第五章截面的几何性质

1、第五章 截面的几何性质 概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴公式，转轴公式等。 在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的. 51 截面的静矩和形心截面的静矩和形心 一、静矩的定义

2、设平面图形，取zoy坐标系，取面积元dA，坐标为（z,y），整个截面对z、y轴的静矩为： 整个截面对z轴的静矩； 整个截面对y轴的静矩；AzydAsdAyczcyyzzoAyzdAs 若将 理解为垂直于纸面的力， 便是对z轴的力矩， 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 若形心坐标为 ，静矩也可写成： 性质： 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零； 2、单位： ； 3、当坐标轴原点过形心， ；dAydAzsccyz ,ASyASzzcyc,cyAAzydAsczAAyzdAs0, 0yzccssyz33,cmmm 反之，若 ，坐标轴原点必过截面形心。 二、形心位置的计算二

3、、形心位置的计算 形心位置： 对面积连续分布的（非组合图形）图形：0yxssAydAAsyAzdAAszAzcAycASyASzzcyc, 对组合图形：iiiciiciiiiccAAyyAAzzi；iiciyAzSiciizAys个分图形的形心坐标；第、个分图形的面积；第iyziAcicii 例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置 解：取如图示的坐标系, 先求yxss ,dyzyydAsAzdR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRyzzoydzyzzdAsAzdzRyzzoydRdyRyRzcossincosdRRRsinsincosdRo232sincos34RA

4、szyc233sin31oR 三、组合截面的静矩 例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对称轴， 对z，y轴的静矩。 解：因为是组合图形,又关于轴对称， 故有：,5027022mmA）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz,)(10625.2350270302270303001525mm,3030021mmA50yzo30030270 5-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 一、惯性矩的定义 -面积对坐标轴的二次矩. 设一平面图形，取一元面积 ，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位 角为 ，定义： 平面图形对z,y轴的惯性积;而 dA;2dAyIAz;

5、2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定义：.极惯性矩dAyyzzo 二、性质 1、 恒为正， 可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4； 例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。 解：用平面极坐标yzII 、zyIdAyIAz2dddoo2222sinddodo2232sin zdd）、yz(）、（yzydd2cos1214120204).,(rdddA.cos;sinzydA446424dd 由于对称： 极惯性矩：对过形心的一对轴的惯性积 因坐标轴是对称轴，如对左右的 （如上图）， 结论：截面如有一

6、根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的 .4641dIIyz432122dIIIIIyzyz0sincos22ddzydAIodozydA0ydAzzydA0zyI 对矩形截面，过形心轴的惯性矩： 若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩： 因 , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积分。3121bhIz3121hbIyybzohziizII，yiiyIIdAyIz2 应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面， ，yzyzIIIIIII2221.16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（其他如表4.1. *惯性半径（回转半径）的概念

7、： 如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义 例43中的矩形截面：zzIAr2AIrzzyyIAr2AIryyhhhhbbhAIrzz289. 03212123Azryyrzoybzoh 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 解：因为惯性矩与惯性积等于各微 元面积的惯性矩或惯性积之和， 所 以 .zyIrzyABCDzyzyIIIryzBACD.884444rrrIzy ;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040rrAABCDzyrzydydzzydAI 5-3惯性矩和惯性积的平行移轴

8、公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 一、公式 如图示：任一平面过形心c的坐标系 ，截面对该轴的为 ,与 平行的坐标系为 ，截面对该 轴的为 由图知： , zyyzIII,zoydAycbyzza o z y z yzoyyoz.yzyzIII、zbzyaydAbzdAzIAAy22dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2 结论：截面对与形心轴平行的任意 轴 的惯性矩等于截面对过形心轴y 的惯性矩加上 . 同理可得： 平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以的惯性矩等于该截面对形心轴的

9、惯性矩加上其面积乘以两轴之间距离的平方。两轴之间距离的平方。yAb2AaIIzz2dAaybzdAyzIAyzdAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyz 意义:提供了计算平面图形对平行于形心轴的其它轴的 的方法;也可反算对形心轴的惯性矩及惯性积。 例子: 求矩形截面对边界轴z 轴的惯 性矩和截面对z轴的惯性半径. 解： yzyzIII,123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbhybzhc z y.289.0321577.033313hhrhhhbbhAIrzzz二、组合截面的惯性矩及惯性积公式: 例子:求下平面图形的 解：图由一个矩形和两个半圆组成,设矩形 的惯性矩为 ，每个半圆的为 , 半圆对过形心 轴的惯性矩 ,ziyiizyyii