高中数学中的数形结合思想

1、优秀学习资料 欢迎下载第十四讲数形结合思想基础知识点：1 .数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究 图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时 少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2 .数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识 的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法， 可以有效提升思维品质和数学技能。3 . “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的

2、考查，考查时要与数学知识相 结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为 用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4 .函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。5 .在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数 形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千 般好，数形分离万事休”。经典例题剖析lx ,

3、 X 1,r(1 ) (2007浙江)设f(x)=g(X)是二次函数，若f(g(x)的值域是0,f ),则g(X)的值域是()A.-1 】IJ 1, 400 )C. 0,400 )解析：因为g(X)是二次函数,X, X 1,b. (-0, -1 】U b,400)D. 1,)值域不会是a、b,画出函数y = f (x)的图像(图1)易知，当g(x)值域是 此i )时，f(g(x)的仁政域是),答案：Co点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点，考题多以小题形式出现。(2) (2007黄冈模拟)平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1) = (x 2y+3)2表示椭圆，则

4、实数m的取值范围是()优秀学习资料欢迎下载_ ,x2 (y 1)2中k=-1时无解，k丰一1时,x =-1-1;A. (0, 5)B. (1, +)C. (0, 1) D. (5, +)解析：分析方程的结构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到直线的距离：师尸y不鼻”,=W (0,1)时表示椭圆，解得 m5,故选Do, m.5点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。2,设A=x|x|=kx+1,若AA R +=4 ,A ni-w力求实数k的取值范围.解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标，结

5、合图形知(如图 2),当直线y=kx+1在角“范围内时，方程有负根，且没有正根，故k1 .“,x ：0解法2:由题意须士有解,-x = kx 1I无解.x 二 kx 1A, B, C的个数(不同的顺序图31中k=1时无解k才0时,若乂=0即kc1,则有解，1 -k所以，k1.k的几何意义易得解,点评：解法1中，把方程解的讨论问题转化为两个函数图像交点的问题，利用 这是最常用的方法，较之法 2要简捷得多，体现了数形结合的优越性。3.设集全 aUbUc =1,2,3,4,5,且 APlB=1,3,求有序集合组算不同的组)。解析：借助文氏图(图 3)可知，三个集合 A、B、C把全集U分成 八个部分，

6、需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中 五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。按1、3是否属于C分四类：(1)1、3 更 C; (2)1 C C 且 3 e C;(3)3 C C 且 1 正 C; (4)1 3 C共有53X4=500种。点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。24cos x -3 _ 0tan x -1 ： 0分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图4）求解，先求出一个周期上的解再写出全部。解答: .24cos x -3 - 0tan x -1 ：二 033 :icosx 取 cosx 一=2tan x ： 1,3y

7、5 二66x7 二兀6图464JI由图得解集为:x | k ：_ x _ k 二(k Z)66点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效。5.已知xy0,并且4x 2 -9y 2 =36 .由此能否确定一个函数关系y=f（x） ?如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.分析：4x 2 -9y 2 =36在解析几何中表示双曲线白方程，反映了变量x、y之间的对应关系，但还不一定是函数关系，函数中一个x只能对应唯一确定的 y,即图像上看不能有“上下重叠”的点。但加上条件xy0呢？画出图形（如图5)则一目了然。解：因为 4x29y

8、2 =36,22yx故 L =- -1 一049解得x -3或x之3 ,又xyg翼或0,y0)4卜面想要通过导数确定过第一象限点P(xo,yo) (0x01 )切线的斜率，就要建立x与y的函数关系,结合图形(如图6)可知：y=2 中x (0x1)(而不能是 y = 42/l-x2 )y = - i又 丫。= 2* -第 , y |x 自。=1,y2)6 .已知关于x的实系数二次方程 x2+ax+b=0有两个实数根 a , B证明：(I )如果 I a I 2, I 3 那经,2 I a 1 4+b且 | b | 4;y=x2+ax+b的图像(如图 7)易(H )如果 2 1 a | 4+b且

