广义T-S模糊系统的鲁棒控制(6月28日)

1、密级： 广义T-S模糊系统的鲁棒控制Robust Control for Descriptor T-S Fuzzy Systems学 院：理学院专 业 班 级：信息与计算科学0602班学 号：060701030学 生 姓 名：王亚歌指 导 教 师：苏晓明 （教授） 2010年6月I 摘 要在实际应用的控制系统中，各种时域上的硬约束条件是广泛存在的。对控制系统的高性能要求，往往意味着需要较大的控制动作，这样就产生了高性能要求和满足时域硬约束之间的矛盾。如果只考虑系统性能，而不考虑时域硬约束，求出的控制量也远远地超出了约束的范围。在这种情况下，就不能保证闭环系统需要的性能，甚至可能会出现系统不稳定

2、的现象。所以说时域硬约束是控制器设计时必须考虑的因素。广义T-S模糊系统是在T-S模糊系统模型与广义系统理论的基础上衍生的而来的，近年来，广义T-S模糊系统在控制理论、电路、经济、机械以及其它领域中得到了广泛应用。因此，对广义T-S模糊系统进行研究具有重要的现实意义。本文针对不确定广义T-S模糊系统，基于广义Lyapunov稳定性理论和椭圆不变域方法，利用线性矩阵不等式(LMI)技术，分别研究了系统的最优控制问题和H控制问题。首先，考虑初始状态在非零情况下的不确定广义T-S模糊系统的最优控制问题，将系统输出能量作为优化性能指标，得到了优化性能指标和系统椭圆不变域的共同上界。通过最小化系统的这个

3、上界实现了广义T-S模糊系统的优化控制，同时可以用椭圆不变域来得到系统稳定的充分条件。其次，当存在外部干扰时，进一步考虑不确定广义T-S模糊系统干扰抑制问题，用双椭圆域方法寻找到了满足时域硬约束的充分条件的约束H控制策略。寻找到初始状态所在的一个椭圆域，在闭环系统满足一定的不等式并假设外部干扰的能量小于某个界的条件下，确定另一个包含系统所有可能状态的椭圆域。从而得到依赖于这个椭圆域的满足时域硬约束的充分条件。关键词：广义T-S模糊系统；时域硬约束；最优控制；H控制AbstractTime-domain hard constraints are probably the most widely

4、existent in practice control systems. It is well recognized that performance requirements for control systems imply large control actions. All of these result in the conflict between high performance and satisfaction of time-domain hard constraints. If one ignores these constraints and only performa

5、nce is treated, control action will exceed the bounds greatly. In such case, performance of closed-loop system wouldnt be guaranteed, even of stability. So time-domain hard constraints must be handled in some control system design.Descriptor T-S fuzzy system is a combination of both T-S fuzzy modula

6、r and descriptor system. Recently, there has extensive application in control theory, circuits, economics, mechanical systems and other areas. So it is of significant practical meaning to study the problem of descriptor T-S fuzzy system. Based on the descriptor Lyapunov theorem and the ellipsoidal i

7、nvariant sets methods, by using linear matrix inequalities (LMI), in this article, the optimal regulation problem and H control problem for uncertain descriptor T-S fuzzy systems have been considered.First, considering the optimal regulation problem for uncertain descriptor T-S fuzzy system with non

8、-zero initial state, we choose the energy of output as performance function, is the common super-bound for the performance and an ellipsoidal invariant set. So the optimal control can be realized by minimizing bound, and sufficient conditions dependent on the ellipsoidal invariant set for satisfying

9、 system stability are derived.Then, when external disturbance exists, further consideration disturbance restraint on uncertain descriptor T-S fuzzy system, we seek H control satisfying time-domain hard constraints with double-ellipsoidal-set. We seek an ellipsoidal set which includes initial state,

10、with closed-loop system satisfying some inequation and under the bound assumption of the external disturbance energy, we seek another ellipsoidal set containing all possible condition, and sufficient conditions dependent on the ellipsoidal invariant set for satisfying time-domain hard constraints ar

11、e derived.Keywords: Descriptor T-S fuzzy system; Time-domain hard constraints; Optimal regulation; H control目 录摘 要IAbstractII第1章 绪论11.1课题背景11.2 广义T-S模糊系统模型的提出21.3 广义T-S模糊系统的研究意义41.4 广义T-S模糊系统的研究现状51.5 全文主要研究工作6第2章 预备知识72.1 广义T-S模糊系统描述72.2 平行分配补偿控制器82.3 广义T-S模糊系统稳定性分析92.4 线性矩阵不等式102.5 S-Procedure132.

