江苏省各市2012年中考数学分类解析9三角形

1、江苏 13 市 2012 年中考数学试题分类汇编专题 9：三角形一、选择题1. （2012 江苏苏州 3 分）如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到AOB，若AOB=15°，则AOB的度数是【】BAAOBA.25°B.30°C.35°D. 40°【】B。【考点】旋转的性质。【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出：将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到AOB，AOA=45°，AOB=AOB=15°，AOB=AOAAOB=45°15

2、°=30° 。故选 B。2. （2012 江苏无锡 3 分）sin45°的值等于【】ABCD 1【】B。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°=2 。故选 B。23. （2012 江苏镇江 3 分）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第 1 个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第 2 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如图），按此方式依次操作。则第 6个

3、正六边形的边长是【】æ 1 ö5æ 1 ö5æ 1 ö6æ 1 ö61111A. ´ç ÷ a 32´ ç ÷23´ ç ÷32´ ç ÷23B.aC.aD.aè øè øè øè ø二、填空题1. （2012 江苏常州 2 分）若=600，则 的余角为，cos 的值为。【】300， 1 。2【考点】余角定义，特殊角的

4、三角函数值。【分析】根据余角定义， 的余角为 900600=300；由特殊角的三角函数值，得 cos= 1 。22. （2012 江苏3 分）如图，ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，若BAC=700，则BAD=0。【】35。【考点】等腰三角形的性质。【分析】由 AB=AC， ADBC，根据等腰三角形三线合一的性质，得BAD=CAD；由BAC=700，得BAD=350。3. （2012 江苏南京 2 分）如图，将45° 的AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm，若按相同的方式将37

5、° 的AOC 放置在该尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 cm（结果精确到 0.1 cm，参考数据： sin 37°» 0.60 ， cos 37°» 0.80 ， tan 37°» 0.75 ）【】2.7。【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点 B 作 BDOA 于 D，过点 C 作 CEOA 于 E。在BOD 中，BDO=90°，DOB=45°，BD=OD=2cm。CE=BD=2cm。在COE 中，CEO=90

6、°，COE=37°， tan37° = CE » 0.75 ，OE2.7cm。OEOC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 2.7cm。4. （2012 江苏泰州 3 分）如图，ABC 中，C=90°，BAC 的平分线交 BCD，若CD=4，则点D 到 AB 的距离是【】4。【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。【分析】过点 D 作 DEABE，则 DE 即为点 D 到 AB 的距离。AD 是BAC 的平分线，CD=4，根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得 DE= CD=4，即点 D 到 AB 的距离为 4。5. （2012 江

7、苏泰州 3 分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB、CD 相交P，则 tan APD的值是【】2。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】如图，连接 BE，交 CDF。四边形 BCED 是正方形，11DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF。22根据题意得：ACBD，ACPBDP。11DP：CP=BD：AC=1：3。DP=PF=CF=BF。22在 RtPBF 中， tanÐBPF = BF = 2 。PFAPD=BPF，tanAPD=2。6. （2012 江苏无锡 2 分

8、） 如图，ABC 中，ACB=90°，AB=8cm，D 是 AB 的中点现将BCD 沿 BA 方向平移 1cm，得到EFG，FG 交 AC 于 H，则 GH 的长等于cm【】3。【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由ACB=90°，AB=8，D 是 AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得 AD=BD=CD= 1 AB=4。然后由平移的性质得 GHCD，因此AGHADC。2 AG = GH 。ADDC又EFG 由BCD 沿 BA 方向平移 1cm 得到的， AG=41=3。 3 = GH ，GH=3。447

9、. （2012 江苏镇江 2 分）如图，1 是 RtABC 的一个外角，直线 DEBC，分别交边 AB、D、E，1=1200，则2 的度数是。AC【】300。【考点】平行线的性质，三角形内角定理。【分析】DEBC（已知），2=B（两直线平行，同位角相等）。又1=AB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和），1=A2（等量代换）。又1=1200（已知），A=900（直角的定义），1200=9002（等量代换）。2=1200900=300（移项，合并）。三、解答题1. （2012 江苏常州 5 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC，求证：DBC=DCB。【】证明：AD 平分B

