MATLAB优化工具箱

1、 MATLAB优化工具箱Optimization Toolbox 1.1 背景一、优化工具箱简介n优化理论是一门实践性很强的学科。它被广泛应用于生产管理、军事指挥和科学实验等各种领域，如工程设计中的最优设计，军事指挥中的最优火力配置问题等。优化理论和方法奠基于20世纪50年代。nMATLAB的优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规划，二次规划、非线性规划、最小二乘问题、非线性方程求解、多目标决策、最小最大问题、以及半无限问题等的优化问题。其简洁的函数表达、多种优化算法的任意选择、对算法参数的自由设置，可使用户方便灵活地使用优化函数。二二、常用的优化功能函数、常用的

2、优化功能函数l求解求解线性规划线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是linprog。l求解求解二次规划二次规划问题的主要函数是问题的主要函数是quadprog。l求解求解无约束非线性规划无约束非线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是fminbnd、fminunc和和fminsearch。l求解求解约束非线性规划约束非线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是fgoalattain和和fminimax。三三、一般步骤、一般步骤 建立目标函数文件 针对具体工程问题建立优化设计的数学模型不等式约束条件表示成g(X)0的形式 建立调用优化工具函数的命令文件文件内容：文件内容：必须的输入参数、描述目标

3、函数表达式等存储：存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中建立约束函数文件文件内容：文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等存储：存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数文件内容：文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件， 运算结果输出等内容存储：存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。n模型输入时需要注意问题： （1） 目标函数最小化； （2） 约束非正； （3） 避免使用全局变量。主要函数输入变量输出变量1.2 线性规划问题一、线性规划数学模型一、线性规划数学模型1.主要

4、应用对象：主要应用对象：（1）在有限的资源条件下完成最多的任务；（2）如何统筹任务以使用最少资源。2.数学模型形式：数学模型形式： min f TX s.t. AXb （线性线性不等式约束条件） AeqX=beq （线性线性等式约束条件） lb X ub （边界约束条件）约束条件约束条件决策变量决策变量目标函数目标函数非负数线性3.MATLAB中函数调用格式中函数调用格式 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)最优解最优解最优值最优值目标函目标函数各维数各维变量系变量系数向量数向量初始点初始点可选项可选项二、例题二

5、、例题生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工厂的总利润最大。x1x2x32x14x23x33x14x22x32x1x1x23x22x32x3+ + + + + + + + +3.确定约束条件：确定约束条件：X=x1,x2,x3T4.编制线性规划计算的编制线性规划计算的M文件文件f= 2, 4, 3A=3,4,2;2,1,2;1,3,2;b=600;400;800;Aeq=;beq=;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,

6、beq,lb)；二、例题二、例题解：解： 1.确定决策变量：确定决策变量：max2x1+4x2+3x33x1+4x2+2x36002x1+x2+2x3400 x1+3x2+2x3800设生产A、B、C三种产品的数量分别是x1,x2,x3，决策变量： 根据三种单位产品的利润情况，按照实现总的利润最大化，建立关于决策变量的函数：2.建立目标函数：建立目标函数：根据三种资料数量限制，建立三个线性不等式约束条件5.M文件运行结果：文件运行结果：Optimization terminated successfully.xopt =0.0000 66.6667 166.6667fopt=-766.6667

7、x1,x2,x30 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)- - -1.3 二次规划问题1.研究意义：研究意义：（1）最简单的非线性规划问题；（2）求解方法比较成熟。2.数学模型形式：数学模型形式： s.t. AXb （线性线性不等式约束条件） AeqX=beq （线性线性等式约束条件） lb X ub （边界约束条件）XCHXX21)X(fminTT一、二次规划问题数学模型一、二次规划问题数学模型约束条件约束条件决策变量决策变量目标函数目标函数二次函数3.MATLAB中函数调用格式中函数调用格式 xopt, fo

