01Sn *BF =0=0,1y+3z=0.22不妨令z = 1,可得n1 = (0,- 3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2 =(0,1,0),则易知，二面角F - AB- P是锐角，所以其余弦值为3.10103.1010（方法二）（I）证明：如图，取PD中点M ,连接EM , AM .1由于E,M分别为PC,PD的中点， 故EM DC ,且EM二一DC ,2又由已知，可得 EM / AB且EM = AB,故四边形 ABEM为平行四边 形，所

12、以BE / AM .因为PA A底面ABCD，故PA A CD ,而CD A DA ,从而CD AAM i 平面 PAD，于是 CD a AM ,又 BE / AM，所以 BE a CD.平面PAD ,因为d）解：连接BM ,由（I）有 CD A平面PAD，得CD A PD ,而EM / CD ,故 PD a EM .又因为AD = AP , M为PD的中点，故PD a AM ,可得PD a BE ,所以PD a平面BEM ,故平面BEM a平面PBD .所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM ,而BE a EM ,可得DEBM为锐角，故DEBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD

13、 = 2J2，而M为PD中点，可得AM = J2 ,进而 BE = J2 .故在直角三角形 BEM中，tan? EBMEM AB 1=7，因此sin ? EMBBE BE 2所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为-y .（出）解：如图，在DPAC中，过点F作FH / PA交AC 于点H .因为PA a底面ABCD，故FH a底面ABCD ,从而 FH a AC .又 BF a AC ,得 AC a 平面 FHB ,因此 AC a BH .在底面ABCD内，可得CH = 3HA，从而CF=3FP .在 平面PDC内，作FG / DC交PD于点G ,于是DG = 3GP.由于DC / AB ,

14、故GF / AB ,所以A,B,F,G四点共面.由 AB a PA , AB a AD ,得 AB a 平面 PAD，故 AB a AG .所以DPAG为二面角F - AB - P的平面角.在 D PAG 中，PA= 2 , PG = - PD = , ? APG 45° ,42由余弦定理可得 AG = -0 , cos? PAG 2亚.所以, 10面角F - AB - P的斜率值为3 101022、( I)证：因为 BQ / AA , BC / AD , BC n BQ = B , AD n AA = A ,所以平面 QBC/平面A1AD ,从而平面 A1CD与这两个平面的交线相互

15、平行，即 QC / A1D ,故AQBC与 M1AD的对应边相互平行，于是 AQBC s &AAD ,BQ BQ BC 1所以=,即 Q 是 BB1的中点.BB1 AA1AD 2(n )解：如图1,连接QA , QD ,设AA = h ,梯形ABCM高为d ,四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为 V上和V下，BC = a ,则AD = 2a .图11 1 一. .1 .一1a 2a ,1 j 1 ,Vqwad= 2ah d = ahd , Vqbcd=-d(_ h) = ahd，3 23322473 .所以 V下=Vq d AD +VQ “BCD =12 ahd，又 VA1B&#

16、163; Di MBCD = 2 ahd， -37 . . 11 .一 V卜 11所以 V± =VA1B1C1D1 7BCD - VT = ahd - ahd = ahd，故 二三21212V 下7(m)解法1如图1,在MDC中，作 A已DC，垂足为 E,连接 AE,又D已AA,且AA AAE=A 所以D已平面AEA,于是D已AE.所以/ AEA为平面a与底面 ABC所成二面角的平面角.因为BC/ AD, AD=2BC所以S&DC = 2S&BC .又因为梯形ABCD勺面积为6, DC=2,所以 S聋DC = 4 , AE=4.AA1二于是tan/AEA1 =- =1, ZAEA1 =.版权文档，请勿用做商业用AE4途故平面a与底面ABC断成二面角的大小为 .4解法2如图2,以D为原点，DA, DD-分别为x轴和Z轴正方向建立空间直角坐标系.设/CDA =6. a 2a2因为 Sabcd =土上，2sin6 = 6 ,所以 a,2sin 1从而 C(2cosB,