1988年考研数学试题答案及评分参考

1、1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一(本题满分 15 分，每小题 5 分)¥( x - 3)n(1) 求幂级数 å的收敛域.nn=1n ×3( x - 3)n+1解：因 lim( n +1) ×3n+1= limnx - 3=1x - 3, 故1x -3<1即0 < x < 6 时，( x - 3)nn ®¥n®¥3( n +1)33n ×3n幂级数收敛.3 分¥1当 x = 0 时，原级数成为交错级数 å( -1)n，是

2、收敛的.4 分n=1n¥1当 x = 6 时，原级数成为调和级数 å，是发散的.5 分n=1n所以，所求的收敛域为0, 6).(2) 已知 f(x)= e x 2 ,f j( x)=1-x,且 j (x) ³ 0.求 j (x)并写出它的定义域.解：由 ej( x)2 =1- x ，得 j( x) =3 分ln(1 - x) .由 ln(1 - x) ³ 0 ，得1 - x ³1 即 x £ 0 .5 分所以j( x) = ln(1 - x) ，其定义域为 ( -¥, 0).(3)设 S 为曲面 x2 + y2 + z2 =

3、1 的外侧，计算曲面积分 I = òòx3dydz + y3dxdx+ z3dxdy.s解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有I = 3òòò( x 2+ y 2 + z 2 )dv （其中 W 是由 S 所围成的区域）2 分W2 pp1= 3ò0dqò0d jò0 r 2 × r 2 sin jdr4 分12p.5 分= 51988 年 第 1 页二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分)(1)若f(t)= lim t (1+1)2tx ，则¢2txf (t) = (2t +

4、1)ex®¥2,-1<x£0(2)设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 (-1,1上的定 f(x)= x3 ,0<x£1 ,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于2.3x3 -11(3)设 f(x)是连续函数，且 ò0f (t)dt = x, 则 f(7)=.12(4) 设 4*4 矩阵 A= (a,g 2,g 3,g 4 ) ，B= (b,g 2,g3,g 4 ) ，其中，a, b,g 2 ,g 3,g 4 均为 4 维列向量，且已知行列式A= 4,B=1,则行列式A + B=.40 .三、选择题 ( 本题满分 1

5、5 分，每小题 3 分)(1)若函数 y=f(x)有 f ¢(x) =1，则当 Dx ® 0 时，该函 x= x处的微分 dy 是(B)020(A) 与 Dx 等价的无穷小(B) 与 Dx 同阶的无穷小(C) 比 Dx 低阶的无穷小(D) 比 Dx 高阶的无穷小(2)设 y = f ( x) 是方程 y¢¢ - 2 y¢ + 4 y= 0 的一个解，若 f ( x) > 0 ，且 f ¢(x0 ) = 0 ，则函数f ( x) 在点 x0(A)(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减

6、少(3)设有空间区域 W : x2+ y2 + z2 £ R2, z ³ 0; 及 W : x2+ y2 + z2 £ R2 , x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0, 则 (C)12(A)òòòW xdv = 4òòòWxdv(B)òòòWydv = 4òòòWydv1212(C)òòòW zdv = 4òòòWzdv(D)òò

7、42;Wxyzdv = 4òòòWxyzdv1212¥(4)若 åan (x -1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处(B)n=1(A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C) 发散(D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组 a1 , a2 , , as (3 £ s £ n) 线性无关的充分必要条件是(D)(A) 有一组不全为 0 的数 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 a1 + k2a2 + + ksas ¹ 0 .(B) a1 , a2 , ,as 中任意两个向量都线性无关.(C) a1 ,

8、 a2 , ,as 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D) a1 , a2 , ,as 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四(本题满分 6 分)1988 年 第 2 页设 u = yf (x) + xg(y) ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 x¶2 u+ y¶2u.yx¶x 2¶x¶y解：¶uæ xöæy öyæy ö= f¢ç÷+ g ç÷-g¢ç÷.¶x

9、2; yøè x øxè x ø¶2 u1æ x öy 2æy ö=f¢¢ç÷ +g¢¢ç÷.¶x2yx3è y øè x ø¶2uxæ x öyæ y ö= -f ¢¢ç÷ -g¢¢ç÷.¶x¶yy2x2è