12、6 小结15第3章 不确定广义T-S模糊系统的最优控制163.1 引言163.2 不确定广义T-S模糊系统描述163.3 不确定广义T-S模糊系统的最优控制193.4 小结28第4章 不确定广义T-S模糊系统的H控制294.1 引言294.2 问题描述294.3 不确定广义T-S模糊系统的H控制294.4 小结35第5章 结论36参考文献38致 谢40III 沈阳工业大学本科生毕业设计（论文）第1章 绪论1.1课题背景美国加里福尼亚大学LAZadeh教授在1965年提出的Fuzzy set开始了模糊控制的历史，从此模糊数学学科发展起来了。自从1974年英国工程师EHMandani首先按模糊集合

13、理论组成了模糊控制器用于蒸气机的控制，使模糊控制得以广泛的发展并且在现实应用中取得了成功。在此后的20年中取得了迅速的发展，不论是在理论方面还是在实际工程应用当中，模糊控制理论都逐渐显示出其自身的活力。1985年由Takagi和Sugeno提出了T-S模糊模型1，T-S模糊系统2通过一些模糊规则给出非线性系统的局部线性表示，Cao SG等人在文献3中进一步证明了T-S模糊系统可以以任意精度逼近的致密集U上的连续实函数，T-S模糊系统从而成为了研究非线性系统的一个重要工具。作为T-S模糊系统的推广，文献4和5给出了广义T-S模糊系统的定义。文中TTaniguchi等人对广义T-S模糊系统进行了稳

14、定性分析和控制器的设计，采用了增广系统的方法解决了广义T-S模糊系统的系统矩阵E的问题，给出了广义T-S模糊系统的基本的分析方法，并应用线性矩阵不等式研究了其稳定性。之后，关于广义T-S模糊系统的稳定性分析、控制策略及应用研究取得了一定的成果6-10。文献6-10对基于T-S模糊模型的广义T-S模糊系统进行了稳定性分析，给出了各种镇定控制器的设计方法。文献10研究了基于广义T-S模糊系统的鲁棒H控制问题，大都基于LMI方法，在保证闭环系统稳定并满足一定性能指标的前提下，给出了各种控制器的设计方法。但值得注意的是，现有广义T-S模糊系统的研究基本上是基于T-S模糊系统模型的推广研究，主要涉及系统

15、稳定性、H控制以及保性能控制三个方面问题；尽管广义T-S模糊系统与正常系统的结构有很大的差别，但针对其控制策略的研究大多是沿用正常系统中所使用的方法，因此广义T-S模糊系统的控制理论在模型的构建、系统的结构分析、控制器的设计等方面都有待改进。1.2 广义T-S模糊系统模型的提出广义系统11(也称为广义动态系统、奇异系统、微分-代数系统)是一类摈弃了现实系统物理属性而抽象出来的一类数学模型，它是由微分-代数方程或差分-代数方程所描述的，更接近于实际，因此更加广泛的应用于工业、军事、经济、动力网络及受限机器人领域当中。著名的Leontief12宏观经济学模型、具有快变生产过程和满变生产过程的Von

16、 Neumann模型，含受控源的复杂电子网络等常常导致这类系统。对于广义系统我们可以表示为11： (1-1)其中分别表示状态变量、输入变量和时间变量，和是的维向量函数。当时。通过适当数学运算，系统可以变为正常系统。线性时不变广义系统理论是广义系统理论中一个基本的研究分支，线性时不变广义系统状态方程通常如下13： (1-2) 其中，一般为奇异矩阵，分别为适当维数的状态、输入和输出向量，为时间变量。其它为适当维数的定常矩阵，为系统的状态系数矩阵，为输入系数矩阵，为输出系数矩阵。特别地，当时，式（1-2）表示一个正常的时不变系统。自从20世纪70年代初 Rosenbrock H. H在研究复杂电路网

