常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析.精品文档.常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析 (function() var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2); document.write(''); (window.slotbydup = window.slotbydup | ).push( id: "u3686515", container: s 摘 要 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，而

2、并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。 关键词 Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价 doi ： 10 . 3969 /

3、 j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050 中图分类号 F830.9 文献标识码 A 文章编号 1673 - 0194（2018）23- 0117- 04 1 Black-Scholes期权定价模型 1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯以及后来为该方程做出重大贡献的默顿（Merton）共同获得了1997年10月10日的诺贝尔经济学奖。 Black-S

4、choles期权定价模型是建立在以下假设之上的： （1）股票不支付红利，且股价St服从几何布朗（Brown）运动，其随机微分方程为 dSt=Stdt+StdWt（1） 其中，均为常数，Wt是定义在概率空间（，F，P）上的标准布朗运动。 （2）市场是完全的，所有未定权益都是可复制的，且不存在任何套利机会； （3）无风险利率r是一个常数，并且任何期限的借贷利率都相等； （4）允许无限制的卖空； （5）市场是无摩擦的，即无税收成本、无交易成本； （6）股票可以以任何数量在任何连续的时间内交易。 首先求解随机微分方程式（1）。根据伊藤（It？?h）公式可得： d ln St=- dt+dWt（2） 给

5、定初始股价S0，在式（2）的两边同时取0，t上的积分便可解得： St=S0e （3） 如果一个金融市场仅包括无风险资产和股票两种资产，无风险利率为r，给定时间区间0，T，将0，T进行N等分，每个子区间的长度均为t，则T=Nt。设t0，T，令t=nt。在离散情形下，投资者的初始财富为X0，他于nt时刻购买了？准nt份股票，若nt时刻的股价为Snt，则在下一时刻，投资者拥有的财富值满足： X（n+1）t =？准ntS（n+1）t +（Xnt -？准nt=Snt）ert 化简整理得： X（n+1）t-Xnt=？准nt（S（n+1）t-Snt）+（Xnt -？准ntSnt）（ert-1）（4） 当t0

6、时，ert-1rt，再根据微分与差分的关系，结合式（1），（4）可变为 dXt=（-r）？准tSt+rXtdt+？准tStdWt（5） 给定一个适应过程t= ，令Zt=e ，则Z0=1，根据伊藤公式，在概率测度P下，有 dZt=-tZtdWt（6） 式（6）说明，Zt在概率测度P下是一个鞅。在式（6）的两边同时取0，t上的积分， Zt=1- ZsHsdWs 由于 ZsHsdWs是一个随机伊藤积分，所以期望为0。令ZT=Z，则 EP（Z）=EP（ZT）=EP（1- ZsHsdWs）=1 如果把Z（）视为概率空间（，F，P）上一个几乎必然为正的随机变量，且EP（Z）=1，定义一个新的概率测度Q：

7、Q（A）= Z（）dP（），？坌AF（7） 就会有如下形式的拉东-尼柯迪姆（Radon-Nikodym）导数： dQ=Z（）dP 若概率测度QP，并且假定EP（ s2ZS2ds） 考虑一份在T时刻到期的欧式期权，期权在到期时刻的价值VT=V（T，ST）满足： VT=V（T，ST）=maxST-K，0 欧式看涨期权maxK-ST，0 欧式看跌期权（15） 其中，K>0表示期权合约的敲定价格。根据完全市场的可复制原理，令X=V，在风险中性概率测度Q下，由于资产组合价值的贴现过程Xt*是一个鞅，所以期权价值的贴现过程Vt*=e-rtVt也是一个鞅，即 EQ（e-rTVT|Ft）=e-rtVt（

8、16） 稍做整理便可得到风险中性定价公式： Vt=EQe-r（T-t）VT|Ft（17） 仿照式（3），根据式（9），在风险中性概率测度Q下可以解得： St=S0e 于是，在最终时刻T， ST=S0e =Ste （18） 假设随机变量Y=- N（0，1），其累积分布函数为N（?），则式（18）可写为 ST=Ste （19） 首先考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，其价值函数不妨设为Ct=C（t，St），则 CT=C（T，ST）=maxST-K，0（20） 当ST=Ste >K时，解此不等式得： Y0，0首先求解随机微分方程式（25）。根据伊藤公式可得： d（lnSt）=- -a ln S

9、tdt+dWt（26） 不妨设Yt=ln St，则式（26）可变为 dYt=- -a Ytdt+dWt（27） 又因为 d（eatYt）=aeatYtdt+eatdYt 结合式（27）得： d（eatYt）=- eatdt+eatdWt（28） 而Y0=ln S0=0，故在式（28）的两边同时取0，t上的积分便可解得： St=e （29） 由此可见，当a0+时，1-e-atat，从而， - - t且e-at easdWs dWs=Wt 故Ste ，这恰好是当S0=1时的几何布朗运动模型的解析解，所以Ornstein-Ulhenbeck期权定价模型是Black-Scholes期权定价模型假设股价