9、1 b 1娜么 I a 1 2,3 . 2分析：借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数知 | a | 2, | 3 U0证明：根据韦达定理 I b | = | a 3 . 4因为二次函数 f(x)=x2+ax+b 开 口向上，1 a | 2, | 3. 0,即 4+2a+b0, 2a-(4+b);4-2a+b0, 2a4+b2 | a | 4+b.(H )由 2 | a | 02即 2 +2a+b0f(2)0 .及 4-2a+b0 即(-2)2+(-2)a+b0,f(-2)0 .由此可知f(x)=O的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根a ,物落在(-2

10、,2)之外，则与b 1 = a 3木廊若a或B落在(-2,2)外,则由于|b|二| a 6 |另47个根3或a必须落在(-2,2)内，则与、式矛盾.综上所述a ,均落在(-2,2)内.点评：这是1993年全国高考题的压轴题，标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根，再由已知求出总的范围，再转化为a、b的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实 根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。7.求函数y =x2 + |xa|+1的值域。分析：本题需要去绝对值化为分段函数,再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。解:- 2.x x

11、-a 1y = f(x) =2x -x a 11 93(x )- -a (x _a)24123(x -)- a (x :二 a)241(1)当a 时，如图21 、 3y - f () = - -a2 4一 ，,11(2)当a 时，如图1021 3知，y 一 f( ) = a2 4.1_3一综上所述：当a万时，值域为3-a,y)1 1.2当一一 a 一时，值域为一+a,+望)2 4点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。8. (2006 福建)已知函数 f (x) =x2+8x, g(x) =6ln x+ m.(I)求f (x)在区间k,t+1上的最大值h(t)；(II)是否存在实数 m,使得y

12、 = f(x)的图象与y = g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围；若不存在，说明理由。优秀学习资料欢迎下载分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过 画图或想着图一步步解答。解：(I) f(x) =_x2+8x = _(x4)2+16.当t4时，(如图11) f(x)在k,t+1上单调递减, h(t) = f =t2 8t.当 t 44 4t +1,即 34t W4时，h(t) = f (4) =16；当t +1 4,即t 4(II)函数y = f(x)的图象与 y =g(x)的图象有且只有三个不同的交点(如图12),即

13、函数 *(x) = g(x) - f (x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。： (x) =x2 -8x 6ln x m,262x2 -8x 6 2(x-1)(x-3)z C、(x) =2x -8 = 二(x 0),x xx当xW(0,1)时，於(x) A0,O(x)是增函数；当 xW (0,3)时,*(x)0*(x)是减函数;当 xW(3, +8)时，4(x) A0, Wx)是增函数；当 x=1，或 x=3时，+(x)=0.二 Wx)最大值=W1)=m7,Wx)最小值=W3) = m+61n 3-15.;当x充分接近0时，(x) 0.二要使文x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，

14、必须且只须即 7 : m ：15-6ln3.F(x)最大值=m -7 0, (x)最小值=m+6ln 315.0,所以存在实数 m ,使得函数y = f (x)与y = g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为优秀学习资料 欢迎下载点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考 查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。三、方法总结与高考预测(一)方法总结1 .数形结合，数形转化常从一下几个方面：(1)集合的运算及文氏图(2)函数图象，导数的几何意义(3)解析几何中方程的曲线(4)数形转化，以形助数的还有：

15、数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2 .取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元 转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。(二)高考预测1 .在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上， 把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是 选择、填空等小题。2 .从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测20XX年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查， 是对学

16、生思维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。高考回顾(一) 选择题1 .设集合 A=|x|x-2 W2,xw R , B= y | y =-x2,-1 x ax恒成立，则实数a的取值范围是()4.5.A. a -1(2005福建)A. -272(2006湖南)若圆B._22a,b R,a2 2b2B.5.3C.a 1=6,则a + b的最小值是(C. - 3D.-4x -4y -10 = 0上至少有三个不同点到直线l: aX + by = 0 的距离为 2 J2 ,则直线l的倾斜角的取值范围是JT JIA -,一12 45-B -,12 12冗D- 0,-6. ( 2007 安徽).

