推理和证明高考题x(含答案)

1、高二数学理科第二章推理与证明高考题选L （2011年高考江西卷理科7）观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57 =78125,则520n的末四位数字为（）A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 81252 . （2011年高考江西卷理科10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M, N在大圆内所绘出的图形大致是（）3 2012高考江西】观察下列事实：lxl+lyl=l的不同整数解（x,y）的个数为4 , lxl+lyl=2 的不同整数解（x,y）的个数为8,

2、lxl+lyl=3的不同整数解（x,y）的个数为12则lxl+lyl=20的不同整数解（x, y）的个数为（）A.76B.80C.86D.92 4【2012高考陕西】观察下列不等式 131 + r <一22 21151 + + -r<->22333,11152232423照此规律，第五个不等式为5【2012高考湖南】对于 eN*,将表示为 = 4x2* xZ*" + q x2+a0x2°, 当，=攵时 =1 ,当OWi4攵一 1时/为。或1,定义2如下：在的上述表示中，当旬必，S,，山中等于1的个数为奇数时，bi 否则瓦=0.(1) b2+b4+b(y+b

3、=；(2)记G”为数列/瓦中第m个为0的项与第m+个为0的项之间的项数，则大的最大值 是.6【2012高考湖北】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面点或用小石子表示数.他们研究过 如图所示的三角形数：1 3610将三角形数1,3610,记为数列“),将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列E .能够推测：(1) 2 0 2是数列。 中的第 项：(2fe -i=.(用 k 表示)Y7. (2011年高考山东卷理科15)设函数f(x) = (x > 0),观察：x + 2x y；(x) = /(%) = -, x + 2%(x) = /"(x) =X3x +

4、 4x力=/5")=ff<x) = f (&*) =X15x + 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 e N+ 且 N 2 时，fn (x) = /(£(幻)=8. (2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x, y)为整点，下列命题中准确的是(写出所有准确命题的编号).存有这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y = kx+b不经过任何整点直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点直线)，=履+。经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与。都是有理数存有恰经过一个整点的直线9.

5、(2011年高考湖北卷理科15)给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当W4时, 在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： n=2B H H由此推断，当门=6时，黑色正方形目不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种:(结果用数值表示) 10. (2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式1 = 12+34-4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为.11. (2011年高考湖南卷理科16)对于“eV,将表示为n = a0 x 2k + x2k + a2 x 2A-2 + . + ak1 x 21 +

6、 ak x2°,当 i=O 时，0=1,当 攵时,a,为0或L记/()为上述表示中s为0的个数(例如：1 = 1x2。' 4= 1x22+0x21+0x2。，故/ =0, /(4)=2),则127(1)7(12)=：(2) Z2"")=.n-l12.【2102高考福建】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常 数：sin2130+cos217°sin 13°cos 17°； sin5°+cos2l 50sin 15°cos 150； sin? 180+cos2l 2°sin 1

7、8°cos 120；(4)sin2( 18°) 4- cos248°sin( 18°)cos48°：(§)sin2( - 25°)+cos2550 - sin( - 25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数：(2)根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.13. (2011年高考安徽卷理科19)(I )设 Nl,证明 x + y + 4+ + xy, xy x y(11) <a<b<c ,证明 log。b + log, c + logr

8、a < log/? a + log/? + logfl c.14. (2011年高考湖南卷理科22)已知函数/(1)=/, g(x)=x + yx.求函数力(x) = /(x)-g(x)的零点个数，并说明理由：(口)设数列%)(£ N)满足q=a(a>0)J®+J=g(%),证明：存有常数M, 使得对于任意的 wN'，都有。” 4M.2011年高考试题数学(理科)推理与证明1. （2012年高考江西卷理科7）观察下列各式:55=3125, 56 =15625, 5? =78125,则5?°" 的末四位数字为A. 3125 B. 562

9、5 C. 0625 D. 8125【答案】D【解析】观察发现塞指数是奇数的，结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而52。” >3125 故A也不准确，所以选D.2. （2011年高考江西卷理科10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的 逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内 壁的一周，点M, N在大圆内所绘出的图形大致是答案：A解析：由题意可知，X和N是小圆的一条固定直径的两个端点，党小圆沿着大圆内壁的逆时针方向滚动时，点M沿着直线向右移动，而点N先沿着直线 向下移动，再沿着直线向上移动，故选A.8. （2011年高考安徽卷理

10、科15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（K y）为整点，下列命题中准确的是 （写出所有准确命题的编号）.存有这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与都是无理数，则直线不经过任何整点直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点直线丁=辰+。经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与。都是有理数存有恰经过一个整点的直线 【答案】【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理水平.难度较大.【解析】而心令v = x+L满足I：;k = 6、b = 4i, v = V2.V + V2 . Jr 2点（一1,0）：准确，设y = H是过原点的直线，若此直线过两个整点（内,y）

