大学物理课件：第09章 静电场-02

1、第九章 静 电 场利用高斯定理求电场强度的步骤3、计算高斯面内的电荷,由高斯定理求Ea. 高斯面上场强处处相等，方向与曲面正交或平行。2、根据对称性的电场，选取合适的高斯面，计算电场通量。1、根据电荷的分布分析电场的分布情况。b. 部分高斯面场强处处相等,方向与曲面正交或是平行。(目的是把“E”从积分号里拿出来)合 适：讨论讨论第九章 静 电 场(A)高斯面上各点场强均为零(B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零(C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零(D) 以上说法都不对已知高斯面所包围的体积内电荷代数和 ，则： 0q内SiSeqSE01dS+q-q如图，点电荷q和-q被包围在高斯面

2、S内则通过该高斯面的电场强度通量式中 为 处的场强。SSdEE0高斯面上各点例题例题第九章 静 电 场有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为： 03q (A) 03q (C) 06q(D) 04q(B)aaa/2oao例题例题ABCDEFGH第九章 静 电 场球壳球体球面RRoooQQQ1R2R分析均匀带电球(面、体、壳)的电场，如图中黑色，带电Q。rrr电场分布具有球对称性,方向沿径向.作同心且半径为r的球面高斯面解:24rESdES0q204rqE0E204rQE q(高斯面内包围的电荷)Rr 0qQq Rr

3、 Rr 334rqQq 204rQE Rr 304RQrE 0E1Rr 0q2Rr Qq 204rQE 21RrR)3434(313Rrq)(4)(313220313RRrRrQE球面球体球壳例题例题第九章 静 电 场204RQRrO2r均匀带电球面E r 关系曲线0E204rQE Rr 0qQq Rr Rr 334rqQq 204rQE Rr 304RQrE 2r204RQrRrO均匀带电球体Er 关系曲线半径为R的均匀带电球面的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为：orR21 rE EorR21 rE Eor21 rE ErR21 rE Eo判 断：第九章 静 电 场

4、3R2R1RO1Q2Q3Q注意色彩的对应r例题例题解：电场分布具有球对称性， 方向沿径向。24rESdES作同心且半径为 r 的球面高斯面0 q1 ) 1 (Rr 21 )2(RrR32 )3(RrR3 )4(Rr )4( 20rE q01E)4( 202rE 1Q)4() (203rE 21QQ )4() (204rE 321QQQ均匀带电球面如图所示，分析场强分布。第九章 静 电 场把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R ( )的球面上任一点的场强大小E由 变为 ；204RQ021rRr两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb ( )，所带电荷分别为Qa和Qb

5、，设某点与球心相距r，当 时，该点的电场强度的大小为：baRR baRrR2041rQQba(A)2041rQQba(B)22041bbaRQrQ(C)2041rQa(D)例题例题第九章 静 电 场分析均匀带电无限大平面的电场,电荷面密度为 解：电场分布也应有面对称性，方向沿法向。ESEEEEEESE2ESSdESdESdEs21底底圆柱形高斯面内电荷为 Sq由高斯定理得0/2SES 02E结论:均匀带电无限大平面电场为常量 若0垂直平面向外;若0垂直平面向里.由对称性特点作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面, 底面积为S, 两底面到带电平面距离相同。例题例题第九章 静 电 场 分析两个均匀带电无限

6、大平面的电场01E02E 03E思考：多个均匀带电无限大平面的电场，怎么计算?02E例题例题第九章 静 电 场2A区C区B区2ABC设向右为正0230202302E 022E x例题例题02E EA=EB =EC =两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为 和 ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为： 2第九章 静 电 场在真空中的静电场中穿过任一闭合曲面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0SSeeSdEd曲面闭合曲面非闭合曲面电场中穿过某一曲面S的电场线总数,称为通过该曲面的电场强度通量0iiSqSdE内通过垂直于电场方向单位面积电场线的条数为该点电场强度的大

7、小dSdE闭合曲面高斯面通过高斯面的电通量只与曲面包围的电荷有关,与外部电荷及内部电荷的分布无关。通过高斯面的电通量与曲面的形状无关。两个无关电场线的条数电场强度关系归纳归纳高斯定理电场强度通量(电通量)第九章 静 电 场1q3q2q通过高斯面的电通量只与曲面包围的电荷有关，与外部电荷及内部电荷的分布无关。通过高斯面的电通量与曲面的形状无关。0iiSqSdEr1q2q3q021qqSdES021qqSdES两个两个无关无关，你记住了吗？你记住了吗？两个无关强调强调第九章 静 电 场分析无限长均匀带电直导线圆柱面双柱面圆柱体圆 筒的场强分布，如图中黑色所示。其中，相应的电荷 线密度为 面密度为