10、AC，BAD=CAD。又AB=AC，AD=AD，BADCAD（SAS）。BD=CD。DBC=DCB。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】由已知，根据 SAS 可证BADCAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得 BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得DBC=DCB。2. （2012 江苏10 分）如图，ABC 中，C=900，点 D 在 AC 上，已知BDC450，BD10 2 ，AB20，求A 的度数。【】解：在直角三角形 BDC 中，BDC=45°，BD=10 2 ，BC=BDsinBDC=10 2 ´2 =10 。2C=90°

11、;，AB=20， sinÐA = 10 = 1 。A=30°。AB202【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。BC【分析】首先在直角三角形 BDC 中，利用 BD 的长和BDC=45°求得线段 BC 的长，然后在直角三角形 ABC 中求得A 的度数即可。3. （2012 江苏连云港 10 分）已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2°方向，且其到 A 观测点正北方向的距离 BD 的长为 16km，一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿的 BC 方向航行，15min 后达到 C 处，现测得 C 处位于 A 观测点北偏东 79.8

12、76;方向，求此时货轮与 A观测点之间的距离 AC 的长(精确到 0.1km)(参考数据：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50， 2 1.41， 5 2.24)【】解：由路程=速度×时间，得 BC40× 15 10。60在 RtADB 中，sinDBA DB ，sin53.2°0.8，AB» 16 =20 。DBABsinÐDBA0.8如图，过点 B 作 BHAC，交 AC 的延长线于 H，在 RtAHB

13、 中，BAHDACDAB63.6°37°26.6°，tanBAH BH ，0.5 BH ，AH2BH。AHAH又BH2AH2AB2，即 BH2(2BH)2202，BH4 5 ，AH8 5 。在 RtBCH 中，BH2CH2BC2，即（4 5 ）2CH2102，CH2 5 。ACAHCH8 5 2 5 6 5 13.4。答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 约为 13.4km。【考点】解直角三角形的应用（问题）锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】根据在 RtADB 中，sinDBA DB ，得出 AB 的长，从而得出 tanBAH BH ，AB求出 BH 的长

14、，即可得出 AH 以及 CH 的长，从而得出AH。4. （2012 江苏南京 8 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ABC=90°，点 D 在 BC 的延长线上，且 BD=AB，过 B 作 BE AC，与 BD 的垂线 DE 交（1）求证：ABCBDEE，（2）三角形 BDE 可由三角形 ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心 O（保留作图痕迹，不写作法）【】（1）证明：在 RtABC 中，ABC=90°，ABE+DBE=90°。BEAC，ABE+A=90°。A=DBE。DE 是 BD 的垂线，D=90°。在ABC 和BDE 中， A=DBE

15、 ，AB=DB ，ABC=D，ABCBDE（ASA）。（2）如图，点 O 就是所求的旋转中心。【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换），线段垂直平分线的性质。【分析】（1）利用已知得出A=DBE，从而利用 ASA 得出ABCBDE 即可。（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。5. （2012 江苏南通 8 分）如图，某测量船位于海岛 P 的北偏西 60º 方向，距离海岛 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛 P 的西南的 B 处求测量船从 A 处航行到 B 处的路程(结果保留根号)【】解：AB 为南北方

16、向，如图，AEP 和BEP 均为直角三角形。在 RtAEP 中，APE=90°60°=30° ，AP=100，11AE=AP=×100=50 ，EP=100×cos30°=503 。22在 RtBEP 中，BPE=90°45°=45° ，BE=EP=50 3 。AB=AEBE=5050 3 。答：测量船从 A 处航行到 B 处的路程为 5050 3 海里。【考点】解直角三角形的应用（问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形，将 AB 分为 AE 和 BE 两部分，分别在 RtB

17、EP 和 RtBEP 中求解。6. （2012 江苏苏州 8 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30°，BCAC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台DE 和一条新的斜坡 BE（. 请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据）.若修建的斜坡 BE 的坡角(即BAC)不大于 45°, 则平台 DE 的长最多为 米；一座物 GH 距离坡脚 A 点 27（即 AG=27 米），小明在 D 点测得物顶部H 的仰角(即HDM)为 30°. 点 B、C、A、G、H 在同一个平面上，点 C、A

