步步高大一轮复习讲义数学4.1任意角弧度制及任意角的三角函数

1、精选优质文档-倾情为你奉上4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为_、_、_.按终边位置不同分为_和_(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成_(3)弧度制1弧度的角：_叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为_，负角的弧度数为_，零角的弧度数为_，|_，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小_，仅与_有关弧度与角度的换算：360_弧度；180_弧度弧长公式：_，扇形面积公式：S扇形_.2任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为

2、r (r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin _，cos _，tan _，它们都是以角为_，以比值为_的函数(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的_由三角函数的定义知，点P的坐标为_，即_，其中cos _，sin _，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan _.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的_、_、_.三角函数线()() ()() 有向线段_为正弦线；有向线段_为余弦线；有

3、向线段_为正切线难点正本疑点清源1对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等2对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围如tan 有意义的条件是角终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为.3三角

4、函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负(3)当角的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方1(课本改编题)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_2(课本改编题)若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_3若46且与终边相同，则_.4(2011江西)已知角的顶点为

5、坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.5已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4题型一求与已知角终边相同的角例1已知角45，(1)在区间720，0内找出所有与角有相同终边的角；(2)设集合M，N，那么两集合的关系是什么？探究提高第(1)小题与角终边相同的角(连同角在内)，可以表示为k360，kZ.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论 (1)如果是第三象限的角，那么，2的终边落在何处？(2)写出终边在直线yx上的角的集合；(3)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相

6、同的角题型二三角函数的定义例2已知角的终边经过点P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值题型三三角函数值的符号及判定例3(1)如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，试判断角所在的象限(2)若是第二象限角，试判断的符号是什么？探究提高(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角 已知sin 20)，所在圆的

7、半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(00的x的范围用三角函数线求解(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线借助三角函数线比较大小规范解答解(1)

8、34sin2x0，sin2x，sin x.2分利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)4分(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角6分(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：当是第一象限角时，sin AB，cos OA，tan CT，从而得，cos sin tan ；8分当是第三象限角时，sin EF，cos OE，tan CT，得sin cos tan .10分综上所得，当在第一象限时，cos sin tan ；当在第三象限时，sin cos 0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos

9、.其中正确的命题的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题4若三角形的两个内角，满足sin cos 0)是终边上一点，则2sin cos _.6设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_三、解答题7已知sin ，cos ，若是第二象限角，求实数a的值B组专项能力提升题组一、选择题1已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B. C D.2给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0)

10、，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值答案要点梳理1(1)正角负角零角 象限角轴线角(2)k360 (kZ)(3)把长度等于半径长的弧所对的圆心角正数负数零无关角的大小2l|rlr|r22(1)自变量函数值3正射影(cos ，sin ) P(cos ，sin )OMMPAT余弦线正弦线正切线MPOMAT基础自测1.2.(1，)3.4.85.C题型分类深度剖析例1解(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.(2)因为Mx|x(2k1

11、)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.变式训练1解(1)由是第三象限的角得2k2k (kZ)2k2k (kZ)，即2k2k (kZ)角的终边在第二象限；由2k2k (kZ)，得24k234k(kZ)角2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴(2)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(3)2k (kZ)， (kZ)依题意02k0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .例3解(1)因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即，所以为第二象限角(2)2k2k (kZ)，1cos 0,4k24k2，1sin 20，sin(cos )0.0.的符号是负号变式训练3解由|cos |cos 知cos 0，又sin 20，即2s