8、体密度为半径1R2R解：电场分布具有柱对称性，方向沿径向。作以无限长带电体的中心轴为轴的圆柱形高斯面，高为l，半径为r，(如绿色图示)直导线圆柱面双柱面圆柱体圆 筒rlESdESdEs2侧面由高斯定理0qlrqE02rl例题例题第九章 静 电 场直导线圆柱面双柱面圆柱体圆 筒rllrqE02q圆柱面01Rr 1Rr lR12lq直导线q双柱面2Rr 012RrRlR221Rr lRR)(221q圆 筒2Rr 01Rr lRR)(222112RrRlRr)(222q圆柱体1Rr lr21Rr lR21第九章 静 电 场直导线lrqE02rE021Rr 1Rr 圆柱面lrqE020ErRE011R

9、r 1Rr lrqE02圆柱体02rErRE02122Rr 1Rr 12RrRlrqE02圆 筒0ErRrE02222)(rRRE022212)(双柱面2Rr 12RrR1Rr lrqE020ErRE02rRRE021)(第九章 静 电 场+)(211d12ad12两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为 和 ，如图所示，则场强等于零的点与直线1的距离a为12侧视图俯视图例题例题第九章 静 电 场本节主要内容本节主要内容9-4 静电场的环路定理1 电场力作功2 静电场的环路定理3电 势 能第九章 静 电 场电场的另一基本特征是： 我们将从电场力做功入手，导出反

10、映静电场基本性质的另一定理 静电场环路定理在电场中移动电荷电场力要做功，表明电场具有能量第九章 静 电 场回顾变力的功F 质点在变力 作用下沿路径 L 由A点运动到B点rd 在路径任一点P 取一段小位移 , 称作元位移rd当取得很小时，在这小位移内 可近似为恒力Frd元位移 内 的功可近似用恒力的功的公式来计算FrdFdWrdFcosF 把质点沿路径L 由A 点运动到B 点， 作的功记作WBABArdFrdFWdWcosABFrdPL变力作功的基本公式第九章 静 电 场rbra0q）drr l dEabqdrr1.1 点电荷电场中试验电荷 qo 从 a 点经任意路径到达 b 点。一、静电场力的

11、功在路径上任一点取元位移l dl dFdWl dEq0cos0EdlqEdrq0dWWldEqba0baEdrq0场源点荷（第九章 静 电 场baEdrqW0点电荷的电场rerqE2041barroodrrqqW24)11(4baoorrqq结 论：试验电荷在点电荷的静电场中移动时, 电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。rbra0qdrr l dEabqdrr）第九章 静 电 场1.2 点电荷系的电场中设有点电荷q1qn组成的点电荷系，当试验电荷在电场中从A点移到B点时,根据电场的叠加性nEEEE21电场力对试验电荷q0做功为l dEqWba0l

12、dEql dEql dEqbanbaba02010n21WWW可见, 点电荷系的电场中电场力做的总功也与路径无关。niibiaooirrqq1)11(4第九章 静 电 场)11(4baoorrqqWniibiaooirrqqW1)11(4试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。静电场是保守场，静电场力是保守力。试验电荷在点电荷的静电场中移动时, 电场力对q0做的功试验电荷在点电荷系的电场移动时, 电场力对q0做的功讨论讨论第九章 静 电 场真空中有一点电荷Q，在与它相距为r的a点处有一试验电荷q。现使试验电荷q从a点

13、沿半圆弧轨道运动到b点，如图所示。则电场力对q作功为：24220rrQq(A)22024rrQq(B)rrQq204(C)(D)0abrQqq)11(4baoorrqqWbarrqq11400如图所示，在电荷为q的点电荷的静电场中，将一电荷为q0的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，电场力所作的功A qrarbabq0例题例题第九章 静 电 场试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L 运动一周：二、静电场的环路定理安 培电场力对q0做的功W=第九章 静 电 场P1P2L1L2 在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成L1、L2两段Ll dFWLldEqL0l dEqpp210l dEqpp1

14、20L2L1l dEqpp210电场力做功与路径无关，故00l dEqWLl dEqpp210L2L1即 0l dEL 静电场环路定理在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分(场强的环流)恒为零。是是保守场保守场或或无旋场无旋场静电场静电场第九章 静 电 场 静电力的功，等于静电势能的增量的负值：由环路定理知，静电场是保守场。 保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。 ldEqWBAAB0)(PAPBEEE为了描述保守力做功与路径无关的特性,引入一个只与位置有关的函数, 该函数就是势能函数三、电 势 能第九章 静 电 场ldEqWBAAB0)(PAPBEE此式只定义了电势能差，意味着电势能与重