8、pt=quadprog(H,C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)最优解最优解最优值最优值目标函目标函数的海数的海赛矩阵赛矩阵初始点初始点可选项可选项目标函目标函数的一数的一次项系次项系数向量数向量 结果xopt=2.571,1.143,0.000fopt=-16.4898二、例题求解约束优化问题321232221xxx2xx2x2)X( f 6x2x3x)X(g321 4xxx2)X(h321 0 x,x,x321 s.t.XCHXX21)X( fTT 解：(1)将目标函数写成二次函数的形式，其中： 321xxxX 200042024H 100Cxop

9、t, fopt=quadprog( H, C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)(2)编写求解二次规划的M文件：H=4,-2,0;-2,4,0;0,0,2;C=0,0,1;A=1,3,2;b=6;Aeq=2,-1,1;beq=4;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)1.4 无约束非线性规划问题无约束非线性规划问题的MATLAB函数有fminbnd要求目标函数为连续函数要求目标函数为连续函数只求解单变量问题只求解单变量问题fminunc可求解单变量和多变量问题可求解单变量和多变量问题适用于

10、简单优化问题适用于简单优化问题可求解复杂优化问题可求解复杂优化问题fminsearch1.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2,options)1.4.1函数函数fminbnd设置优化选项参数设置优化选项参数迭代搜索区间迭代搜索区间目标函数目标函数返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解2.例题：例题： 求解一维无约束优化问题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex) 在区间0,1中的极小值。解解：(1)编制求解优化问题的编制求解优化问题的M文件。文件。 %求解一维优化问题 fun=inline(x3+cos(

11、x)+x*log(x)/exp(x),x);%目标函数 x1=0;x2=1;%搜索区间 xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2) (2)编制一维函数图形的编制一维函数图形的M文件。文件。 ezplot(fun,0,10) title(x3+cosx+xlogx)/ex) grid on1.4.1函数函数fminbnd运行结果：xopt = 0.5223fopt = 0.39741.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminsearch(fun,x0,options)1.4.2函数函数fminsearch设置优化选项参数设置优化选项参数初始点初始点目标函数目标函数返回目标

12、函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解2.例题：例题：求解二维无约束优化问题 f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2 +6)的极小值。解解：(1)编制求解二维无约束优化问题的编制求解二维无约束优化问题的M文件。文件。 %求解二维优化问题求解二维优化问题 fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; x0=0,0; %初始点初始点 xopt,fopt=fminsearch(fun,x0) (2)讨论。讨论。 将目标函数写成函数文件的形式：将目标函数写成函数文件的形式： %目

13、标函数文件目标函数文件search.m function f=search(x) f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; 则命令文件变为：则命令文件变为： %命令文件名称为命令文件名称为eg9_4.m x0=0,0; %初始点初始点 xopt,fopt=fminsearch(search,x0)1.4.2函数函数fminsearch运行结果：xopt = 1.0000 2.0000fopt = 4.0000 1.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x

14、0,options,P1,P2)1.4.3函数函数fminunc设置优化选项参数设置优化选项参数初始点初始点调用目标函数的函数文件名调用目标函数的函数文件名目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构返回算法的终止标志返回算法的终止标志返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解附加参数附加参数管道截面积：其中设计变量：1.4.3函数函数fminunc2.例题：例题： 已知梯形截面管道的参数是：底边长度c，高度h，面积A=64516mm2，斜边与底

15、边夹角为。管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 管道截面周长 hcsinh2cs64516ctghchA2hctgh64516csinh2hctgh64516sminx1x221211xsinx2ctgxxx64516f(X)hxxX21目标函数的文件目标函数的文件(sc_wysyh.m)：function f=sc_wysyh(x) %定义目标函数调用格式定义目标函数调用格式a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x

16、(2)*hd); %定义目标函数定义目标函数1.4.3函数函数fminunc2.例题：例题：解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的编写求解无约束非线性优化问题的M文件文件21211xsinx2ctgxxx64516)X( f x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminbnd(fun,x0,options,P1,P2)求最优化解时的命令程序求最优化解时的命令程序：x0=25,45; %初始点初始点x,Fmin=fminunc(sc_wysyh,x0); %求优语句求优语句fprintf(1,截面高度截面高度