11、,（，为），则仃y = kx1, y2 =匕、，两式相减得y - y2 = %（内一），则点（占一马，凹一乃）也在直线），=履上，通过这种方法能够得到直线/经过无穷多个整点，通过上下平移y =履得对于y =奴+6也成立；错误，"M与b都是有理数时，令y = x+显然不过任何整点：2准确.如：有线y = y/2x恰过一，个整点【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有充足的把握确定 其正误，解题时须耐心细致。9. （2011年高考湖北卷理科15）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当nW4时， 在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

12、0OBRHUB BnBiMB GEBnMQi 12 3 4 = = = = n n n nnHdnHB由此推断，当"6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）答案：21, 43解析：根据着色方案可知，n=6时，若有3个黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形 有4+3+2+1+1=11种，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有 3+11+6+1=21 种.n=6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，画出图形可分为:有2个黑色正方形相邻时，共23种，有3个黑色正方形相邻时，共12种，有4个黑色正方形相邻时，共5种

13、，有5个黑色正方形相邻时，共2种，有6个黑色正方形相邻时，共1种.故共有 23+12+5+2+1=43 种.10. (2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为【答案】 + (，+1) + ( + 2) + + (3 2) = (2 -1)【解析】：第个等式是首项为，公差1,项数为2 1的等差数列，即 + 5 + 1) + ( + 2) + -,+(3”-2)=(2-1)+(2"一"："7 741=(2/2 1)2211. (2011年高考湖南卷理科16)对于 wN*,将表

14、示为n = a0x2k +a x2A"! +«2 x2i-2 +-+akx2 +ak x2。，当 i = 0 时,a, =,当时，凡为0或1.记/()为上述表示中巴为0的个数(例如：1 = 1x2°,4 = 1x22+0x21+0x2°,故/(1)=0, /=2),则(1)/(12)=；(2)答案：/(12)= 2; X2""1 = 1093 答案：(1) 2； (2) 1093解析：(1)因 12 = 1x23+1x22+0x21+0x2°,故"12) = 2；(2)在2进制的%(%22)位数中，没有0的有1个，

15、有1个0的有CL个，有2个。的有个，有机个0的有个，有攵一1个0的有。；二；=1个，故对所有2进制为k位数的数，在所求式中的的和为: 1-2°+ C12+ C3 2? + +。£； 2'7= 3J 01277又127 = 27 -1恰为2进制的最大7位数，所以工2/(n) = 2° + >人=1093。 -1A-213. (2011年高考安徽卷理科19)(本小题满分12分)(I )设x 21, vNl,证明 x+y+ -!"<!«+_L + xy, xy x y(II ) <a<b<c , log b +

16、ogh c + Iogc a < ogh a + logc b + logfl c.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识, 考查代数式恒定变形水平和推理论证水平。【证明】:(【)因为xNLyNl,所以要证明：x + y+ < + + xy xy x y只要证明：xy(x +y) + l < y + x + (xy)2只要证明：(xy)2 -l + (x+y)-xy(x+y)>0只要证明：(个- 1)(个+1 -x- y) 2 0 只要证明：(冲_l)(x_l)(y_l)N0 因为上式显然成立，所以原命题成立.(II)设logRr

17、 , logft c-y ,则 k)g, a =，一 =-!- =!= >logflc log- 1- logclogj? xy1叫a log” blog/二一，log 尸一，log°Cf , y yA所要证明不等式即为x + y +-« L +冷，XV x.9： c>b>a> , ：. x = lognb >1, y = oghc 21,由(I)知所证明的不等式成立.14. (2011年高考湖南卷理科22)(本小题满分13分)已知函数/'(X)= /, g(x) = x + j7.（I）求函数Mx）= /（x）g（x）的零点个数，并说

18、明理由：（口）设数列%）（"）满足。 =。（。0）J（%+J=g（%）,证明：存有常数 M, 使得对于任意的 wN:都有* 4 M.解：（I）由力（x）=x3-X-五知，xwo,y）,而力（0）= 0,且/?（1） = 一1 0 , 耳2）= 6应0,则x = 0为力（工）的一个零点，且力在（1,2）内由零点， 所以力（X）至少有两个零点.,1 -1 -11 -2解法 1 hx) = 3x2 - -x 2,记0(元)=3/-1一工工则d(x) = 6x +-x 2 当XW（0,M）时,“（x）0,所以就9在（0,48）上单调递增,则0）在（0,例）上至多有又因为夕（1）0, /y一个零点,。，则3（x）在 彳内有零点.所以9）在（0,+oc）上有且只有一个零点，记此零点为修，则当xw（0，M）时，0（x）3（X） = O;当X£（X*c）时, 见） 8G J = 0;所以，当再）时,成）单调递减,而力（0）= 0,则力（1）在（0,再内无零点；当X£（X*o）时, 力（6单调递增，则力（6在（内,”）内至多只有一个零点，从而/?（6在（0,引力）上至多有一个零点.综上所述，力（工）有且只有两个零点._n_1 _3解法 2 由（工）二工/一1一X2 ,记夕（1）=/ - 1-