高等数学：8-4 多元复合函数的求导法则

1、1复合函数的求导法则复合函数的求导法则全微分形式不变性全微分形式不变性小结小结 思考题思考题 作业作业第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1. 中间变量为中间变量为一元函数一元函数)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点

2、在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算: tzdd多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则具有连续偏导数具有连续偏导数, tuuzdd.ddtvvz 3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函数由于函数),(),(vuvufz在点在点 有有连续偏导数连续偏导数 vvzuuz,21vu ,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0, 0 vu tzt0lim多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 tuuzddtvvzdd tzdd4复合函数的复合函数的中间变

3、量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广 tzdduvwtz导数导数tzdd变量树图变量树图 三个中间变量三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 称为称为多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合

4、函数的求导法则多元复合函数的求导法则 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 设设 求求xydd这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则7多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvuf

5、z ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应点应点则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量具有连续偏导数具有连续偏导数,2.的情形的情形.zzuz vyuyv y 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv多元复合函数的求导法

6、则多元复合函数的求导法则 ( , ),( , )zfx yx y9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例 ,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求10中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形 xz yz类似地再推广类似地再推广,),(),(),(yxwyxvyxu 设设,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数复合函数),(),(),(yxy

7、xyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏导数存在的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量三个中间变量两个自变量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11例例 设设,1222wvuz xz 解解22232()()uxvxwyuvw自己画变量树自己画变量树uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则12只有一个中间变量只有一个中间变量),(),(yxuyxuf

8、z 其其中中即即,),(yxyxfz xz yz两者的区别两者的区别区别类似区别类似多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3.的情形的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把复合函数把复合函数,),(yxyxfz 中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数),(yxufz 把把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13sin(),uzzexyuxyx而求yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图变量树图sin()cos(

9、)uuexyyexy)sin(yxeu 例例多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则)cos(yxeu x 14 例例 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,22xu 求求.2txu 变量树图变量树图ursxtxssfxrrf 或记或记 sfxtrfx 22 u对中间变量对中间变量 r,s 的的偏导数偏导数 ),(22xttxfu 注注从而也是从而也是自变量自变量x, t 的复合函数的复合函数. 解解),(srf都是都是x, t 的函数的函数, 对抽象函数在求偏导数时对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则sr x

10、u12,ffffrs,ffrs15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt变量树图变量树图,22xu 求求.2txu rs 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt变量树图变量树图 txu2,22xu 求求.2txu 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶

11、连续偏导数, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则)1x (rsf 2t 2 2fr s 17多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则解解具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 且满足且满足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研数学三年考研数学三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyu

12、fy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ( , )f u v18由由例例,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosryrx 解解 ),(yxfu现将现将22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表达式转换为把下列表达式转换为极坐标系极坐标系中的形式中的形式:),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续,)sin,cos( rrf函数函数),(yxfu 换成极坐标换成极坐标 及及r的函数的函数:及及 以及函数以及函数),( rFu , r对对 的偏导数的偏导数来表达来表达.多元复合函数的求导法则

13、多元复合函数的求导法则19复合而成复合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则20 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则21ruruxu sincos (2) 22xu

14、r sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 设设 的所有的所有二阶偏导数连续二阶偏导数连续x 2222)2(yuxu cos多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 22 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己练自己练) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则

15、 sin yrry cos 23两式相加两式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则24多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例假设流体中一质点的运动速度为假设流体中一质点的运动速度为),(zyxvvvv 其中其中),(tzyxfvx ),(tzyxgvy );,(tzyxhvz 由于质点随流体运动由于质点随流体运动,故其位置故其位置),(zyx也随时间也随时间t 而变化而变化.).(),(),(tzztyytxx 即即试求质点运动的加速度试求质点运动的加速度.dd,dd,dd tvtvtvazy

16、x1dddddddd tvtzzvtyyvtxxvtvxxxxx答案答案.4321fzfyfxf 时变加速度时变加速度位变加速度位变加速度25 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方程满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 为中间变量为中间变量, x, y 为自变量为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量引入中间变量,则则,22yxt 令令多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则26二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性),(vufz 设函数设函数具有连续偏导数具有连续偏导数, 则有

17、则有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(时时当当yxvyxu 则有全微分则有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则27解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通过全微分求所有一阶偏导数通过

18、全微分求所有一阶偏导数,比链比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则281994年研究生考题年研究生考题,计算计算,3分分,),(),(均均连连续续可可微微设设gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案：多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则291989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分,)(),()2(二二阶阶可可导导其其中中设设tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有连续二阶导数有连续二阶导数 解解,2yxt 设设 xz yxz20( vugy2

19、ttuvvvvfxgxygg 1 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y 2( 1)ttf 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则301990年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossin xfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 设设2 uf)1( 2 uuf( 1)vuf 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则有连续的二阶导数有连续的二阶导数,(2, sin ),( ,

20、)zfxy yxf u v设其中311992年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 设设yefxusin yefxuucos( 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则连续的二阶导数连续的二阶导数,22(sin ,),( , )xzf ey xyf u v设其中有(cosxvuf ey32) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在点在点(1,1)处可微处可微, ,且且设函数设函数,3)1 , 1( yf解解2 3)32( 2001年考研数学一年考研数学一, 6分分多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则由题设由题设1 x1 x