17、h x(1)=%3.4fmmn,x(1)fprintf(1,斜边夹角斜边夹角 x(2)=%3.4f度度n,x(2)fprintf(1,截面周长截面周长s f=%3.4fmmn,Fmin)计算结果计算结果截面高度截面高度h x(1)=192.9958mm斜边夹角斜边夹角 x(2)=60.0005度度截面周长截面周长s f=668.5656mmxx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);x1,x2=meshgrid(xx1,xx2);a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd

18、);subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,f);clabel(h);axis(100,300,30,120)xlabel(高度高度 h/mm)ylabel(倾斜角倾斜角theta/(。)1.4.3函数函数fminunc2.例题：例题：解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的编写求解无约束非线性优化问题的M文件文件 (3)编写绘制一维函数图形的编写绘制一维函数图形的M文件文件title(目标函数等值线目标函数等值线)subplot(1,2,2);meshc(x1,x2,f);axis(100,300,30,120,600,

19、1200)title(目标函数网格曲面图目标函数网格曲面图)控制参数控制参数options123控制参数控制参数options1231.5 约束非线性规划问题1. 数学模型形式：数学模型形式： min f （X） s.t. AXb （线性线性不等式约束）不等式约束） AeqX=beq （线性线性等式约束）等式约束） C(X)0 （非线性非线性不等式约束条件）不等式约束条件） Ceq(X)=0（非线性非线性等式约束）等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件）约束条件约束条件 2.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output, grad,hessian= f

20、mincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)设置优化选项参数设置优化选项参数初始点初始点调用目标函数的函数文件名调用目标函数的函数文件名目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构返回算法的终止标志返回算法的终止标志返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解附加参数附加参数非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界线性等式约束的常数向量线性等式约束的

21、常数向量线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵符号符号“ ”代替代替控制参数控制参数options控制参数控制参数options例例1-6 某二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率某二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率P1=6.2kW，转，转速速n1=1450r/min；总传动比；总传动比i=31.5，齿轮宽度系数，齿轮宽度系数a=0.4，齿轮，齿轮材料和热处理：大齿轮材料和热处理：大齿轮45号钢正火号钢正火187207HB，小齿轮，小齿轮45号钢号钢调质调质

22、228255HB，工作寿命，工作寿命10年以上。要求按照总中心距年以上。要求按照总中心距a最最小来确定齿轮传动方案。小来确定齿轮传动方案。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： 将涉及总中心距将涉及总中心距a齿轮传动方案的齿轮传动方案的6个独立参数作为设计变量个独立参数作为设计变量 X=mn1,mn2,z1,z3,i1,T=x1,x2,x3,x4,x5,x6T 目标函数：目标函数： 减速器减速器总中心距总中心距a最小为目标函数最小为目标函数61542531xcos2)x5 .311(xx)x1(xx)X( fmin 二、例题二、例题 约束条件约束条件:

23、含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束0 xxx10079. 3xcos)X(g35333166310 xx10071. 1xcosx)X(g34324632520 xxx110939. 9xcos)X(g233155623）（0 xxx5 .3110076. 1xcosx)X(g24325462254）（0 x5 .31xxxxxxcos)50 x(2x)X(g5425316155）（0 x2)X(g160 x5 . 3)X(g2805x)X(g1706x)X(g290 x14)X(g310022x)X(g3110 x16)X(g412022x)X(g4130 x8 . 5)X(g5140

24、7x)X(g1150 x8)X(g616015x)X(g617高速级齿轮接触强度条件高速级齿轮接触强度条件低速级齿轮接触强度条件低速级齿轮接触强度条件高速级大齿轮弯曲强度条件高速级大齿轮弯曲强度条件低速级大齿轮弯曲强度条件低速级大齿轮弯曲强度条件大齿轮与轴不干涉大齿轮与轴不干涉低速级齿轮副模数的下限和上限低速级齿轮副模数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限低速级小齿轮齿数的下限和上限低速级小齿轮齿数的下限和上限高速级传动比的下限和上限高速级传动比的下限和上限齿轮副螺旋角的下限和上限齿轮副螺旋角的下限和上限性

