动力气象-第三章(尺度分析与方程简化)

1、第三章第三章 尺度分析与基本方程组的简化尺度分析与基本方程组的简化 尺度分析尺度分析大尺度运动方程组简化大尺度运动方程组简化 大尺度运动的基本性质大尺度运动的基本性质 一一无量纲方程及动力学参数无量纲方程及动力学参数引引 言言 大气运动方程组是非常复杂的，它是具有大气运动方程组是非常复杂的，它是具有6个个变量的变量的非线性非线性偏微分方程组，因此在研究具体的大偏微分方程组，因此在研究具体的大气运动过程时，需要对方程进行简化。气运动过程时，需要对方程进行简化。 所谓简化就是在运用运动方程之前，针对所研所谓简化就是在运用运动方程之前，针对所研究的运动形势的特点，正确区分影响运动过程的究的运动形势的

2、特点，正确区分影响运动过程的主主要因素要因素和和次要因素次要因素，然后略去方程中次要项，而保，然后略去方程中次要项，而保留其中主要项。留其中主要项。目的：目的：对方程进行简化，突出主要因子，研对方程进行简化，突出主要因子，研究运动的主要特征。究运动的主要特征。途径：途径：分析各因子（各项）大小，分析各因子（各项）大小， 大大重要；重要； 次要次要简化的方程一方面在简化的方程一方面在数学形式数学形式上变得上变得简单简单和容易处理和容易处理，另一方面突出了某种运动型，另一方面突出了某种运动型式的本质特征，其结果便于从式的本质特征，其结果便于从物理上进行物理上进行解释解释和和在实际工作中应用在实际工

3、作中应用。一、尺度分析一、尺度分析特征尺度特征尺度是指某种特定型式运动的空间范围和时是指某种特定型式运动的空间范围和时间区间以及气象要素或者其他特性的间区间以及气象要素或者其他特性的一般大小一般大小。各物理场变量的时空变化有一个范围，具有各物理场变量的时空变化有一个范围，具有代表代表意义的量值意义的量值特征值特征值尺度。尺度。例：水平风速在例：水平风速在 525m/s之间，特征值之间，特征值 ( U ) 取为取为10m/s。u=Uu*，v=Uv*，则则U101m/s，u*和和v*为为数值在数值在0.52.5之间的之间的无量纲量无量纲量。将任一物理量将任一物理量q 写作：写作： q = Q q*

4、 其中：其中： Q 特征量特征量，表示该物理量的，表示该物理量的一般大小一般大小；常量；有量纲常量；有量纲。 q* 无量纲量无量纲量，量级在，量级在 100，表示该，表示该物理量的物理量的具体大小具体大小；变量；没有量纲变量；没有量纲。 这里的这里的q是广义的，不仅包括气象要素，是广义的，不仅包括气象要素，还包括方程各项。还包括方程各项。比较物理量的大小，可比较特征量的大小。比较物理量的大小，可比较特征量的大小。*,uUuttuUutt已知：则：*Uuutt是的特征量，是其无量纲量。 特征尺度的选取和记号特征尺度的选取和记号 运动的水平尺度运动的水平尺度L：对于波状式的运动取其对于波状式的运动

5、取其1/4 的波长，对于涡旋运动则取其半径；的波长，对于涡旋运动则取其半径； 铅直（垂直）尺度铅直（垂直）尺度D：是指系统的垂直厚度；：是指系统的垂直厚度； 时间尺度时间尺度 ：系统发生到消亡所经历的时间；系统发生到消亡所经历的时间； 水平速度尺度水平速度尺度U：是指水平速度的量级；是指水平速度的量级； 垂直速度尺度垂直速度尺度W：则是指垂直尺度的量级。则是指垂直尺度的量级。 特征尺度的选取和记号特征尺度的选取和记号 尺度分析法的基本规定尺度分析法的基本规定 (1) 速度（水平、垂直）变化尺度与速度尺度相速度（水平、垂直）变化尺度与速度尺度相同：同： hU zU U， hW zW W (2)