17、函数f(x)=3sin 2x- i的图象为CI 3，11图象C关于直线x = 11 n对称;12函数f (x)在区间1i内是增函数; 12 12)由y =3sin 2x的图象向右平移 -个单位长度可以得到图象C .3以上三个论断中，正确论断的个数是(A. 0B. 1C. 2D. 37. ( 2007浙江)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A. 38 .( 2005辽宁)已知y = f (x)是定义在 R 上的单调函数，实数Xi #X2,九# -1,._ XiX21 ,?=21 若

18、 |f(xjf(x2)|f(a) f(P)|,则() 1 ,c. 0九 19 .( 2006北京)在下列四个函数中满足性质：“对于区间(1,2)上的任意X1,X2(X1 x2),| f(X1)f(X2)|X2X1| 恒成立”的只有，、1(A) f (X)= 一 X(B) f(X)=|X|(C)f(x) =2x2(D) f(x)=x(2006辽宁)直线 y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2 x(k w R且k = 0 )的公共点的个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(2007天津).在 R上定义的函数f(x)是偶函数，且f (x) = f (2 x),若f(x)在区间1,2上是减函

19、数，则f (x)A.在区间-2, -1上是增函数，在区间3,4上是增函数-2, -1上是增函数，在区间3,4上是减函数-2, -1上是减函数，在区间3,4上是增函数-2, -1上是减函数，在区间3,4上是减函数212 . (2007 全国II) .设F为抛物线y =4x的焦点，A B, C为该抛物线上三点，若FA + FB+FC =0,FA1 - JFB FC =A. 9B. 6C. 4D. 3(二) 填空题若关于x的方程2.(2006 浙江)对 a,b R R,记则 max(a,b)=，a,a - b则函数b,a bf x = max lx 1 , x -2 /3.(2006湖北)关于x的方

20、程(xx -4|x|+5 = m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为-1)2-|x2-1|+k=0 ,给出下列四个命题:存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是14.设奇函数f(x)的定义域为(-8, 0)U(0, +8)且在(0, +8)上单倜递增，f(1)=0,则不等式f x(x-)2 m(x2 1)对满足m W2的所有m都成立。求x的取值范围。一.1 x22 .求函数y=-的最大值。2 x3. ( 2006 春上海) 设函数 f(x)= x2 4x5 .(

21、1)在区间一2, 6上画出函数f(x)的图像；(2)设集合Ax f (x) 5), B=(叫-2U0, 4U6, +a ).试判断集合 A和B之间的关系,并给出证明；4. 已知 acos a +bsin a =c, acos 3 +bsin 3 =c(ab w0, a wkn, k Z)求证:(3)当k 2时，求证：在区间1,5上，y =kx+3k的图像位于函数 f(x)图像的上方.6.2.2-c2cos = ;7 .2 a2 b25.已知二次函数y=f1 (x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2 (x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8, f (x) =fi (x)

22、 +f2 (x).(1)求函数f (x)的表达式;(2)证明：当a3时，关于x的方程f (x) =f (a)有三个实数解.(2006 浙江)设 f(x)=3ax 2+2bx+c,若 a+b+c=0, ,f(0) 0, f(1) 0,求证:(I )a0且-2v a v-1 ; (n)方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根. b(四) 创新试题求函数u = 221 +4+6 -t的最值。设函数f(x) = a x2+8x+3 (a -x 12.、如右图 fmin(x)=f1x : 一23.设 u=x 2-1,化原式为：|u |2 - |u |= -k ,画出函数yuj -|U|的图象，看使U*