10、y øè x ø所以 x ׶2 u+ y׶2u= 0 .¶x 2¶x¶y2 分3 分5 分6 分五、(本题满分 8 分)设函数 y=y(x)满足微分方程 y¢¢-3y¢+ 2y = 2ex , 且图形在点(0，1)处的切线与曲线y = x2- x +1在该点的切线重合，求函数 y = y(x).解：对应齐次方程的通解为 Y = C e x +C e2x .2 分12设原方程的特解为 y* = Axex ,3 分得 A = -2 .4 分故原方程通解为 y ( x

11、) = C e x+C e2 x - 2xe2x .5 分12又已知有公共切线得 y |x =0 =1, y¢| x=0 = -1，7 分ì c + c= 1,即 í 12解得 c1 = 1, c2= 0 .8 分îc1 + 2c2 =1所以 y = (1 -2 x)e2x .六、(本题满分 9 分)k设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 r 2 (k>0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线 y = 2x - x2 自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A对质 M 点的引力所做的功

12、.解： MA =0 - x,1 - y2 分r = x 2 + (1 - y) 2 .因引力 f 的方向与 MA 一致，故 f =k-x,1 - y .4 分r31988 年 第 3 页从而W = òBOk -xdx + (1 - y ) dy6 分3r= k ×(1 -1) .9 分5七、(本题满分 6 分)æ100 öæ10 0öç÷ç÷已知 AP = PB ,其中 B = ç000 ÷, P = ç2-1 0÷ 求 A 及 A5 .ç00&

13、#247;ç21 1÷è-1øèøæ 100ö解：先求出 P-1 =ç2-10÷ .2 分ç÷ç-411÷èøæ100 öæ10 0 öæ 10 0 ö因 AP = PB ，故 A = PBP-1 =ç2-10÷ç000 ÷ç2-1 0÷ç÷ç÷ç÷ç

14、;211÷ç0÷ç-41 1÷èøè0 -1 ø èøæ10 0 öæ 10 0 öæ10 0 ö=ç20 0 ÷ç2-1 0÷= ç20 0÷ .4 分ç÷ç÷ç÷ç2÷ç1 1÷ç6÷è0 -1 øè -4ø

15、;è-1 -1ø5个5个从而 A5 = AAAAA =（PBP -1）(PBP -1 ) (PBP -1 ) = PB 5 P -1 =PBP -1 =A .6 分八、(本题满分 8 分)æ200 öæ200öç÷ç÷已知矩阵 A = ç001÷ 与 B= ç0y0÷ 相似，ç0 1 x÷ç0 0÷èøè-1ø(1) 求 x 与 y； (2)求一个满足 P-1 AP = B 的

16、可逆矩阵 P .解：(1) 因 A 与 B 相似，故| lE - A |=| lE - B | ，即1 分l - 200l - 2000l-1=0l - y0，0-1 l - x00l +1亦即 (l -2)(l2 - xl -1) = (l -2)(l2 +(1 - y)l - y) .1988 年 第 4 页æ 200 öæ 200ö比较两边的系数得 x = 0, y = 1 .此时 A =ç001÷， B =ç010÷.3 分ç÷ç÷ç0 10÷&#

17、231;0 0÷èøè-1ø(2) 从 B 可以看出 A 的特征值 l = 2,1, -1 .4 分æ1 ö对 l = 2 ，可求得 A 的特征向量为 p1 = çç 0 ÷÷ .çè 0 ÷ø æ 0 ö对 l =1 ，可求得 A 的特征向量为 p2 = çç1 ÷÷ .çè1 ÷øæ0ö对 l = -1 ，可求得 A 的特征

18、向量为 p=ç1÷ .7 分3ç÷ç÷è-1ø因上述 p1 , p 2 , p3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.æ100ö令 P = ( p , p , p ) =ç011÷，则 P 可逆，且有 P-1 AP = B .8 分123ç÷ç0 1÷è-1ø九、(本题满分 9 分)设函数 f (x) 在区间 a, b上连续，且在 (a, b) 内有 f ¢(x) > 0 .证明：在 (a, b) 内存在唯一的x ，使曲线 y = f (x) 与两直线 y = (x ), x = a 所围平面图形