17、络系统中首次提出广义系统模型14以来，广义系统的研究己从基础向纵深发展，涉及了从线性到非线性,从连续到离散，从确定性到不确定性,从无时滞到时滞，从线性二次型最优控制到H2控制和H控制等各个专题。人们对广义系统的研究倾注了极大热情，获得了丰富的成果15- 16。但由于广义系统自身的复杂结构与动态特征使得在应用这些方法和策略时，从设计到实施,都显得有些繁琐与复杂。经典控制成功与否取决于精确的数学模型和相应的控制算法，大都采用状态空间法。在实际应用当中，常常出现由于被控过程过于复杂难以建立数学模型、或过程参数变化太快、太大，任何单一的数学模型都不能满足要求的情形，在这样的情况下，经典的控制方法失效。

18、模糊控制正是在这些情况下应运而生的。1965年，美国控制理论学家扎德创建了模糊控制集合理论，提出了模糊控制技术17。1974年，英国的马丹宁首次将模糊控制技术应用于锅炉和蒸汽机的控制，取得了成功，开创了工业模糊控制的先河。模糊控制技术是以模糊集合论、模糊语言变量与模糊逻辑为基础的一种非线性控制方法。在常规控制方法中，人们用传递函数或者逻辑方程和数学方程精确地描述控制器的输入输出特性，而在模糊控制器中则使用语言型模糊控制策略来描述模糊控制器的控制特性。模糊控制策略是对过程操作人员的推理和判断知识加以提炼后形成的，它是由模糊算子“or”将单一的“If-Then”规则联接在一起的模糊控制规则。其基本

19、形式为18：If(条件1 and/or 条件2) Then(结论1 and/ or 结论2)or ：If(条件1 and / or 条件2)Then(结论1 and / or 结论2)or ：If(条件1 and / or 条件2) Then(结论1 and / or 结论2)模糊控制器由模糊化、模糊推理及去模糊化三部分组成，其中的控制规则即是上文提到的模糊控制策略。模糊控制可以解决复杂系统的控制问题。当系统为多输入多输出、时变及滞后系统时，系统的数学模型非常复杂或难以建立，使得不能用常规控制方法来控制系统。而模糊控制因建立在对过程的语言经验之上，不需要精确的数学模型，可用来解决上述问题。不仅

20、如此，模糊控制也适合于一般控制问题，其控制效果在快速性和鲁棒性等方面都优于常规控制器。但传统的模糊控制器的控制规则是由专家经验来决定的，因此其稳定性和鲁棒性等控制性能难以在理论上给予充分的证明。基于传统的模糊控制的T-S模糊系统正是在这种背景下产生的。1985年，Takagi和Sugeno建立了模糊系统模型，其表达式如下：( is , is ) 其中：为输出变量，为前件变量，为具有线性隶属函数的模糊集。其特点为：系统的条件部分为模糊值，该部分的条件变量为确定的变量，可以是系统的状态、输出或任意的其它变量结论部分为确定值，表示了若干个动态线性系统，可以用状态空间方程描述。T-S模糊系统模型可以同

21、时处理数据信息和语言信息。语言信息的处理通过一组“If-Then”模糊规则来完成，而作为对系统参数进行合理调节的外部条件的数据信息，在模糊规则的后件部分中得到处理。模型中，模糊规则的后件部分给出了控制对象确切的数学描述，为模糊控制的理论分析提供了方便。近年来,T-S模糊系统的研究与应用受到了广泛的重视19- 21，稳定性分析方法和各种控制器的设计方法逐渐成熟起来。考虑到广义系统丰富的实际背景，基于T-S模糊系统模型，TTaniguchi和KTanaka等人于1999年提出了广义T-S模糊系统的概念。它的第条规则为：If is ，and is 广义T-S模糊系统模型是由一组“if-then”规则

22、给出局部线性表示的非线性系统，每条模糊规则的后件部分为广义系统形式的数学描述。经过单点模糊化、乘积推理、中心加权反模糊化方法可将其转化为一个全局模型，这种处理有利于人们运用经典控制理论方法来研究该系统。1.3 广义T-S模糊系统的研究意义对于一个实际系统，其动态性能和鲁棒性具有相同的重要性，人们希望闭环控制系统既具有较好的动态性能，又具有较强的鲁棒性。鲁棒控制理论结合系统模型参数不确定性和外部扰动不确定性的考虑，研究系统的鲁棒性能分析和综合问题，弥补了现代控制理论需要对象精确数学模型的缺陷，使得系统的分析和综合方法更加有效、实用。针对广义T-S模糊系统的鲁棒控制策略研究也取得了一些成果。文献1