23、1的解的个数，可知假命题的个数为0。4.解析：由已知画出y=f(x)的图象可知:当 xC (-1 , 0) U (1 , +8)时 f(x) 0当 xC (-8, -1)u (0, 1)时 f(x) -1 241616. .fx(x-)V 0成立，则必有20vx(x-1 )v 1,解之得：1-17vxv0 或1242x 4解答题1 .解：原不等式化为(x2-1) m- (2x-1 ) 02x2-2x-1 v 0-1.713解之，x的取值范围为x 优秀学习资料欢迎下载2.解：由定义知 1-xR0且2+xw0-1 x 1,故可设 x=cos 0 , 0C 0,兀,则有y =sin 71cos 1

24、2 cos 1 - (-2)sin 1-0可看作是动点0 , sin 0 ) (0 0,兀)与定点 A (-2,0)连线的斜率，而动点 M的轨迹方程2M (cos0,兀,x即 x2+y2=1 (yC0, 1是半圆。设切线为 AT, T为切点，|OT|=1 ,|OA|=2,_ 1k AT 一一 . 一1 0 W kAM、 ,3即函数的值域为0,3 193.解：(1)故最大值为5上单调(2)方程f(x)=5的解分别是2 -匹 0, 4和2+714,由于f(x)在(一叫一1和2,递减，在-1,2和5, +2)上单调递增，因此A - - ：，2 -、,14 1 0, 4 b .14, + 00 )由于

25、 2+标 -2,二 BUA.(3)解法一：当 xW1, 5时，f (x) =x2 +4x+5 ._2g(x) =k(x 3) 一(-x4x 5)=x2 (k -4)x (3k -5)4-k 2x -2k2 -20k 364 - k 丁 k 2,1 .又一1Ex45,24 -k4 k当1 4- 1 ,即 2 k 6 时，取 x =g (x) mink2 -20k 361k-10 2 -641: 16 (k -10)2 64,二(k -10)2 -64 0 .4 _k 一 一一 当 6 时，取 X = _1 , g(x)min= 2k 0.由、可知，当 k2 时，g(x) 0, xw1, 5.因此

26、，在区间1,5上，y =k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.解法二：当 xw1,5时，f (x) = x2+4x+5.,y =k(x 3),2由彳 2得 x2 +(k 4)x+(3k 5) =0 ,y = -x4x 5,令 A=(k 4)2 4(3k5)=0,解得 卜=2或卜=18,在区间1, 5上，当k =2时，y =2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1, 8);当k = 18时, y =18(x +3)的图像与函数f (x)的图像没有交点.如图可知，由于直线y =k(x+3)过点(3, 0),当k2时，直线y =k(x+ 3)是由直线y=2(x + 3)绕点(-3

27、,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间-1,5上，y =k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.进而由A、B两点坐标特点知其在单4 .分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.位圆上.还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明：在平面直角坐标系中，点 A (cos a ,sin a )与点B (cos 3sin 3 )是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：| AB | 2=(cos a - cos 3 )2+(sin a - sin 3 )2=2 - 2cos( a - 3 )(1)f2 (x)由已知，设 f

28、1 (x) =bx2,由 f(x) =1 ,k .分另ij为A (k, k),=(k0),则其图象与直线 y=x的交点B ( k, k),由 |AB|=8 ,得 k=8 ,1. f2(X)= 8 ,故 f(X)=X2+ .XX(2)由 f (x) =f (a),得 x2+8=a2+8 , x a即 8 = x2+a2+8. xa在同一坐标系内作出f2(x)=8和f3(x)= x2+a2+3的大致图象(如图所示)，其中f2(x)的图xa象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3 (x)的图象是以(0, a2+8)为顶点，开口向a下的抛物线.f2 (x)与f3 (x)的图象在第三象限有一个交点，即 f (x) =f (a)有一个负数解.又fz (2) =4, f3 (2) =-4+a2+8 ,当 a3 时，af3 (2) f2 (2) =a 2+ 8 0 ,a当a3时，在f3 (x)第一象限的图象上存在一点(2, f3 (2)在f2 (x)图象的上方.f2 (x)与f3 (x)的图象在第一象限有