6、经过时间尺度经过时间尺度 ，物理量，物理量F的时间变化尺度的时间变化尺度 tF与水平变化尺度与水平变化尺度 hF相同：相同： tF hF (3) 气压和密度的气压和密度的水平变化尺度比其本身的尺度水平变化尺度比其本身的尺度小，小，但是但是气压和密度的垂直变化尺度与气压和密度的垂直变化尺度与其本身其本身的尺度相当：的尺度相当： hPP ， h ； zPP ， z 。uuUxxLuuvvUxyxyLuvUzzDwwWxyLwWzD时间尺度：时间尺度：运动系统演变经历一个阶段所运动系统演变经历一个阶段所需要的特征时间，用符号需要的特征时间，用符号表示。表示。=L/C，如果如果=L/U，则称为则称为平

7、流时间尺度平流时间尺度。2,uvCUUwCWUWttLLtLL尺度分析数量级运算规则尺度分析数量级运算规则大气运动的尺度分类大气运动的尺度分类水平水平气压梯度力是一真实力，它应是运动方程气压梯度力是一真实力，它应是运动方程中的主要项。观测表明，在水平特征尺度相差中的主要项。观测表明，在水平特征尺度相差很大的气旋、反气旋和龙卷、飑线、飓风（台很大的气旋、反气旋和龙卷、飑线、飓风（台风）中的风）中的水平气压变动水平气压变动尺度可达到同样的量级，尺度可达到同样的量级，使得它们的使得它们的水平气压梯度水平气压梯度相差好几个量级。相差好几个量级。说说明大气运动的特征与水平尺度关系密切明大气运动的特征与水

8、平尺度关系密切，因此，因此常根据运动的水平特征尺度对大气运动进行分常根据运动的水平特征尺度对大气运动进行分类。通常分为大、中、小尺度运动。类。通常分为大、中、小尺度运动。各类运动的特征尺度各类运动的特征尺度基本物理量基本物理量各类运动的特征尺度各类运动的特征尺度辅助物理量辅助物理量在中纬度大尺度大气运动，各物理量的特征量为： 11216410;10;10;10UmsWmsLm Hm5203322250210(1000)10110101010hhzzNPhPamNPNgmsmPPPNPmP，17 5 10LsU对方程组进行尺度分析对方程组进行尺度分析水平尺度：水平尺度：大尺度为106m；中尺度为

9、105m；小尺度为104m。时间尺度：时间尺度：大尺度为105s；中尺度为104s；小尺度为103s。基本方程的简化方法1.零级简化方程零级简化方程 零级简化：保留方程中数量级最大的各项，零级简化：保留方程中数量级最大的各项，而其他项都略去不计。而其他项都略去不计。2.一级简化方程一级简化方程 一级简化：除保留方程中数量级最大的各项一级简化：除保留方程中数量级最大的各项外，还保留比最大项小一个量的各项。外，还保留比最大项小一个量的各项。运动方程的尺度分析运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）（不考虑摩擦力）二、大尺度运动方程组简化二、大尺度运动方程组简化运动方程的尺度分析运动方程的尺度分析（不考虑

10、摩擦力不考虑摩擦力）运动方程的尺度分析运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力不考虑摩擦力）连续方程的尺度分析连续方程的尺度分析热力学方程简化（绝热）热力学方程简化（绝热）热力学方程简化（绝热）热力学方程简化（绝热）28零级简化方程（只保留量级最大项，得到的方程）为：10101000pfvxpfuypgzuvxyTTTuutxy三、大尺度运动的基本性质三、大尺度运动的基本性质1. 水平方向上： 10hpfkV水平气压梯度力水平科氏力0地转平衡地转平衡地转平衡运动的特征：动力学特征：水平压力梯度力与科氏力相平衡运动学特征：风沿等压线吹；背风而立，高压在右，低压在左（南半球相反）。地转风的表达式： 1gh