15、力势能相似是一个相对量。为了说明电荷在电场中某一点电势能的大小，必须选择一个参考点作为“零电势能点”选B点为静电势能的零点，用“0”表示，则则试探电荷qo 在电场A点的电势能为ldEqEAA00说 明：0pBE2）静电势能的大小是相对的；1）静电势能是属于系统的；3）静电势能是状态函数、单值函数.第九章 静 电 场本节主要内容本节主要内容9-5 电 势1点电荷电场的电势2电势的叠加原理第九章 静 电 场电 势（电位）根据电势能的定义，试探电荷在电场中从A点移动到B点, 静电场力对它做的功为)(0pApBABEEldEqW一、电势的定义：)(d 0p0pqEqElEABAB(积分大小与 无关)0

16、q0pqEVBB0pqEVAA0qAEB点电势点电势A点电势点电势B第九章 静 电 场ABABl dEVV)(0qEVpAA0qEVpBB)(为参考电势，可任选BBABAVVldE V令0BVABAldE VlEVVAAd0 点电场中某点的电势在量值上等于把单位正电荷从该点处经过任意路径移动到零势点处时电场力所作的功；也等于放在该点处的单位正电荷的电势能物理意义：第九章 静 电 场1)电势也是描述电场性质的物理量,与试验电荷q0无关2)电势的零点(参考点)选取是任意的视分析问题方便而定,参考点不同电势不同通常的理论计算中,对有限带电体选无限远处为参考点aal dEV实际应用中，取大地、仪器外壳

17、等为电势的零点。lEVVAAd0 点关于电势说明说明第九章 静 电 场0qEVp电势能是描述电荷与电场相互作用能量，属于系统。电势只由电场决定的。试探电荷为单位电荷时，两者量值上相等，但物理意义、单位各不相同的。联系：3)电势与电势能的联系和区别4)电势的单位：在SI制中, V (伏特)区别:第九章 静 电 场二、电势差 电场中两点电势之差沿着电场线方向,电势降低。BAABVVVABldEBA上式给出了电场中两点电势之差：因此当任意电荷 q 从A点移到B点时,电场力所作的功为：)(BAABBAABVVqqVldEqW等于单位正电荷从A点处经过任意路径移动到B点处时电场力所作的功第九章 静 电

18、场qPEl dr1. 点电荷场电势公式P是点电荷q产生的静电场中的任一点。 是由点电荷指向场点P的矢径r选择无穷远处为零电势点，则P点电势：因积分路径是任意的,取沿矢径方向rdld点电荷的电场rerqE2041ldEVpdrrqr2041rq041；最小， VVq, 00最大， VVq, 00三、电势迭加原理球对称标量(正负)第九章 静 电 场iriEP2. 电势迭加原理由电场强度迭加原理电场中任一点的场强如图，由 n个点电荷q1、q2 、.qn 组成点电荷系P是电荷系产生的静电场中的一点是由源电荷 指向场点P的矢径iriqiiEE是 单独存在时产生的场强iqiEiiiierqE204点电荷系

19、的电势qi第九章 静 电 场iiiiiierqEE204则P点电势pldEV piil dE)(ipil dEpiil dEV电势迭加原理：点电荷系电场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和iiiiirqVV04iirq04iriEP第九章 静 电 场如图，带电体的电荷是连续分布的把带电体看作是由许多个小带电体 （电荷元）组成，用 dq 表示利用电势叠加原理，整个连续带电体的电势为将dq 视为点电荷,其电势为连续带电体的电势rdqdVV04rdqdV04qdqPr第九章 静 电 场四、电势的计算(有两种方法)babaVLdEV这里关键是求场强，求场强的方法： 2、利用电势

20、叠加原理:rdqV0411、由定义式：（1）用高斯定理（2）场强叠加原理只有对有限带电体才能选0VdxdqdsdqdvdqA）线分布B）面分布C）体分布积分元第九章 静 电 场静电场中某点电势的数值等于：(D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功(A) 试验电荷q0置于该点时具有的电势能(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能(C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能0qEVpP电场中某点的电势在量值上等于把单位正电荷从该点处经过任意路径移动到零势点处时电场力所作的功；也等于放在该点处的单位正电荷的电势能例题例题第九章 静 电 场两块面积均为S的金属平板A和B彼此平行放置,板间距离为d