25、性 能能 约约 束束边边 界界 约约 束束二、例题二、例题(2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)%两级斜齿轮减速器总中心距目标函数两级斜齿轮减速器总中心距目标函数function f=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a1=x(1)*x(3)*(1+x(5);a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;%两级斜齿轮减速器优化设计的非线

26、性不等式约束函数两级斜齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数functiong,ceq=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.079e-6*x(1)3*x(3)3*x(5);g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-1.701e-4*x(2)3*x(4)3;g(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*x(1)3*x(3)2;g(4)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x

27、(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5);ceq=; 文件名为：文件名为：Jsqyh_g.m文件名为：文件名为：Jsqyh_f.m二、例题二、例题(2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)x0=2;4;18;20;6.4;10;%设计变量的初始值设计变量的初始值lb=2;3.5;14;16;5.8;8;%设计变量的下限设计变量的下限ub=5;6;22;22;7;15;%设计变量的上限设计

28、变量的上限x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g);disp *两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解*fprintf(1, 高速级齿轮副模数高速级齿轮副模数 Mn1=%3.4fmmn,x(1)fprintf(1, 低速级齿轮副模数低速级齿轮副模数 Mn2=%3.4fmmn,x(2)fprintf(1, 高速级小齿轮齿数高速级小齿轮齿数 z1=%3.4fmmn,x(3)fprintf(1, 低速级小齿轮齿数低速级小齿轮齿数 z2=%3.4fmmn,x(4)fprintf(1, 高速级齿轮副传动比高速级齿轮副传动比 i1=%3.4

29、fmmn,x(5)fprintf(1, 齿轮副螺旋角齿轮副螺旋角 beta=%3.4fmmn,x(6)fprintf(1, 减速器总中心距减速器总中心距 a12=%3.4fmmn,fn) g=jsqyh_g(x); disp =最优点的性能约束函数值最优点的性能约束函数值=fprintf(1, 高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g1=%3.4fmmn,g(1)fprintf(1, 低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g2=%3.4fmmn,g(2)fprintf(1, 高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值高速级大齿轮齿根弯曲强

30、度约束函数值 g3=%3.4fmmn,g(3)fprintf(1, 低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g4=%3.4fmmn,g(4)fprintf(1, 大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值 g5=%3.4fmmn,g(5) , , , ,文件名为文件名为eg9_6.m二、例题二、例题(3) M文件运行结果文件运行结果 *两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解* 高速级齿轮副模数高速级齿轮副模数 Mn1=2.0461mm 低速级齿轮副模数低速级齿轮副模数 Mn2=3.6059mm 高速级小齿轮齿

31、数高速级小齿轮齿数 z1=18.5156mm 低速级小齿轮齿数低速级小齿轮齿数 z2=16.0000mm 高速级齿轮副传动比高速级齿轮副传动比 i1=5.8000mm 齿轮副螺旋角齿轮副螺旋角 beta=8.0000 减速器总中心距减速器总中心距 a12=317.4186mm =最优点的性能约束函数值最优点的性能约束函数值= 高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g1=0.0000mm 低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g2=0.0000mm 高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g3=-1.0

32、042mm 低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g4=-15.1854mm 大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值 g5=-761.8043mm2mm4mm19165.88338.292mm340mm9.838(4) 优化结果处理优化结果处理 1.6 多目标优化问题多目标优化问题的MATLAB函数有fgoalattain需确定各分目标的加权系数需确定各分目标的加权系数需知各分目标的单个的最优值需知各分目标的单个的最优值目标函数的最大值逐次减小目标函数的最大值逐次减小fminimax1.6.1 函数函数fgoalattain min