23、0研究了不确定模糊广义系统鲁棒控制的若干问题，大都采用LMI方法，在保证闭环系统稳定并满足一定性能指标的前提下，给出了各种控制器的设计方法。如贺爱玲研究了广义不确定系统的模糊滑模糊控制问题，控制结构中采用模糊系统来补偿动态不确定性，利用李亚普诺夫理论证明了闭环系统的所有状态是全局有界的。对广义T-S模糊系统进行研究还只有不到十年的时间，其研究结果远不及模糊正常系统的成果那么完善。在已有的广义T-S模糊系统的研究结论中，大多是采用一个公共的可逆矩阵来解决关于稳定性的分析和各种控制器的设计等问题，这使得所导出的结果具有一定的保守性，对人们关注最多的不确定广义T-S模糊系统的鲁棒性能，研究成果不是很

24、多。由于不确定广义T-S模糊系统的广泛应用性，因此本课题的研究具有极其深远的意义。1.4 广义T-S模糊系统的研究现状到目前为止，广义T-S模糊系统理论的研究思路大多是借鉴正常模糊系统的理论，并将其推广和移植到广义T-S模糊系统中，其研究方法主要是状态空间方法。状态空间方法(或称时域方法)，是对采用状态空间描述的广义T-S模糊系统主要运用矩阵运算和矩阵变换的计算方法。状态空间法刻画问题的方式简洁直观，所得结果清晰明了，且可设计相应的软件支持而适宜在计算机上进行运算求解，因而该方法应用最广，己经深入到了广义T-S模糊系统的分析与综合的方方面面。另外，目前流行的LMI方法，由于具有能揭示系统的内部

25、结构且易于计算机辅助设计等优点成为了时域状态空间的基本研究方法，也是本文所采用的主要方法。自从TTaniguchi和KTanaka等人提出广义T-S模糊系统的定义并给出广义T-S模糊系统的稳定性的基本分析方法以来，广义T-S模糊系统的研究引起了人们的注意。关于广义T-S模糊系统的稳定性分析，刘国义22研究了一类广义T-S模糊系统的二次稳定性与非线性模糊控制器设计的问题，给出了模糊极值子系统的定义，将模糊广义系统的二次稳定性问题转化为其模糊极值子系统的二次稳定性问题的分析与研究，并利用模糊极值子系统给出了广义T-S模糊系统二次稳定的一个充分必要条件。时晓岩23 -24等人讨论了广义T-S模糊系统

26、二次稳定性问题，得出了一个使系统二次稳定的公共矩阵存在的必要条件，通过该必要条件可以预选判断公共矩阵是否存在，从而减少在判断模糊广义系统二次稳定性时的计算量。朱宝彦，张庆灵33等人利用Lyapunov方法，给出了离散广义T-S模糊系统一致正则、因果和稳定的定义，并研究了离散广义T-S模糊系统的稳定性问题。1.5 全文主要研究工作本课题针对带有时域硬约束的不确定广义T-S模糊系统，基于广义Lyapunov稳定性理论和椭圆不变域方法，利用线性矩阵不等式（LMI）技术研究带有时域硬约束的不确定广义T-S模糊系统稳定性问题和控制器设计。具体内容如下：第1章，简要介绍了广义T-S模糊系统的背景、研究现状

27、及意义，最后概述了本论文的研究内容与主要工作。第2章，介绍了本文研究过程中所需要的数学基础和预备知识。首先介绍了广义T-S模糊系统模型设及数学表达形式。然后简要介绍了研究广义系统所必需的一些基础知识，包括线性矩阵不等式（LMI）、Schur补公式和S-Procedure引理。第3章，提出一种不确定广义T-S模糊系统的最优控制方法。将系统的输出能量作为优化的性能指标，得到该指标的一个依赖于初始状态的上界，同时它也是一个椭圆不变域的上界，那么不确定广义T-S模糊系统的优化控制就可以通过最小化系统的这个上界来实现，进而可以用椭圆不变域方法得到满足时域硬约束的充分条件。第4章，当存在外部干扰时，进一步

