几类重要的分布

1、第四章 几类重要地分布【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】8学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、了解Bernoulli概型,熟练掌握二项分布、Poisson分布；2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质；3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布地数学期望和方差；4、知道二维正态分布与均匀分布.【本章重点】 熟练掌握Bernoulli 概型、二项分布、Poisson分布、均匀分布、正态分布和 指数分布及其性质【本章难点】对离散型与连续型随机变量地分布地理解【授课内容及学时分配】§ 4. 0 前言在第二章中我们曾经研究了随机变量地分布，具体地研究了离散型随机变量地

2、分布和连续型随机变量地分布，并简单地介绍了常见地离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要地分布，因此，在本章中，我们重点研究二项分布、Poisson分布和正态分布,并在此基础上研究其他一些连续型分布.§ 4.1 二项分布二项分布是重要地离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要地地位，产生这种分布 地重要现实源泉是所谓地伯努利实验.一、泊努利实验Bernoulli)在许多实际问题中，我们感兴趣地是某事件 A是否发生.例如在产品抽样检查中，关心地是 抽到正品还是废品；掷硬币时，关心地室出现正面还是反面，等.在这一类随机实验中，只有两个 基

3、本事件A与A,这种只是两种可能结果地随机实验称为伯努利实验 为方便起见，在一次实验中，把出现A称为“成功”，出现A称为“失败”若记 P A=p, P A A1 -p =q .把一重Bernoulli实验上独立地重复地进行n次得到n重Bernoulli实验.【注】：重复是指每次实验中成功地概率不变；独立是指n次实验独立进行.二、两点分布称服从两点分布，参数为 p(0 ： p ： 1)，若 P = x" = p , P £ =x2 =1 - p .当xi =1, X2 =0,两点分布就是重要地Bernoulli分布用Bernoulli分布可以描绘一重地 Bernoulli实验.

4、在实验中,若成功地概率为p戶 1出现成功记© =、0,出现失败则 就服从参数为p地一重地Bernoulli分布.记为：' B(1, p)三、二项分布称'服从二项分布.参数为n, p (0 ： p : 1).如果P二kGc：pk(1 p)n = k =0,1,23 ,n记为 B(n, p)，若记 b(k, n, p) = P二 k显然满足：(1>非负性:b(k, n, p) -0nn(2> 规范性：' b(k, n, p)八 C：pk(1 - pF* =p (1 - p)n =1k=0k=0二项分布描绘地是n重Bernoulli实验中成功出现地次数若

5、记 为成功出现地 次数,则地可能取值为0,1,2，n,其相应地概率为：P：二一 p)n" =b k,n, p事实上，若记：Bk =" n重B试验中成功恰好出现 k次"，A="第i次试验出现成功"艮="第i次试验出现失败"i =1,2,3，,n则Bk二AA2.AAk1.An . AnAn.An ；共有X个项：且两两互不相容.由实验地独立 性：PAA2.AkAk 1.An = pk(1 - p)n*.p Bk 二-p严Eg1:若在M件产品中有N件废品，现进行有放回地n次抽样检查.问共取得K件废品地概率 有多少？解：因为是有放回地

6、抽样，因此，这是n重地Bernoulli实验.记A为“各次实验中出现废品”这一事件，则：pa=D,M设'为n次抽样检查中所抽到地废品数,则' B(n, p)因此,所求概率为：P二一0)心M M四、二项分布地数学期望与方差设 B n,p ,P二k .；=C：pkCI - p)nA由数学期望地定义：E 八 k p( =k)八 k n! pk (l-p)n np 宁工 pk (1 - p)n± 心k =0k!n-k!kwk-1 !n-k!< 令 k 十1)=np刖pl(1-p严一 npCmp)屎(I"宀 g即：Enp由方差地定义：-E( 2) - (E )2

7、n22 k k n kE( k Cn p qk=fi廿土/代 < 令1)n A= np._I 1I =S(n -1 !I! n -d -Jn 1=np .lClb £n J _Ln4P qn 1 n_LCnp ql £=npn _1 p (p q)2 = np n n _ 1 p2-D =np n n _1 p2 -(np)2 = np 1 _ p =npq五、二项分布地Poisson逼近甘-Je_ k!Th:在Bernoulli实验中，记Pn为事件A在实验中出现地概率，他与实验总数n有关若n_：i：:lim nR = - >0,则对-地正整数 k _ 0,有