18、、G 在同一条直线上，且 HGCG，问物 GH 高为多少米？【】解：（1）11.0。（2）过点 D 作 DPAC，垂足为 P。11在 RtDPA 中，DP=AD=×30=15 ，22PA=ADcos30°= 30×3 =15 3 。2在矩形 DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=PAAG=153 +27。在 RtDMH 中，HM=DMtan30°= （15 3 +27）× 3 = 15+9 3 ，3GH=HMMG=15+15+9 3 45.6。答：物 GH 高为 45.6 米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，

19、特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意得出，BEF 最大为 45°，当BEF=45°时，EF 最短，此时 ED 最长，从利益出发而得出 EF 的长，即可得出：修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45°，BEF 最大为 45°，当BEF=45°时，EF 最短，此时 ED 最长。1BF=EF=BD=15，DF=15 3 。DAC=BDF=30°，AD=BD=30，2DE=DFEF=15（ 3 1）11.0。1（2）利用在 RtDPA 中，DP=AD，以及 PA=ADcos30°，从而得出 DM 的长，2利用 HM=D

20、Mtan30°得出即可。7. （2012 江苏宿迁 10 分）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画 AB 的底端距离地面的高度 BC=1m，在壁画的正前方点 D 处测得壁画顶端的仰角ADF=60°，底端的俯角BDF=30°，且点 D 距离地面的高度 DE=2m，求壁画 AB 的高度.【】解：FC=DE=2，BC=1，BF=1。BF1在 RtBDF 中，BDF=30°，BF=1， DF = 3 。tan30033在 RtADF 中，ADF=60°， DF = 3 ， AF = DF× tan600 = 3 × 3

21、 = 3 。壁画 AB 的高度为：AFBF=4。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别解 RtBDF 和 RtADF 即可。8. （2012 江苏泰州 10 分）如图，一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线上，小李在 P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC=30 m，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A、B、P、C 在同一平面内（1）求居民楼 AB 的高度；（2）求 C、A 之间的距离（精确到 0.1m，参考数据： 2 » 1.41 , 3

22、» 1.73, 6 » 2.45 ）【】解：（1）过点 C 作 CEBPE，在 RtCPE 中，PC=30m，CPE=45°， sin45°= CE 。PCCE=PCsin45°=30×2 =15 2 （m）。2点 C 与点 A 在同一水平线上，AB=CE=15 2 21.2（m）。答：居民楼 AB 的高度约为 21.2m。（2）在 RtABP 中，APB=60°， tan60°= AB 。BPAB = 152 =5 6 （m）。 BP =tan60°3PE=CE=15 2 m，AC=BE=152 +56

23、 33.4（m）。答：C、A 之间的距离约为 33.4m。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题），锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在 RtCPE 中，由sin45°= CEPC得出 EC 的长度，从而可求出。（2）在 RtCPE 中，由 tan60°= AB 得出 BP 的长，从而得出 PE 的长，即可得出BP。9. （2012 江苏徐州 8 分）如图，为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，在操场上点 C 处直立高 3m 的竹竿 CD，然后退到点 E 处，此时恰好看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端

24、 B重合；又在点 C1 处直立高 3m 的竹竿 C1D1，然后退到点 E1 处，此时恰好看到竹竿顶端D1 与电线杆顶端 B 重合的眼睛离地面高度 EF=1.5m，量得 CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m。（1）FDM，F1D1N；（2）求电线杆 AB 的高度。,当站立在镜子 EF 前 A 处时,他看10. （2012 江苏盐城 10 分）的脚在镜中的像的俯角为45° ；如果向后退 0.5 米到 B 处,这时他看的脚在镜中的像的俯角的眼睛到地面的距离.(结果精确到 0.1 米,参考数据: 3 » 1.73)为30° .求【】解：设 AC = x(m) ，则在

25、RtDCAA1 中， ÐCA1 A = 45° , AC = AA1 = x 。DB3。又在 RtDDB B 中， ÐDB B = 30° 。 tan ÐDB B =111BB31 BB1 =3x 。由对称性知： AE = A1E ， BE = B1E ， BB1 = AA1 +1，即 3x = x +1。x =3 +1 » 1.4 。2的眼睛到地面的距离约为1.4m 。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质。【分析】设 AC = x(m) ， 利用等腰直角三