28、考虑不确定广义T-S模糊系统干扰抑制问题，提出了用双椭圆域方法来寻找满足时域硬约束的充分条件的约束控制策略。先寻找到初始状态所在的一个椭圆域，然后在闭环系统满足一定的不等式并假设外部干扰的能量小于某个界的条件下，确定另一个包含系统所有可能状态的椭圆域，从而得到依赖于这个椭圆域的满足时域硬约束的充分条件。第5章，总结全文工作，对其中的研究成果与不足进行了分析。同时，也对今后的研究工作进行了展望。第2章 预备知识2.1 广义T-S模糊系统描述广义系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，广义系统理论也是20世纪70年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支，可以表示为其中分别表示状

29、态变量、输入变量和时间变量，是的向量函数；而。当时，称为非线性广义系统。1999年，Tanaka等人将T-S应用到非线性系统中，提出了广义T-S模糊系，它的第条规则表示为：Ifis，andis, Then (2-1)其中表示第模糊模型规则，一般来说是奇异矩阵，。是模糊集，是模糊规则数。为状态向量，为控制向量，为输出向量。其他为适当维的定常数矩阵，为系统的状态矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵。表示前件变量，令。每一条模糊规则的后件部分中描述的系统称为一个子系统，记作。由单点模糊化，乘积推理及加权平均解模糊化的推理方法可得系统(2-1)的全局模型： (2-2a) (2-2b) 其中其中是模糊集的隶属函

30、数，且有2.2 平行分配补偿控制器PDC设计方法由Kang和Sugeno最先提出的 。然而设计过程中并没考虑稳定性问题。在PDC设计过程中，每一个控制规则可以针对广义T-S模糊模型中相应的规则设计。设计的模糊控制器和模糊模型规则对于精确的变量享有相同的模糊集，也就是说针对某个子模型设计的子控制器在全局控制器中所占的权重与该子模型在全局系统中所占的权重保持一致。对于广义T-S模糊系统(2-2)，令为第子系统对应设计的状态反馈控制器，则系统的PDC控制器可以描述为：Ifis and， ， and is ,Then其中是一个常反馈增益矩阵。那么整个控制器的输出可以表示为： (2-3)对应的闭环系统为

31、： (2-4a) (2-4b)其中 2.3 广义T-S模糊系统稳定性分析设计控制系统时，首先要考虑稳定性。Lyapunov 1892年给出了稳定、渐近稳定的科学概念，引入了Lyapunov函数，建立了判定系统稳定性定理。在这个框架下，线性、广义系统己形成一套完整理论体系,并被广泛研究。 Takagi和Sugeno提出T-S模糊模型，为模糊控制系统稳定性分析提供模型基础。但是由于T-S模糊广义系统结构更加复杂，目前，还没建立一套完整的分析系统稳定性和系统化设计方法。考虑如下T-S模糊广义模型： Ifis and, , and is, Then (2-5)定义2.113 系统(2-5)是一致正则的

32、，如果存在常数，使得。定义2.213 一致正则系统（2-5）是无脉冲的，如果。定义2.313 一致正则系统(2-5)是稳定的，如果。其中。注2.1 若子系统正则，而全局系统不一定一致正则。注2.2 若子系统无脉冲，而全局系统不一定无脉冲。注2.3 若子系统稳定，而全局系统不一定稳定。定义2.413 系统（2-4）是渐近稳定的，如果 (2-6)其中，Lyapunov函数为 (2-7)并且存在共同的非奇异矩阵满足。注2.4 接下来的研究我们假设系统均是一致正则且无脉冲的。定理2.1 系统（2-5）是渐近稳定的，如果存在共同的非奇异矩阵P满足 (2-8a) (2-8b)2.4 线性矩阵不等式 线性矩

33、阵不等式(LMI)方法已经成为解决控制工程、系统辩识以及结构设计问题的一个强有力工具。LMI方法的广泛应用主要是基于以下三种因素：1.大量的设计规范和约束能够用LMI来表示；2.一旦能表示成LMI问题，问题就能用有效的凸优化算法来求得；3.具有多约束或多目标的问题用LMI方法往往能够得到很好的解决。定义2.125 线性矩阵不等式是具有如下形式的不等式 (2-9)是决定变量；对称矩阵是已知的对称矩阵。式(2-9)中不等式符号意味是正定的。当然，LMI(2-9)也等价于n个关于的不等式，即各阶主子式一定是正的。一个LMI具有以下性质：凸性 LMI(2-9)对变量定义了一个凸约束，即集合是凸的，也即