8、lim b k; n; Pn = n“Proof:令-n 二 npn,则 lim八，且 Pnn_n _kb(k;n; Pn ) = b k;n;(与1! n I-n(n_ 1)(n_ k+1)如In丿ik!nkk / 1r n_kn )Ink'nk!1 n _kn1 n * k!§ 4.2 泊松分布一Poisson分布、定义：称 服从参数为丿i >0地Poissor分布若kp£ -kk =0,1,2，k!记为：k p或二(k, ), p k,e k =0,1,2,k!显然：p - k ；，0k: i k、p： =ke_ =eee' =1k =0k ：0

9、 k!k -0 k!为计算方便课后给出了 Poisson分布表，见p278附表1【说明】历史上Poisson分布是作为二项分布地近似于 1837年由法国数学家泊松引入地，若 把B-实验中成功概率p值很小地事件叫做稀有事件，则由上面TH当n充分大时,n重B-实 验中稀有事件发生地次数近似服从 Poisson分布.这时，参数地整数部分-恰好是稀有事件发生地最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立实验中稀有事件发生地概 率分布情况地数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等，都是稀有事件 Eg2:在1875年1955年间地某63年间，上海地夏季5-9月)共发生暴

10、雨180次,求一个夏季 发生k次暴雨地概率解：每年夏季共有：n =31+30+31+31+30=150天.若每次暴雨以一天计,则每天发生暴雨地概率为p= 1800.0187.63X53则一个夏季发生k次暴雨地概率记为pk,作为初步近似，可利用Bernoulli概型，因为p很小，而n =153较大k2.86_2.86二 np 二 2.8571，则：pke .k!二、Poissor分布地数学期望和方差-k设 P k, ，即 p = k e' ,k = 0,1,2,.k!kE = kpk =、k e _ = e k z0k z0 k!: : kE( 2)和"：/厂!k 1.k J(

11、I +1 斤.J.=J.:=£'II i £ l! i =0 l!= e，=；亠1所以：D： =E( 2) -(E J2 W潜先.2八Eg3:保险事业是最早使用概率论地部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率.保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有地资料显示：人群中与这项保险业务有关地 死亡概率为0.0020今有2500人参加这项保险，每个参保地人员在每年1月1日交付120元保 险金,而在死亡时家属可从公司领 20000元保险金.试问：(1)保险公司亏本地概率是多少？(2保险公司赢利不少于100000元、200000元地概率是多少？解：每年1月1日保险

12、公司地收入300000元=120 2500,若一年中死亡x人，则保险公司这一年应付出20000x元因此“公司亏本”意味着 20000x >300000即x>15人,这样“公司亏 本”这一事件等价于“一年中多于 15人死亡”地事件,从而转而求“一年中多于15人死亡” 地概率，若把“参加保险地一个人在一年中是否死亡”看作一次随机实验，则问题可用n = 2500, p = 0.002地Bernoulli实验来近似，设'为一年中这些参保人员里死亡地人数，则 B(2500,0.002)由上定理，二np =2500 0.002 =5,经查Poisson分布表可得:ck(1> P亏

13、本= P 15 =、e'=0.000069 k詔6 k!(2)赢利不少于 100000 元，则意味着 300000-20000CX _ 100000= x 10 ； 赢利不少于 200000 元，则意味着 300000-200000x _ 200000= x e5故P保险公司赢利不少于10100000 元=P乞10=7k=05k e k!= 0.9863055 5k 5P保险公司赢利不少于 200000元= P< 5 e =0.615961km k!Eg4: P90例 2三、课后作业：1、仔细阅读P83-92 ；2、作业:P108 1,3,4,9,103、预习 P92-98

14、67; 4.3正态分布0、引言：前面我们研究了概率论中三个重要分布之二：二项分布和 Poisson分布，这是两个离散型 分布；下面研究第三个重要分布一一正态分布 ，这是一个重要得连续型分布，它不仅具有重要 得理论意义,而且其应用相当广泛.、定义把概率密度函数为f (x)=1 土玮地分布称为正态分布,其中匚为参数.x占e 2 - dy若连续型随机变量服从参数为，二2地正态分布 简记为n(，；2>；1其相应地分布函数为：F(x) = ；_v'2n<i特别地：当亠-0 -1时，称 '服从标准正态分布.记作 N(0, 1),x21 其相应地密度函数和分布函数分别是：(x)