10、遵循随机微分方程式（1）的一个极限情况，同样，这也是对经典的Black-Scholes期权定价模型的一个改进。 在概率空间（，F，P）上，若设股价的贴现过程St*=e-rtSt，则有 dSt*=（1-aln St）-rSt*dt+St*dWt（30） 如果Q为风险中性概率测度，且Q-P，令t= ，故t是一个适应过程，则在Q下，定义一个标准布朗运动： t=Wt+ tds 另设Zt=e ，Zt在P下是一个鞅，于是式（30）可变为 dSt*=St*d t（31） 式（31）说明，在风险中性概率测度Q下，股价的贴现过程St*是一个鞅，并且可以解得： St*=S0*e （32） 其中，St*=1。这样，

11、式（32）与式（12）在形式上是一致的。 在风险中性概率测度Q下，式（25）可变为 dSt=rStdt+Std t（33） 由此可见，式（33）与式（9）在形式上也是一致的，这样就可以断定，在Black-Scholes模型和Ornstein-Ulhenbeck模型下，欧式期权具有相同的价格。 3 跳跃-扩散过程的期权定价模型 Black-Scholes模型是一个经典的、典型的期权定价模型，它利用几何布朗运动来模拟连续时间、连续状态下股票?r格的运动模式，但是股票价格的变动并非都是连续的，有时会发生跳跃的行为。例如，在1987年的“?色星期五（Black Friday）”中，股票价格日平均跌幅高

12、达30%，这时的股价就呈现出跳跃状态。为了全面描绘股价的真实运动情况，1975年，默顿在其发表的论文股票收益不连续时的期权定价中假设股价会产生跳跃的行为，即在原几何布朗运动的基础上加了一个跳跃项。 给定一个概率空间（，F，P），设X1，X2，是一列独立同分布的随机变量，数学期望为EP（Xi）=，i=1，2，。Nt是强度为的泊松（Poisson）过程，对于任意的0stT，其增量的分布为 P（Nt-Ns=n）= e-（t-s），n=0，1，（34） 其中，N0=0，泊松过程的增量是独立的，并且EP（Nt）=Varp（Nt）=t。若Xi与Nt相互独立，定?x复合泊松过程Yi= Xi，这样，EP（Yt

13、）=EPEP（Yt|Nt=n）= e-t? EP（Xi）=t 若定义补偿复合泊松过程为Mt=Yt-t，则Mt在概率测度P下是一个鞅，即 EP（Mt|Fs）=EP（Yt-t|Fs）=Ys-s=Ms 其中，0stT，Fs=（Yu，0us）表示由Yt生成的-域流。 默顿的跳跃-扩散模型是建立在几何布朗运动基础之上的，即在原有的几何布朗运动模型中加入跳跃项。假设股票的价格满足如下的随机微分方程： dSt=Stdt+StdWt+StdMt=（-）Stdt+StdWt+StdYt（35） 这里，Wt是定义在（，F，P）上的标准布朗运动。根据多莱昂-戴德（Doleans-Dade）指数公式，方程式（35）的

14、解为 St=S0e （Xi+1）（36） 其中，S0为初始股价。若设Bi=ln（Xi+1）服从正态分布，则Bi也是独立同分布的，且 （Xi+1）= e 这样，式（36）可写为 St=S0e （37） 给定一个风险中性概率测度Q-P，则在Q下，定义标准布朗运动 t=Wt+t，Nt是风险中性强度为 的泊松过程，EQ（Xi）= ，且Mt=Yt- t。由于测度变换改变了股票的平均回报率，使它成为无风险利率r，即 dSt=rStdt+Std t+StdMt=（r+- ）Stdt+StdWt+StdYt（38） 因为QP，所以式（35）与式（38）相等，即 -=r+- （39） 式（39）就是该模型的风险

15、的市场价格方程。类似于式（35），方程式（38）的解为 St=S0e （40） 考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，Q为风险中性概率测度，在最终时刻T，期权的价值为 CT=C（T，ST）=maxST-K，0（41） 如果股价没有发生跳跃，则根据欧式看涨期权的Black-Scholes定价公式，令 StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）=g（T-t，St）（42） 则在Nt=n的条件下，对于t0，T），根据风险中性定价原理便可得到此时的欧式看涨期权的定价公式，即 Ct=C（t，St）= e-r（T-t）EQ（g（T-t，Ste ）（43） 其中，N（?）是标准正态分布的累积分布函数，且有

16、d1= ln +r+ （T-t） d2= ln +r- （T-t） 根据式（43），再结合平价公式（23）便可求得欧式看跌期权的定价公式。 4 结 语 经典的Black-Scholes期权定价模型假设股价遵循几何布朗运动，通过构造一个与原概率测度等价的风险中性概率测度，进而利用鞅的方法以及平价公式就可以推导出欧式看涨、看跌期权的定价公式。在风险中性概率测度下，股票的预期收益率可以视为无风险利率。 Ornstein-Ulhenbeck模型与跳跃-扩散模型可以视为对经典的Black-Scholes期权定价模型的改进，它们都是通过调整股价所满足的随机微分方程来对期权定价：Ornstein-Ulhenbeck模型是通过调整股价所沿着方向的变化来对期权定价，欧式期权在Ornstein-Ulhenbeck模型与Black-Scholes模型中具有相同的价格；跳跃-扩散模型是根据股价是否发生跳跃而添加跳跃项来对期权定价，如果股价发生跳跃，则应在原几何布朗运动的基础上添加由补偿复合