34、如果且，则 。尽管LMI(2-9)的形式似乎有点特殊，但可用来描述对的各种凸约束，特别是线性不等式，二次型不等式，矩阵不等式，以及控制理论中的Lyapunov不等式都可以转换成式(2-9)给出的LMI形式。这为解决许多控制问题提供了可行途径。甚至还可以在LMI框架下描述和求解有时域硬约束系统（控制量和输出量约束）的控制问题。矩阵作变量：在许多系统与控制问题中，常常遇到矩阵作变量的问题，例如Lyapunov不等式 (2-10)其中是给定的，是未知矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设是维对称矩阵的一个基底，则对任意对称矩阵，存在，使得，因此这说明(2-10)是关于对称矩阵P的独立变量的

35、LMI。系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式，或不具有(2-9)式的形式，但可以通过适当的处理将问题转化成具有(2-9)形式的一个矩阵不等式问题。下面给出了这方面的一些典型例子。多个线性矩阵不等式：不等式族 (2-11)称之为一个线性矩阵不等式系统。该系统可以重新描述为一个单独的线性矩阵不等式。记，则当且仅当时，式(2.11)成立。线性等式约束 考虑问题其中的是一个仿射函数，和是给定的常数矩阵和向量。由于的解向量的全体构成了中的一个线性子空间，因此可以考虑更一般的问题： (2-12)其中的是中的一个仿射集，即上式中的是中的一个线性子空间。可以证明：这样一个多约束问题可以转化成一

36、个单一的线性矩阵不等式约束：设是线性空间的一组基，而仿射函数可以分解成，其中是一个线性函数。由于对任意的可以表示成。因此，问题(2-12)成立当且仅当其中：。注意，的维数要小于的维数。以如下存在线性等式约束的Lyapunov不等式为例 (2-13)其中是变量。若把式(2-13)写成的形式，则需消去等式约束。具体做法是，设是维对称且迹零的矩阵的一组基，其中。令是一个维对称矩阵且Trace()=1。取和则(2-13)转化为(2-9)的形式。Schur补公式 在矩阵不等式运算中使用最频繁的是Schur补公式。它可以把非线性矩阵不等式转换成LMI。Schur补(余)可以阐述如下：线性矩阵不等式 (2-

37、14)等价于 (2-15)或者 (2-16)其中,换句话说，二次型不等式(2-15)或(2-16)可等价地表示为LMI(2-14)。这一等价关系也说明式(2-15)和式(2-16)中的非线性矩阵不等式也定义了一个关于变量的凸约束。考虑二次型矩阵不等式 (2-17)其中是给定的维数已知的矩阵。是变量。这是一个以为变量的二次型矩阵不等式，利用Schur补公式将其表示成线性矩阵不等式形式如下：.这表明一个二次型矩阵不等式(2-17)可以转化为一个关于P的LMI。2.5 S-Procedure在控制系统的鲁棒分析和鲁棒综合中，我们要常常用S-Procedure来将一些不是凸约束的问题转化为LMI约束问

38、题。对，设是定义在一个线性向量空间(例如)上的初值范函，考虑如下的两个条件：S1.对于所有使成立的，有。S2.存在标量使得对任意的，有：显然，由条件S2可以推出条件S1。S-Procedure就是通过判断S2的真实性来判断条件S1的成立与否。一般说来，条件S2比条件S1更容易检验，因此通过应用S-Procedure来检验条件S1成立与否是一个更加有效的方法。由，条件S2也可以写为，可见条件S2等价于一个LMI的可行性问题。因此，利用S-Procedure，我们可以通过检验上面的这个LMI的可行性来判断条件S是否成立。以如下二次型函数为例：设是变量的二次函数：，其中。由于1.一般不是一个凸函数；

