概率论试卷2016答案

1、1三. 在数字通讯中,由于随机干扰,当发出信号“0”时,收到信号“0” , “不清” , “1” 的概率分别是0.7, 0.2和0.1,当发信号“1”时,收到信号“0” , “不清” , “1” 的概率分别是0.9, 0.1和0, 如果整个发报过程“0” 和“1”出现的概率分别是0.6和0.4, 求(1)收到不清的概率;(2)当收到不清时试推测解: 设B表示发出信号“0”,信号是什么?(10分)则B表示发出信号“1”,组, 设 A表示收到“不清”,B, B是一完备(1) P( A) = P(B) P( A | B) + P(B) P( A | B)= 0.6 ´ 0.2 + 0.4

2、´ 0.1= 0.16,(2) P(B | A) = P(B)P( A | B) = 0.6 ´ 0.23= 0.75.4P( A)0.16P(B | A) = 1 - P(B | A) = 1 - 0.75 = 0.25.当收到“不清”时,信号是“0”的可能性大.4Î (0, A)四、已知连续型随Xf (,其他(10分)îî(3) P( 1 < X < 1).求(1) A(2) 分布函数F ( x);2= 1,A= A20A+¥x 2 A = 1 ;解: (1)f ( x) dx2x dx=òò-&#

3、165;0F ( x) = 0,(2) 当x £ 0 时,xx2x2t dt = t 2x ,当0 < x < 1时,F ( x) =f (t ) dt = ò=ò-¥00当x ³ 1时, F ( x) = 1,0 ,x £ 00 < x < 1 ;x ³ 1ìì F ( x) = ïï x2 ,ííïï1,îîP( 1 < X < 1) = F (1) - F ( 1 ) = 1 - (

4、1 )23 .(3)=22245五、设随机向量( X ,Y )的密度函数:y £ 1f ( x, y) = ìì4 xy ,0 £ x £ 1, 0 £其它íí0 ,îî性, 并说明理由;(1)求 X与Y的边缘密度函数,X与Y(2) 求P ( X + Y < 1). (10分)1ìììì2 x ,0 £ x £ 1其它4 xy dy ,0 ,0 £ x £ 1其它òïï+¥

5、;解:(1) fX ( x) =òf ( x, y) dy = ííïïîîìì= íí 0 ,0-¥îî10ìì2 y ,0 £ y £ 1其它.4 xy dx ,0 ,0 £ y £ 1 = ííòïïíí+¥f( y) =f ( x, y) dx =òYîî 0 ,-¥其它

6、ïïîî f ( x, y) = f X ( x) × fY ( y), ( x, y) Î R2 , X与Y 相互y11- x(2)P ( X + Y < 1) =f ( x, y)dxdydx4xydyòò=òò1010x + y = 1x+ y< 1= (411= 6 .= ò0 2)21x006分布在以(0,1),(1,0),(1,1)六、设随量 X与Y的为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求 E( X + Y )和D( X + Y )(10分)7( X ,Y ) f

7、 ( x, y) =ìì 2,( x, y) Î D其它y(0,1)解:íí(1,1)0,îîE( X + Y ) = òò ( x + y) f ( x, y)dxdy = òò 2( x + y)dxdyx + y = 1R2Dx(1,0)Oy=11112= ò0 dx ò1- x 2( x + y)dy1= ò0 ( x + y)1dxy=1- xD : 0 £ x £ 1, 1 - x £ y £ 11x34

8、3+ x2 )2,= (=(x + 1) - 1dx=òò3000= òò ( x + y)2= òò 2( x + y)2 dxdyy=1 DE( X + Y )2f ( x, y)dxdyR22( x + y)12( x + y)3231112= ò dxòdy = òdx =3(x + 1)- 1dxò301- x001y=1- x2 ( x + 1)411,= 3 - x=64111402 =.- ( 3 )22D( X + Y ) = E( X + Y )-E( X + Y )=186

9、8D七、一复杂的系统由100个起作用的部件所组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10, 为了使整个系统起作用, 至少有85个部件正常工作.利用中心极限定理求整个系统起作用的概率.(10分)注F (1.64) = 0.95, F (1.67) = 0.9525, F (1.96) = 0.975解: 设 X 为系统中正常工作的部件数, 则X B(100, 0.9),DX = npq= 90 ´ 0.1 = 9 ,且 EX= np = 90,近似X N (90, 9), n = 100 较大, 由中心极限定理:整个系统起作用的概率为:P( X ³ 85)= 1 - P

10、( X < 85) = 1 - F (85)» 1 - F ( 85 - 90 )955= 1 - F (- 3 ) = F ( 3 ) » F (1.67) = 0.9525.9七、一复杂的系统由100个起作用的部件所组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10, 为了使整个系统起作用, 至少有85个部件正常工作.利用中心极限定理求整个系统起作用的概率.(10分)注F (1.64) = 0.95, F (1.67) = 0.9525, F (1.96) = 0.975或: 设 X 为系统中损坏的部件数, 则X B(100, 0.1),DX = npq= 10

11、´ 0.9 = 9 ,且 EX= np = 10,近似X N (10, 9), n = 100 较大, 由中心极限定理:整个系统起作用的概率为:P( X < 15) = F (15)» F (15 - 10 )= F ( 5 ) » F (1.67)= 0.9525.3910八、设总体 X 服从几何分布P( X = x) = p (1 - p)x-1,x = 1, 2,!从中获取样本n ,np < 1 是未知参数,其中 0 <参数 p 的极大似然估计.(10分)nå xi -nnx -1= p (1 - p) i=1; p) = 

12、13; p (1 - p)i =1解: 似然函数 L(innn ln p + (å xiln L =- n) ln(1 - p)i =1nå xi- nnp × (å xi - n)npd ln Ldp得 n (1 - p) = i =1= 0,由=-1 - pi =1p = n, 故 p 的极大似然估计为n1 .p =解得:=nå xii =1nå xii =1x11九、某维纶厂生产的长丝的强度X N (m ,s 2 ), 某天抽取5根长丝, 测得强度为1.1,1.5, 1.3, 1.6,1.5, 取检验水平a = 0.05 ,检验

13、假设 H0 :s 2 = 0.02. (已知标准正态分布U0.05= 1.645,c 2分布:c 2(4) = 0.484, c 2(4) = 11.143,(5) = 12.833)0.9750.025(10分)c 2(5) = 0.931, c 20.9750.025解: H0 :s 2 = 0.02n - 1 S 2 ,= n - 1 S 2 = c 2 (n - 1),在H 成立时, W设统计量W0s 20.02= 0.484,020.0252(4)= 11.143,(n - 1) = c 2c 2c(n - 1)= c(4)a = 0.05,a0.9751-a22由 P(W < c 2(n - 1)或W > c 2 (n - 1) = a ,1-aa22即 P(W < 0.4