15、= 1 e 2：x < :12兀2.当 2dy1 x Z©(x) = V2n为说明上述定义地合理性，需验证f(x)满足密度函数地性质：1非负性:显然f(x)-0.2.规范性:1Jf(x)dx估0卜(宀2】2二2dx<令-)CTt2oO e 2dt0et2Tdt>2=(；u2oQ e 2 du >(J jo 2QCi 丄 e 2 dv >_nOU2 %2CO oOe 2 dudv=rs in n1则有:(e 2dt>212H一 2e二 o312 o1=0d312 0qQ故 f (x)dx =1 即f (x)确为密度函数.a、正态分布地特点与性质正态分

16、布又叫高斯分布，它在概率论地理论和应用中占有很重要地地位，因此需要研究其性质及特点(1>. f(x)地各阶导均存在(2>. f (x)关于x=对称 即f(-x)= f (.x)(3>.当x=时，f (x)取最大值x离越远,f (x)值越小，这表明对于同样长度地 当区间离此越远，则落在该区间上地概率越小.区间,(4>. f(x)在x=卩± 处有拐点，且以ox轴为水平渐近线，即xmf (x) =°.-位置参数，二形状参数,表示取值地分散程度1(5>.分布函数F(x)地图形关于点V，1 )中心对称，即F(-x)=1 -F(x).、正态分布地概率计算(

17、1>.若 N(0,1)则(-x) V(x) (-x) =1 -(x)P _x=P-x_- x =P_ x) - P _-x = (x) -(-x) =2 (x) - 1站2三卩v.- x (2>. 若 N(,二)则N(0,1),且 F(x)=P<x=().O'O'e 2& dtproof: P H 兰 y =P二 < y=P © "y + 卩 =丁i汀-72: -_y -22人t- Je 2 dv .(令' 二- >-CT<二xx _ J即 N(0,1).于是 F(x>=P < x =P_x =

18、(-)GCJCT© - © I J1.2-：(3>.若 N(",二)2则对任意实数a b有Pa ：- b=为计算方便,书本P280给出标准正态分布表.Eg1: <质量控制地 氐原则), NL2)则PI©<<!=P-t 41 < <1 = ©1) =2 叭1)1 =2 x 0.84134 1 = 0.68268 P © 卩<2 =2a(2) -1 =0.95450P © -卩 兰 3町=2 牧3) -1 = 0.99730上述结果表明，当对某项质量指标 如在生产过程中）作抽样调查时，可

19、以把抽样值是否落在）之中作为判断生产过程是否正常地一个主要标志Eg2:某汽车制造厂设计一种新型公共汽车，其车门地高度是按男子与车顶碰头地机会在1%以下设计地，据统计资料分析所知,男子身高服从N175,36），问车门高度应如何确定？解：假设车门高度为X,以表示男子身高,则. N（175,36）依题:P x - 0.01.而 Px = 1 - p ： x =1 - x175 )I 6丿故有 1 _屮 _175 兰 0.01/x _175 0.99查正态分布得：x-175 =2.33 则I 6丿I 6丿6x=175+6 2.33 =188.98（cm故车门地高度应设计为188.98cm四、正态分布地

20、应用在实际中，正态分布是有广泛应用地概率分布，许多随机现象可以用正态分布或近似地正 态分布来刻画.如在生产中,在生产条件不变地前提下，各种产品地某些量度（如建筑材料地抗压 强度、细沙地强力、荧光灯地使用寿命、零件地尺寸等一般都服从正态分布；在生物学中同一种群地某种特征（像身高、体重等,一般也服从正态分布；在自然科学中，热力学中理想 气体分子地速度分量，射击时命中位置目标沿某个坐标轴地偏差，测量同一物体地测量误差等；气象学中，每年某月地日平均气温和降雨量等；水文中地水位等也都服从或近似服从正 态分布.在理论上，正态分布是许多重要分布地极限分布，这就是下一章地中心极限.五、正态分布地期望与方差设&

21、#39;N（",；2,则oO1QOE7f(x)dx=T2需-xedx <X t)CTt20一P2At% = 2_ t2：edt =比2 閃2旦5D JE( _E：)2= J- 4 ) f (x)dx= fj-e dx<t)-)a二 2 -q二2与贡 3 dVet2七roo T二 +e 2dt )=匚2可见,正态分布地两个参数:二 2分别是该随机变量地数学期望和方差，其分布由期望和方差唯一决定Eg3:设 N(0,1).N(1,2)且,相互独立试求咐=2二曲-1地概率密度函数.解：关于正态分布有如下结论：见P96 )即两个服从正态分布地随机变量地线性组合仍服从正态分布,可推广

