高等数学：7-5 平面及其方程

1、1第五节第五节 平面平面及其方程及其方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程两平面的夹角两平面的夹角小结小结 思考题思考题 作业作业(plane)点到平面的距离点到平面的距离第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 在空间内在空间内, ,确定一个平面的几何条件确定一个平面的几何条件是多种多样的是多种多样的. . 如如: :点法确定、点法确定、相交两直线确定等相交两直线确定等. .不共线的三点确定、不共线的三点确定、平面及其方程平面及其方程3xyzOn 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法线向量的法线向量的特征：特征：垂直于平面内的任一向量垂直于

2、平面内的任一向量.已知已知),(CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量一块平面可以有许多法向量.0M M 一平面一平面, 这向量就叫做该平面这向量就叫做该平面的的法线向量法线向量(法向量法向量).平面及其方程平面及其方程4xyzO MM0平面的点法式方程平面的点法式方程平面称为方程的图形平面称为方程的图形. CBAn, 法向量法向量0)()()(000 zzCyyBxxAn0MM平面上的点都满足上方程平面上的点都满足上方程,不在平面上的不在平面上的点都不满足

3、上方程点都不满足上方程, 上方程称为平面的方程上方程称为平面的方程,00 nMM),(0000zyxM已知点已知点),(zyxM平面上任一点平面上任一点平面及其方程平面及其方程),(000zzyyxx 5解解 21PP取取 n平面方程为平面方程为, 0)1(4)1()1( zyx化简得化简得. 024 zyx),4, 1, 1( 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程122011 kjin例例 的的及及求经过点求经过点)0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程.)0 , 1, 1( )1, 2, 2( 31

4、PP3121PPPP 1P2P 3P 4, 1 , 1, CBA法一法一平面及其方程平面及其方程6的的及及求经过点求经过点)0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程.解解所求方程的三点式为所求方程的三点式为0122011111 zyx平面方程为平面方程为. 024 zyx 1P2P 3P ),(zyxP 法二法二平面及其方程平面及其方程7平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxACzByAx D 0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量 CBAn, 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 任意

5、一个形如上式任意一个形如上式0)(000 CzByAxABC的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.平面及其方程平面及其方程8, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0D平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论y轴轴轴轴zxOz面面 yOz面面(由柱面可知由柱面可知)0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程平面及其方程平面及其方程, 0 D9设平面为设平面为, 0

6、DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解平面及其方程平面及其方程例例 设平面与设平面与x, y, z 三轴分别交于三轴分别交于求此平面方程求此平面方程.),0 , 0(),0 , 0 ,(bQaP),0, 0, 0( cba其中其中), 0 , 0(cR1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程10 x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距 今后今后,由截距式方程作平面的图形特别方便由截距式方程作平面的图形特别方便! 当平面不与任何坐标面平行当平面不与任何坐标面平行,且不过原点且不过原点时时,才有

7、截距式方程才有截距式方程.并作图并作图.012243 zyx将将化为化为截距式方程截距式方程,平面及其方程平面及其方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程11设平面过点设平面过点 及及x轴轴,求其方程求其方程.用平面的点法式方程用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程由点法式方程得平面方程: 求法向量求法向量解解 法一法一kjkji 22130010)2( 1)1(2 zy即即)2, 1 , 3(0 M02 zy平面及其方程平面及其方程0OMin xyzOn 0M12用待定常数法用待定常数法. 设平面过点设平面过点 及及x轴轴, 求其方程求其方程. 即即 法二法二0 DCzBy

8、Ax设平面方程是设平面方程是0 CzBy从而从而平面方程是平面方程是02 CB 即即从而平面方程是从而平面方程是.2CB . 02 CzCy. 02 zy得得平面及其方程平面及其方程点点(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上, , 0 D A)2, 1 , 3(0 M13 易知平面上三点易知平面上三点 O(0,0,0), P(1,0,0), 设设M(x,y,z)为平面上的任意一点为平面上的任意一点, 可得其方程可得其方程 想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?答答 :有有! 法三法三)2, 1 , 3(0 M平面及其方程平面及其方程 设平面过点设平面过点 及及x轴轴, 求其方程

9、求其方程.)2, 1 , 3(0 M根据三向量根据三向量 OM, 共面的充要条件共面的充要条件,有有 OM0, OP 0001213 zyx02 zy00 OPOMOM即即 14 求平面方程常用两种方法求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的常数利用条件定出其中的待定的常数, 此方此方法也称待定常数法法也称待定常数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量平面的一个法向量.(1) 用平面的点法式方程用平面的点法式方程.(2) 用平面的一般方程用平面的一般方程.平面及其方程平面及其方程151 2 定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面

10、法向量的夹角称为两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程平面及其方程两平面的夹角两平面的夹角. . 0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 1n2n),(1111CBAn ),(2222CBAn 16按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有| |cos2121nnnn 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件平面及其方程平面及其方程222222212121212121|CBACB