26、角形的性质得出 AC = AA1 = x ，从而由DB3tan ÐDB B =1BB31得出 BB1 =3x ，由对称的性质得 BB1 = AA1 +1，即 3x = x +1，求出即可。11. （2012 江苏扬州 10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABCCDA90°，BEAD，垂足为 E求证：BEDE【】证明：作 CFBE，垂足为 F，BEAD，AEB90°。FEDDCFE90°，CBEABE90°，BAEABE90°。BAECBF。四边形 EFCD 为矩形。DECF。在BAE 和CBF 中，CBEBAE，BFCB

27、EA90°，ABBC，BAECBF（AAS）。BECF。又CFDE，BEDE。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】作 CFBE，垂足为 F，得出矩形 CFED，求出CBFA，根据 AAS 证BAECBF，推出 BECF 即可。12. （2012 江苏扬州 10 分）如图，一艘巡逻艇航行至海面 B 处时，得知正北距 B 处20 海里的 C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口 A 处的救援艇前往 C 处营救已知 C 处位于 A 处的北偏东 45°的，港口 A 位于 B 的北偏西 30°的求 A、C 之间的距离(结果精确到 0.1 海里，参考数据

28、2 1.41， 3 1.73)【】解：作 ADBC，垂足为 D，由题意得，ACD45°，ABD30°。设 CDx，在 RtACD 中，可得 ADx，在 RtABD 中，可得 BD 3x .又BC20，x 3x 20，：x =10(3 -1) 。AC 2x= 2 ×10(3 -1) » 1.41´10 ´ (1.73 -1)=10.293 » 10.3(海里)。答：A、C 之间的距离为 10.3 海里。【考点】解直角三角形的应用（问题，）锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形：作 ADBC，垂足为 D，设

29、 CDx，利用解直角三角形的知识，可得出 AD，从而可得出 BD，结合题意 BCCDBD20 海里可得出方程，解出 x 的值后即可得出。13. （2012 江苏镇江 6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE并延长交 CB 的延长线F，点 G 在 BC 边上，且GDF=ADF。（1）求证：ADEBFE；（2）连接 EG，EG 与 DF 的位置关系，并说明理由。【】解：（1）证明：ADBC，ADE=BFE（两直线平行，内错角相等）。E 是 AB 的中点，AE=BE。又AED=BEF，ADEBFE（AAS）。（2）EG 与 DF 的位置关系是 EGDF。理由如

30、下：ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE（等量代换）。GD=GF（等角对等边）。又ADEBFE，DE=EF（全等三角形对应边相等）。EGDF（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用 AAS 即可证明ADEBFE。（2）由ADE=BFE，GDF=ADF 可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得 GD=GF；由（1）ADEBFE 可得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EGDF。14. （2012 江苏镇江 11 分）等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 A

31、P，以 AP 为两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交M、N（如图 1）。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。若，BM= 3 ，求 x 的值；8记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；，BAD=150？并判连接 DE，分别与边 AB、AC 交G、H（如图 2），当 x 取断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【】解：（1）证明：ABC、APD 和APE 都是等边三角形，AD=AP ， DAP=BAC=600 ， ADM=APN=600 。DAM=PAN。ADMAP

32、N（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP， BM =，CPCA3BPBN= 3 ，AC=2，CP=2x，8x= 1 或 x= 3 。= x ，即4x2 - 8x+3=0 。82 - x222四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积。ADMAPN，DAPN 。 S四边形AMPN = SDAPM + SDANP = SDAPM + SDADM = SDADP 。如图，过点 P 作 PSABS，过点 D 作 DTAPT，则点T 是 AP 的中点。在 RtBPS 中，P=600，BP=x，PS=BPsin600= 3 x，10BS=BPcos60 =x。22AB=2，AS=ABBC=2 1 x。2ö2ö2ææ13 AP2 = AS2PS2 = ç 2 - x ÷ +çx ÷ =x2 - 2x+4è2ø2èø。 SD= 1 × AP × DT = 1 × AP × 3 AP= 3