11、VkPf1ghVkf南半球：南半球：0,0f在南半球：高压反气旋逆时针2. 垂直方向上： 10pgpg zz 静力平衡 不仅适用于大尺度系统，还适于中小尺度系统。 dPgdz Z坐标向P坐标的转换的物理基础 对上式从Z高度积分到大气顶H： ( )( )( )HPHP zzHHzHzdPgdzPP zgdzP zgdz 推论：垂直气压梯度力浮力 0uvxy连续方程的零级简化形式：水平无辐散水平无辐散热力学方程的零级简化形式（绝热） ： 0TTTuvtxy大尺度运动中温度的局地变化 主要是由温度平流引起的大尺度运动的基本性质大尺度运动的基本性质大尺度零级近似方程组（无绝热方程）大尺度零级近似方程组

12、（无绝热方程）1010100pfvxpfuypgzuvxy中纬度大尺度运动是准水平、中纬度大尺度运动是准水平、准地转平衡、准静力平衡、准地转平衡、准静力平衡、准水平无辐散、缓慢变化的准水平无辐散、缓慢变化的涡旋运动。涡旋运动。诊断方程、平衡简化方程组。诊断方程、平衡简化方程组。一级近似简化方程组一级近似简化方程组（保留量级最大项，和次一级的项，得到的方程）1110()0()0duuupuvfvtxyxuuupuvfutxyypgzuvwxyzTTTuuwtxy 密度变化准定常密度变化准定常准水平，准水平，非定常非定常准静力平衡准静力平衡0t0wz非平衡方程组。非平衡方程组。进行尺度分析的步骤：

13、1）把方程各项写作 “特征量无量纲量”的形式。2）化为“无量纲方程” ： 用方程中某一项的特征量同除方程的每一项（量纲齐次性原理）无量纲方程各项前面的系数无量纲（数）体现各项的相对重要性。 四、无量纲方程与无量纲参数无量纲方程与无量纲参数利用特征尺度将基本方程组进行无量纲化。不计摩擦的局地直角坐标系x方向的运动方程为：1uuuupuvwfvtxyzx 给出特征尺度引入无量纲量，记为：0( , )( ,)( , )( , )hhhx yL x yu vU u vpPpzDzttwWwff f 带上标的为无量纲量，量级为1。01f讨论各参数的物理意义？讨论各参数的物理意义？ 为基别尔参数：定义为局

14、地惯性力与科氏力的尺度之比：001 =uUtfvf Uff0 是大气中惯性运动的特征频率，所以，f0-1可以理解为惯性运动的特征时间尺度（e），也是地转适应过程的特征时间尺度。讨论各参数的物理意义？01ef因此，又可以理解为惯性运动的时间尺度与所研究的运动时间尺度之比，其大小反映运动变化过程的快慢程度。即的量级表示运动地转平衡近似程度。因此，当因此，当 1 时，时， u/t 相对于fv 可以略去。001 =uUtfvf Uf讨论各参数的物理意义？ 为罗斯贝参数，表示为水平惯性力与科氏力的尺度之比0020/VuULURfvf Uf L当R01，科氏力相对于水平惯性力可以略去。由于各类运动中的图中

15、水平速度变化不大，因此，R0的大小主要依赖于各种运动的水平尺度。大尺度运动中， R01，科氏力是不能忽略的；小尺度运动中， R01，科氏力可以被忽略不计。1001101010R大 尺 度中 尺 度小 尺 度中纬度大尺度运动： 41010,10mfs Us610Lm100101URf L准地转中纬度中小尺度运动： 41010,10mfs Us510Lm00010URf L非地转热带大尺度运动： 51010,10mfs Us610Lm00010URf L非地转 Ri为理查逊数，这是一个与为理查逊数，这是一个与大气层结稳定度大气层结稳定度和和风速切变风速切变有关的动力学参数。有关的动力学参数。 热力学方程由位温热力学方程由位温( )来表示为：来表示为： 令令 众所周知，层结越不稳定、风速越强，则有利于对众所周知，层结越不稳定、风速越强，则有利于对流的发展；反之不利于对流的发展。所以，流的发展；反之不利于对流的发展。所以，Ri当用来当用来表示大气中对流（扰动）导致的条件。表示大气中对流（扰动）导致的条件。2222ln/(/)(/)igzgg DRvzvzUlnlnlnln0uvwtxyzln1()dzT为什么要简化基本方程组？为什么要简化基本方程组？原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出数学上：方程组是