33、 v s.t. fi(X)-wiv goali i=1,2,t AXb （线性不等式约束）（线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束）（线性等式约束） C(X)0 （非线性不等式约束条件）（非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性等式约束）（非线性等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件）一、多目标优化问题数学模型一、多目标优化问题数学模型标量变量标量变量各分目标函数各分目标函数分目标函数的权重分目标函数的权重各分目标函数的目标值各分目标函数的目标值 二、优化函数使用格式二、优化函数使用格式 x,fval,exitflag,output, grad,hes

34、sian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)设置优化选项参数设置优化选项参数各分目标权重各分目标权重各分目标期望值各分目标期望值目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构返回算法的终止标志返回算法的终止标志返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解附加参数附加参数非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界线性等式

35、约束的常数向量线性等式约束的常数向量线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵符号符号“ ”代替代替1.6.1 函数函数fgoalattain初始点初始点目标函数文件名目标函数文件名三、例题三、例题 设计带式输送机传动装置上的普通设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率带传动。已知电机额定功率P=4kW，转，转速速n1=1440r/min，传动比，传动比i=3，采用，采用A型型V带，每天工作不超过带，每天工作不超过10小时。要求小时。要求传动结构紧凑

36、（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： V带传动的独立设计变量是小带轮直径带传动的独立设计变量是小带轮直径dd1和带的基准长度和带的基准长度Ld X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数：l小带轮直径：小带轮直径：l中心距中心距:l带的根数带的根数:L00A3KK)PP(PKz)X(fmin 1.6.1 函数函数fgoalattain22112aaaa)X(fmin 8)1i (d4La1dd1 8)1i (da221d2 1.1拟合直线拟合

37、直线P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)0.17kWKL=0.20639Ld0.211806拟合拟合双曲双曲线方线方程程395144.80549636. 0Kminf1(X)=dd1=x1 约束条件约束条件:含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束0 x100dd)X(g11dmind1 02560000ndv60000nd)X(g11dmax11d2 0 x21180120)1i ( 1dd1180)X(g1min1min3 0ax8 . 2a)1i (d7 . 0)X(g11d4 0 x80)X(g15 0100 x)X(g16 0 x630)X(g27 04000 x

38、)X(g28 小带轮直径小带轮直径=推荐的推荐的A型带轮最小直径型带轮最小直径最大带速最大带速120带传动的中心距要求带传动的中心距要求小带轮基准直径的下限和上限小带轮基准直径的下限和上限带基准长度的下限和上限带基准长度的下限和上限性性 能能 约约 束束边边 界界 约约 束束三、例题三、例题1.6.1 函数函数fgoalattain1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数：l小带轮直径：小带轮直径：l中心距中心距:l带的根数带的根数:L00A3K

39、K)PP(PKz)X(fmin 22112aaaa)X(fmin minf1(X)=dd1=x180100mm320400mm14按容限值确定权重，按容限值确定权重，以使目标函数值在以使目标函数值在数量级上统一数量级上统一 222T222T3215 . 140102142320400280100wwww 约束条件约束条件:(2)确定分目标和它们的权重确定分目标和它们的权重(3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,opti

40、ons,P1,P2)%V带传动多目标优化设计的目标函数文件带传动多目标优化设计的目标函数文件function f=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径小带轮基准直径:目标函数目标函数1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)2*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);f(2)=a; %f2,中心距：目标函数中心距：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率单根带额定功率DP0=0.17

41、; %功率增量功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角小带轮包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数包角系数KL=0.20639*x(2)0.211806; %长度系数长度系数f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %f3-V带根数：目标函数带根数：目标函数31.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题(3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 %V带传动多目标优化设计的约束函数文件带传动多目标优化设计的约束函数文件 functiong,ceq=VDCD_3mb_YS(

42、x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径小带轮直径=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围带速范围V=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围中心距范围a=amin ceq=;1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)(3)编制优化设计的