39、2.约束集；，一般也不是凸的。因此条件S1相当于要求一个非凸函数在一个非凸集上的最小值是非负的，即。这是一个很困难的非线性规划问题，利用S-Procedure，有引理 2.125 当p = 1时，假设存在一个使得 成立，则条件S1与条件S2是等价的，即条件S1是条件S2成立的充要条件；如果函数对是仿射的，则条件S1和条件S2 是等价的。对二次型和严格不等式，也有S-Procedure。引理 2.225 设均 为 对 称 矩 阵 。 考 虑 下 面 关于的条件：对于所有使, 成立的，有。 (2-18)显然，如果存在使得 (2-19)成立，则(2-18)成立。当p = 1时，假设存在一个使得 成立

40、，则 (2-18)与 (2-19)是等价的，即 (2-19)是 (2-18)成立的充要条件。上述结论在鲁棒控制中是很有用的。条件S1和条件S2一般是不等价的，当两个条件等价时称这个S-Procedure是无损的，否则称为有损的。在应用中，使用S-Procedure常常是有损的。如在控制系统稳定性的检验中，应用有损的S-Procedure所导出的检验条件只是稳定性的一个充分条件，而不能保证是必要的。但这种稳定性条件的保守性的引入换来的是检验和计算上的方便和有效。2.6 小结本章介绍了本文研究过程中用到的基本知识。首先介绍了广义T-S模糊系统，以及该系统的状态反馈控制器，还有系统的稳定性分析。然后

41、又介绍了线性矩阵不等式和相关的引理，有S-Procedure引理和Schur补引理。这为后面的研究提供了基础知识。第3章 不确定广义T-S模糊系统的最优控制3.1 引言在实际的应用系统中，不确定性是广泛存在的，它主要包括模型不确定性和参数不确定性。为了设计方便，常常将一个复杂的动态系统进行简化，简化模型和实际对象之间的存在的差距，就称之为模型不确定性，对系统某些特性或环节缺乏足够的了解（即难以建模的部分）也是导致模型不确定性产生的重要原因。另外，如果存在一些难于精确刻画的物理参数，或者在运行过程中发生变化但难以刻画其规律的参数，称该系统具有参数不确定性。例如，机械系统中的阻尼系数和弹性系数、飞

42、行装置中的空气动力学系数、电路中的电容和电感等。不确定性可能是系统控制性能下降的直接原因，甚至可能导致系统失去稳定性。因此，参数不确定性也是控制器设计时应该考虑的因素。考虑参数不确定性的广义T-S模糊系统的控制方法已经有了大量的研究成果。但很少涉及对时域硬约束的处理，由于存在不确定性或可能的外部干扰，就不能保证成立，考虑控制约束与输出约束情况的控制器设计思想就不再适合。本章讨论约束广义T-S模糊系统的鲁棒控制问题。首先将带有不确定参数的非线性系统作T-S模型描述，每个T-S子系统都具有线性分式变换形式，其中不确定性具有对角的结构。本章提出一种广义T-S模糊系统的鲁棒最优控制方法，将输出能量作为

43、优化性能指标，得到性能指标和一个系统鲁棒椭圆不变域的共同上界，不确定广义T-S模糊系统的优化控制通过最小化系统的这个上界来实现，同时可以用S-procedure和椭圆不变域方法得到满足时域硬约束的充分条件。3.2 不确定广义T-S模糊系统描述考虑一个含有不确定性和外部干扰的非线性系统，可以由以下T-S模糊模型描述：IfThen， ， (3-1)，其中表示第模糊模型规则，是模糊集合，为状态变量，为控制输入变量，为系统可测或可计算变量，这里假设它不依赖于控制输入变量，为系统性能输出，为系统约束输出，为模糊模型规则的个数。， ()为与系统不确定性有关的变量，。为不确定集，它可以描述不确定性的特性(线

44、性的或非线性的，时不变的或时变的)，大小(范数或增益) 及其结构(对角的)。本文研究的不确定性的结构是对角的。其元素为系统范数有界的不确定参数。这里假设不确定集包含原点，即，它对应于无扰动或名义系统。对于T-S模糊广义系统(3-1)，令为第子系统对应设计的状态反馈控制器，系统的PDC控制器可以描述为：If Then ， (3-2) 其中是一个常反馈增益矩阵。为了简便起见，在不引起歧义的情况下省略。则闭环T-S系统可以用以下参变线性系统来描述 , (3-3a) , (3-3b) , (3-3c) (3-3d) ，,(3-3e)其中, , , , ,.为简便起见，这里将记为，下同。另外有，为属于模