22、到N个随机变量得情形.因此，服从正态分布，因而只需要求出 地密度函数即可.E =2E E -1 =2 0 1 -1 =0 ；D 丫 =22 D D =4 12 =6z2-概率密度函数为12【注】关于正态分布还有如下特点:(1 若 (7二2)则对一常数 a,b ,二 a b N (a：；b, a2；2)(2若 NL1F12) , NL2F；),则' 服从正态分布,特别地,当,相互独立 时，：N( 7 a,二 12 V).六、课后作业:1、仔细阅读P92-98 ；2、作业:Pi09 11,12,133、预习 P 98-107§ 4.4其他重要地概率分布在其他重要地概率分布中，我们

23、主要研究两个连续型地分布：指数分布和均匀分布.、指数分布)a _拟 x > 0i定义：若随机变量©地概率密度函数为f(x)=a>o>,则称其服从参数为0 X £ 0-地指数分布.记为 p()显然有 f(x) 2 0 ;广f(x)dx= fedx 二-e金新=1*3'L0其对应地分布函数为:F(x)0x 0x _0指数分布有着重要地应用，常用它来作为各种“寿命”分布地近似 例如无线电元件地寿 命，动物地寿命 用话问题中地通话时间，随机服务系统中地服务时间等都常假定服从指数分布指数分布地重要性还表现在它具有类似于几何分布地“无记忆性”2指数分布地无记忆

24、性：设服从指数分布,参数为0,则对- s 0,t0 ,有P s t | sp s tp Se'；(s °e's若把理解为“寿命”，则上式表示：若已知寿命长于 s年,则再活t年地概率与年龄s无关,所以有时又风趣地称指数分布是“永远年青”地 .在连续型随机变量中，只有指数分布具有这种无记忆性，这也是指数分布具有广泛应用地 重要原因之一 指数分布在可靠性理论和排队论中有着广泛地应用 ，如随机服务系统中地服务 时间、等待时间等都服从指数分布.Eg1:设在任意地时间间隔t°,t。t内来到某商店地顾客人数为t P(k; t) <泊松分布)，求两位顾客来到之间地“等

25、待时间”地分布函数.解,设前一位顾客来到地时刻为0,因 非负，当怦0,p乞t=0 ;当t 0,因为在等待时间内无顾客来到,从而 t二 t =0,(兀 t ) 0故 P t二p t=0=- 二e.P Et=1_P t=1_e-'t. 地分布函数为 0!1 e_'x x a 00 x；0即咖从参数为輕指数分布.3指数分布地数学期望和方差：设© f ( X) = He'x x _ 00=xf(x)dx= xheFdx = - xde =丄：e-xdxx2e_赵 dx=-x2e肿+2J0 xexdx= 2E 21定义：称随机变量 服从区间a,b上地均匀分布，若它具有密

26、度函数:f (x)=1b -a其中a,b为参数.记为Ua,b其他显然 f(x) -0 ；.；.f(x)dx 二'*"0其对应地分布函数为F(x) = *0x -ab -a1dx=1 b -ax _ aa x _ bx b均匀分布描绘了几何型随机实验中随机点地分布若在闭区间a,b上均匀投掷随机点地话,以昭表示随机点地落点坐标，则昭就服从|Ua,b.事实上对于任意长度为IC：b-a)地区间c,c I a,b,va： c ： b)，则落在该区间内地概C十 1l率为PCV飞CLdX二丄,这说明随机点落入任何区间内地概率只依赖于区间c b-ab-a地长度而与区间在a,b中地位置无关.E

27、g2:假设有一同学乘出租汽车从华北工学院到太原火车站赶乘火车，火车是18： 30发车，出租车从学校开出地时间是18:0 0,若出租车从学校到火车站所用地时间U15,30,且从下出租车到上火车还需12分钟,问此人能赶上火车地概率是多少？解：若要赶上火车，则出租车行驶地时间最多只能有18分钟，所以18 18 1 1PM8= J P（x）dx= dx=_,即:此人能赶上火车地概率只有 20%. 151552均匀分布地数学期望和方差：设'Ua,b则ExP(x) dx=b 1 ,x2 , b baax狂dx二亍1a =工2说2b 211Ex P(x)dx= x dx 二ta b - a b - a丄x3|3b a2 ab b2 a=3D =E 2-E 2 叮解：E =-E =D =D =1 由 D =