直线方程的几种建立方式及其适用范围

1、直线方程的几种建立方式及其适用范围罗村高级中学 黄勉确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：一、 点斜式若直线过定点，斜率为，则直线的方程为；它不适用平行于轴（包括轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为）的直线。当斜率不存在时，直线的方程为：；特别地，当0时，其方程为。例1、 已知直线过点A（1，2）,B()，求直线的方程。分析：因为直线经过点B(),且m是一个参数，因此需要对m进行分情况讨论。解：当m1时，直线的倾

2、斜角为，其斜率是不存在的，故此直线的方程为。当m1时，直线的斜率为，又因为直线通过点A（1，2），所以直线的方程为：。例2、 已知直线经过点P（3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。 分析：不难看出，直线在经过原点和斜率为1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。因此，需要对这两种情况分类讨论。解：若直线经过原点，则直线的斜率为，从而直线的方程为：，即。若直线不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：即。二、 斜截式若直线的斜率为且在轴上的截距为，则直线的方程为：；它不适用于平行于轴（包括轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜角为）的直线。也就是

3、说，斜截式与点斜式的适用范围是一样的。例3、 已知直线经过点,若直线在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程。分析：由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，且经过点，因此可建立方程分别求出此直线的斜率和在斜率上的截距，从而利用斜截式建立直线的方程。解：设直线的斜率为，在轴上的截距为，从而直线的方程可设为：；由于直线经过点，令0，得解得或，所以所求的直线方程为，即。三、 两点式若直线经过两点（），则直线的方程为：。它适用于不平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线，若将此方程改写成：，则它适用于任何直线。特别地，当时，直线方程为；当时，直线方程为。例4、 已知直线：，过点引一条直线与分别交于点M，N两点

4、，若P恰为MN的中点，求直线的方程。分析：由于M，N以P为中点，也就是说M,N关于点P对称，从而可用求对称点的问题分别求出点M，N的坐标，利用两点式建立直线方程。解：设M()，则N点的坐标为（）又点M,N分别在直线，上，解得，从而M,N两点的坐标分别为M(),N所以直线的方程为：，整理得。四、 截距式若直线在轴上的截距分别为，则直线的方程为：；它不适用于平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线和经过原点的直线。但若将此直线改写成，则适用于任何直线。例5、 若直线在两坐标轴上的截距相等，其截距之和为12,求直线的方程。分析：由于直线在两坐标轴上的截距相等，且两截距之和等于12，则其截距不可能为零，从而可

5、求出两截距的值利用截距式建立直线方程。解：设直线在上的截距分为，则且，从而所以所求的直线方程为整理得。例6、 若直线在x轴上的截距的截距是它y轴上的截距的2倍，且两截距之和等于12，求直线的方程。分析：同上题一样，由于直线在x轴上的截距的截距是它y轴上的截距的2倍，且两截距之和等于12，所以其截距不可能为零，从而可求出两截距的值利用截距式建立直线方程。解：设直线在上的截距分为，则且解得，所以所求的直线方程为整理得。五、 一般式直线的方程的一般形式为；它适用于任何直线。例7、 过点引一条直线，使A(2,3),B()到它的距离相等，求这条直线的方程。解：设此直线的方程为，直线过点且A(2,3),B()到它的距离相等，从而有，解得A=4B或3ABC=0；A=4B,C=6B或2A=3B,7A=3C直线的方程为，即。例8、 若求过点P（1,2）且与直线平行的直线的方程。分析：由于所求直线与直线平行，所以可用一般式建立所求直线的方程，再用待定系数法求出C，从而写出所求的直线方程。解：设所求直线方程为，因为它过点（1,2），将点（1,2）代入直线方程，解得C=8，从而所求的直线方程为：。重点提示：由以上分析可以看出：1