21、 (d远小于板的线度),设A板带有电荷q1,，B板带有电荷q2，则AB两板间的电势差UAB为：dSqq0212(A)dSqq0214(B)dSqq0212(C)dSqq0214(D)ABq1q2SSdl dEl dEVBAABABdl dEl dEBAl dEBAdxSqqBA0212BAdxSqq0212例题例题第九章 静 电 场 由高斯定理知，电场分布为解：求一均匀带电球面的电势分布 1.当r R 时rrdEVRrPOVRrRq041Rrrqo41rq04Rq04ERr 0Rrrqo241例题例题第九章 静 电 场rORE204RqVrORRq041 r2 r电势分布曲线场强分布曲线均匀带

22、电球面：球内的电势等于球表面的电势。球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。归纳归纳第九章 静 电 场如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为：rQUE04, 0RQUE04, 0rQUrQE0204,4RQUrQE0204,4(A)(B)(C)(D)ORrP例题例题第九章 静 电 场在真空中，有一带电荷为Q、半径为R的均匀带电球面。试求：（1）球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点的电势；（4）球面内任意点的电势。（1）已知球面外一点的场强大小为：204rQEBrrABRoA、

23、B两点之间的电势差为：BArrBArdEVVBArrrdrQ204)11(40BArrQ例题例题rAr（2）?0BArrBArdEVV解：（3）?（4）?第九章 静 电 场解：(1)rerQE2041外barrbaabl dEVVVredrl d)11(44020barrbaabrrQrdrQVVVbaRrPO均匀带电球体，求：(1)球体外两点电势差；(2) 球体内两点电势差；(3)球体外任意点电势；(4) 球体内任意点电势。reRQrE3041内（2）barrbaabrdrRQVVV304)(82230abrrRQ例题例题第九章 静 电 场（4）RQVR04 球表面）（，令rVVrrVVRr

24、aaRbb )()(8)(2230RrrRRQVrVR)()3(8)(84)(223022300RrrRRQrRRQRQrV（3）0VVrbb时，取 ）（）（得：RrrQrV04第九章 静 电 场一均匀带电细杆，长为l，其电荷线密度为，在杆的延长线上，P点到杆的一端距离为d，试求P点处的电场强度和电势。lddlE0420)(4xdldxdElddxxoxyPldEE 0dU)xdl (dx04ldUU0ddlPln4U0例题例题第九章 静 电 场dldq解：xyoREd(r求半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布x利用叠加原理dldqrdlrdqdU004141rqrdlUl004422041

25、Rxq例题例题第九章 静 电 场dLLRPxo到P点距离P点电势：22LxrrdqU041RLxLdL0220241)(2220 xxR求半径为R 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布解：以O为圆心, 取半径为LL+dL的细圆环, 其电荷 dLLdsdq2rrdqdU04例题例题第九章 静 电 场本节主要内容本节主要内容9-6 电场强度与电势梯度1等 势 面2电场强度与电势梯度第九章 静 电 场一、等势面 (电场中电势相等的点连成的面称为等势面)+ + + + + + + + +- - - - - - - - - - 等势面疏小E 等势面密E大；E等势面； 指向电势降落的方向E等势面的特点第九章

26、静 电 场lEqAdd0uqAdd00dA2 q0 在等势面上移动dl ，电场力做功为求证:0cosdq Elq0沿等势面移动证明：讨论讨论E等势面；E等势面；)l dE0q第九章 静 电 场uEPu+duQ二、电势与电场强度的微分关系lEqdAd0ldulEdd cosulElddluEldd 电场强度在l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值在直角坐标系中：xuExyuEyzuEzlE把点电荷 从 P移到Q，位移 ，电场力做功：ldlEqdcos0uqd0q)(grad)(ukzujyuixuE电场强度等于电势梯度的负值第九章 静 电 场第九章 静 电 场 电场弱的地方电势低？电场强的地

27、方电势高吗？ 的地方， 吗 ？0V0E 等势面上 一定相等吗 ？E 相等的地方， 一定相等吗？VEE指向电势降落的方向 等势面密E大rqVp04 相等的地方， 一定相等吗？VE思考思考+ + + + + + + + +- - - - - - - - - - 第九章 静 电 场第 九 章真空中的静电场（总（总 结）结）第九章 静 电 场电场强度的几点说明0qFE方向：方向为正电荷在该点所受电场力的方向。大小：(等于单位正电荷在该点所受电场力)0qFE 1、试探电荷线度必须足够小（可认为正点电荷)所带电量足够少（不影响原电场分布)12、电场强度是由产生电场的电荷本身的性质所决定的, 与试探电荷无关。23电场强度是矢量rerqqF20214库仑定律场强叠加原理iniiiierqE1204rqqerdqEdE204第九章 静 电 场siqSdE0a.高斯定理反映了静电场是有源场这一基本性质。 b. 高斯定理为计