11、ACCBBAA 取锐角取锐角),(1111CBAn ),(2222CBAn 17例例 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系:013, 012)1( zyzyx解解 cos601cos 两平面相交两平面相交,.601arccos 夹角夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 平面及其方程平面及其方程,31)1(2)1(|311201|22222 18,)0 , 1 , 1(1 M两平面平行两平面平行但不重合但不重合.,212142 ,)0 , 1 , 1(1 M两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合02224, 012)3( zyxzyx

12、解解01224, 012)2( zyxzyx解解),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行2)0 , 1 , 1( M2)0 , 1 , 1( M平面及其方程平面及其方程19例例 解解),()0 ,(),0 , 0 , 0(21aaaMaaMO和和平面通过点平面通过点 ).0( axOy面的交角面的交角求该平面与求该平面与所求方程的三点式为所求方程的三点式为00 aaaaazyx21,MMO故过故过三点的平面方程为三点的平面方程为02 zyx的方程为的方程为平面平面xOy. 0 z设两平面的交角为设两平面的交角为, 则则 cos2222222121

13、21212121|cosCBACBACCBBAA 36 .36arccos 平面及其方程平面及其方程222222100)2(11|1)2(0101| 20设平面为设平面为, 0 DCzByAx, 0 D0236 CBA)2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解平面及其方程平面及其方程例例 1996考研数学考研数学(一一), 3分分 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2, 3, 6( 的平面方程为的平面方程为( ). nxyzO ( , ,)A B C21平面及其方程平面及其方程 与平面与平面 824

14、zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2, 3, 6( 的平面方程为的平面方程为( ). 解解)2, 1, 4()2, 3, 6( n)6, 4, 4( )3, 2, 2( 平面的点法式方程平面的点法式方程0322 zyx nxyzO 1996考研数学考研数学(一一), 3分分 22设所求平面为设所求平面为1 czbyax1 V12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件向量平行的充要条件)解解平面及其方程平面及其方程例例 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面

15、而与三个坐标面而与三个坐标面cba61161 t xyzOabc611161cba 23,61ta ,1tb tc61 ttt61161611 代入体积式代入体积式61 t1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为12131 abc平面及其方程平面及其方程cba61161 t 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面24),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10( 0)1( 1)1(3)1(2 zyx化简得

16、化简得. 0632 zyx平面方程为平面方程为解解)1 , 3, 2(.平面及其方程平面及其方程例例 求过点求过点(1,1,1)且与平面且与平面7 zyx和平面和平面051223 zyx都垂直的平面方程都垂直的平面方程.25点到平面的垂直距离点到平面的垂直距离0:),(0000 DCzByAxzyxP 是平面是平面设设外一点外一点,.0的距离的距离到平面到平面求求 P平面及其方程平面及其方程四、点到平面的距离四、点到平面的距离 ,),(1111 zyxPn0P ),(CBAn 1Pd并作向量并作向量.01PP的距离的距离到平面到平面 0P d|cos| |01 PP),(01之夹角之夹角的法向

17、量的法向量与与是是nPP 即即 d|01PP|n|cos| |n|01nnPP 由于由于nPP 01),(111000CzByAxCzByAx D 1P26平面及其方程平面及其方程222000|CBADCzByAxd d),(CBAn |01nnPP nPP 01DCzByAx 0000:),(0000 DCzByAxzyxP 到平面到平面点点的距离公式为的距离公式为27222000|CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式313 填空填空的的到平面到平面点点01022)1 , 1 , 1(0 zyxM).(距离为距离为解解222)1(22|101)1(1212| d313 平

18、面及其方程平面及其方程28解解例例平行且平行且一平面与平面一平面与平面075420 zyx,6个单位个单位相距相距求这平面方程求这平面方程.设所求平面为设所求平面为05420 zyxD 在已知平面在已知平面075420 zyx上任取一点上任取一点).0,47, 0(222000|CBADCzByAxd , 62516400|7| D.126|7| D133 D119 D或或故所求平面为故所求平面为01335420 zyx或或01195420 zyx平面及其方程平面及其方程29 1 . 两平行平面两平行平面 与与 间距离为间距离为( ),其其 的方程分别为的方程分别为:(A) 1(B)21(C)

19、 2(D) 21A 选择题选择题, 0218419 zyx0428419 zyx2 1 ,1 2 222000|cBADCzByAxd 提示提示,21 ).821, 0, 0(1 上上任任取取一一点点可可在在 平面及其方程平面及其方程30 2.已知平面通过点已知平面通过点(k, k, 0)与与(2k, 2k, 0),其中其中k0,且垂直于且垂直于xOy平面平面,则该平面的一般式方程则该平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0的系数必满足的系数必满足( ).a; 0,)( DCBAa; 0,)( DACBb; 0,)( DBACc. 0,)( DBACd解答解答代入代入与与将将)0 ,2 ,2()0 ,(kkkk,0中中 DCzByAx分别得分别得0 DBkAk022 DBkAk, 0 D. 0 C,BA 平面及其方程平面及其方