高等数学教学 第四节 无穷小与无穷大

1、一、一、无无 穷穷 小小二、二、无无 穷穷 大大三、小三、小 结结2/15一、无穷小一、无穷小(infinitesimal)1、定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小（量）无穷小（量）.3/15例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.4/152、无穷小

2、与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证：证：必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx 5/150)(lim)(lim00 xAxfxxxx （则则.)(lim0Axfxx 故故有有时时当当对对即即,0,0,00 xx 0)()(AxfAxf6/15意义：意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近

3、似表达在在）给出了函数）给出了函数（ 7/15二、无穷大二、无穷大(infinite)绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.8/15特殊情形：特殊情形：正无穷大，负无穷大正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（ xfxx9/15xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是

4、一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，10/15.11lim1 xx证明证明证：证：. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy.)(,)(lim:00的的图图形形的的铅铅直直渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如

5、果果xfyxxxfxx 定义定义1例例11/15三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx 12/15. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当

6、xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.13/15四、小结四、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大；

7、无界变量未必是无穷大；（4）无穷小无穷小( (大大) )都是极限范畴，是两种特殊情况都是极限范畴，是两种特殊情况. .用时用时1课时课时14/15思考题思考题若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.15/15思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx16/15一、填空题一、填空题: :1 1、 凡无穷小量皆以、 凡无穷小量皆以_为极限为极限. .)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷穷大大函函数数时时当当二二、根根据据定定义义证证明明练练 习习 题题17/15.,0,1,0(1sin1这这个个函函数数不