45、糊集合的隶属度，且，且有以下性质：，；，。考虑系统存在时域的硬约束可以表示为：，, (3-4) T-S模糊广义系统的一个控制目的就是设计状态反馈控制器 ()，使得由PDC方法构建的全局控制器 (3-5)和(3-1)组成的闭环系统(3-3)对所有考虑的不确定性都是鲁棒稳定的，且具有一定的性能。引理3.1如果存在矩阵使得矩阵族满足 (3-6a) ， (3-6b) (3-6c)则参变量矩阵不等式 (3-7)成立，其中证明：很显然，若满足（3-6a）、(3-6b)，则有进一步，如果(3-6c)成立，则（3-7）成立。 证毕。注3.1 引理1中不等式符号“”改为“”仍成立。注3.2 由于系统（3-3）总

46、可经过初等变换使得变为，因此为了方便起见且不失一般性，以下我们总假设。3.3 不确定广义T-S模糊系统的最优控制 先讨论无外部干扰情况下(即对于系统(3-1)，)，不确定T-S模糊广义系统(3-3)的最优控制问题。不确定T-S模糊广义系统(3-3)的最优控制问题可以描述如下：一个控制命题就是设计状态反馈控制器(3-5)，对于任意满足的系统不确定性，闭环系统(3-3) 是鲁棒稳定，并在给定系统初始状态情况下，使性能输出的能量满足 ， (3-8)同时满足时域硬约束(3-4)。这里，为一个给定的正数。如果对于所有，存在Lyapunov函数使不等式 (3-9)成立，则必须强调，(3-9)应对不确定的T

47、-S 模糊广义系统(3-3)成立。下面，利用S-Procedure推导一个使之成立的条件。首先，对求导并将(3-3a)和(3-3c)代入式(3-9)经整理后得 (3-10)然后，考虑不确定性描述 (3-3b)和 (3-3e)。引入空间的第标准向量基，则(3-3e)等价于, (3-11)将(3-3b)代入(3-11)，整理后得 (3-12)因此，要求(3-9)对不确定的T-S 模糊广义系统(3-3)成立就是要求不等式(3-10)对满足(3-12)的成立。应用引理2.1(S-Procedure)得出的一个充分条件是：对于任意的，存在使得下式成立 (3-13)定义矩阵，则上式成立的一个充分条件是 (

48、3-14)即 (3-15) 令， ，并用和分别左乘、右乘(3-15)后再利用Schur补公式有 (3-16)先将将矩阵不等式(3.16)中左边矩阵的第二、三行互换，再将第二、三列互换得 (3-17)利用Schur补公式有 (3-18)先交换上式矩阵中第三、四行，再交换其第三、四列，得等效的矩阵不等式 (3-19)再利用Schur补公式有 (3-20)令并将(3.3)中各表达式带入，得到如下参变的线性矩阵不等式 (3-21)其中 ，这里，*表示沿矩阵对角线对称的矩阵转置。综上，关于不确定T-S系统的最优控制有以下结论： 引理3.2 LMI优化问题(3-6) 以及 (3-22) (3-23)有最优

49、解，则子系统状态反馈矩阵为控制器（3-5）使得闭环系统（3-3）对所有考虑的不确定性都是鲁棒二次稳定的，且输出能量最小，其值为。证明：由以上讨论可知，(3-6)(3-21)(3-18)，根据矩阵的负定性质有所以说闭环系统是鲁棒二次稳定的25。另外有(3-18)(3-13)，则对所有考虑的不确定性即满足约束(3-3e)情况下，不等式(3-9)成立，从而有。又如果以及(3-23)式成立，则，所以有 ， (3-24)如果最优问题有最优解，记为，则是满足（3-24）的最小。下面，在给定一个系统鲁棒椭圆不变域的前提下，寻找依赖于该不变域满足的时域硬约束(3-4) 的充分条件。定义 3.1 对于给定的可逆矩阵、一个给定的正数以及一个奇异方阵，为包含原点的椭圆域。如果对于所有的，若，则系统任意轨迹，则称椭圆域是鲁棒不变的。引理 3.3 假设是系统(3-3)一个鲁棒不变椭圆域，即对，控制器使闭环系统状态轨迹满足，并且存在一组线对角正定矩阵以及矩阵族使得进一步满足 (3-25a)， (3-25b)，(，) (3-25c)其中则闭环控制系统