43、编制优化设计的M文件文件%V带传动多目标优化设计的调用命令带传动多目标优化设计的调用命令P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，转速，工况系数已知条件：功率，传动比，转速，工况系数x0=100;1250; %初始点（小带轮直径，初始点（小带轮直径，V带基准长度）带基准长度）goal=75,280,2; %分目标分目标w=10(-2),40(-2),1.5(-2); %分目标加权系数分目标加权系数lb=80,630; %最小带轮直径和最小带轮直径和A型型V带的基准长度带的基准长度ub=100;4000; %最大带轮直径和最大带轮直径和A型型V带基准长度带基准长度

44、xopt,fopt=fgoalattain(VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,lb,ub,VDCD_3mb_YS)1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) , , , ,Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.xopt = 1.0e+003 * 0.1000

45、1.2269fopt = 100.0000 281.5296 3.5957(4) M文件运算结果文件运算结果1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题(5) 优化结果处理优化结果处理 dd1100mm1227mmLd小带小带轮基轮基准直准直径径带传带传动中动中心距心距带带的的根根数数1250mm圆圆整整4圆圆整整%优化结果数据处理后部分参数计算优化结果数据处理后部分参数计算Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250;v=pi*Dd1*n1/6e4;a1=Ld/4-pi*Dd1*(i+1)/8;a2=Dd12*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);

46、alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a;disp disp *计算结果计算结果*fprintf(1, 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=%3.0fmmn,Dd1);fprintf(1, 大带轮基准直径大带轮基准直径 Dd2=%3.0fmmn,Dd2);fprintf(1, V带基准长度带基准长度 Ld=%3.0fmmn,Ld);fprintf(1, 传动中心距传动中心距 a=%3.2fmmn,a);fprintf(1, 小带轮包角小带轮包角 alpha=%3.2f度度n,alpha);fprintf(1, V带根数带根数 z=%3.0fmmn,z);(4) M文件运算结果

47、文件运算结果1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题(5) 优化结果处理优化结果处理 *计算结果计算结果* 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=100mm 大带轮基准直径大带轮基准直径 Dd2=300mm V带基准长度带基准长度 Ld=1250mm 传动中心距传动中心距 a=293.82mm 小带轮包角小带轮包角 alpha=141.00度度 V带根数带根数 z= 4mm(4) M文件运算结果文件运算结果1.6.1 函数函数fgoalattain三、例题三、例题(5) 优化结果处理优化结果处理 (6) 最终方案最终方案 1.6.2 函数函数fminimax min max

48、f1,f2,f3 s.t. AXb （线性不等式约束）（线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束）（线性等式约束） C(X)0 （非线性不等式约束条件）（非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性等式约束）（非线性等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件）一、多目标优化问题数学模型一、多目标优化问题数学模型各分目标函数各分目标函数 二、优化函数使用格式二、优化函数使用格式 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fminimax(fun,x0, A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)设置优

49、化选项参数设置优化选项参数目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构返回算法的终止标志返回算法的终止标志返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解附加参数附加参数非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界线性等式约束的常数向量线性等式约束的常数向量线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵无定义时以空矩阵无

50、定义时以空矩阵符号符号“ ”代替代替1.6.2 函数函数fminimax初始点初始点目标函数文件名目标函数文件名三、例题三、例题 已知直径为已知直径为1单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： 矩形截面的宽和高矩形截面的宽和高 X=x1,x2T 目标函数：目标函数：l重量重量截面积：截面积：l弯曲强度弯曲强度 矩形截面矩量矩形截面矩量:1.6.2 函数函数fminimax6/xx)X(fmin2212 minf1(X)=x1x2r =1x1x2 约束条件约束条件:含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束1xx)X(h2221 0 x)X(g11 01x)X(g12 0 x)X(g23 01x)X(g24 变量变量x1的上下限的上下限变量变量x2的上下限的上下限等式约束等式约束性性 能能 约约 束束边边 界界 约约 束束1.6.2 函数函数fminimax三、例题三、例题(2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fminimax(fun,x