线性代数课件：3正交矩阵

1、 3 正交矩阵正交矩阵一、内积及其性质一、内积及其性质二、正交向量组二、正交向量组三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质一、内积及其性质一、内积及其性质定义定义1 设有设有n维向量维向量 , , T21),(naaa T21),(nbbb nnbababa2211 ),( .),( T2211nnbababa则则 称为向量称为向量 与与 的内积，的内积，记为记为 ，即，即内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,)(xyyx1;,)(yxyx 2 ;,)(zyzxzyx3.,)(000 4xxxxx时有时有且当且当定义定义2 2 设设非负性非负性.

2、 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：;,;,0000 xxxx时时当当时时当当;xx ；yxyx,22221nxxxxxx 4.施瓦茨不等式施瓦茨不等式 .),(yxyx .15133221的夹角的夹角与与求向量求向量, 例1例1解解 ),(cos 2262318 .4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx),(arccos,0, 02 时当. 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念., 0yx

3、yx与与称向量称向量时时当当正交正交.,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 0 xx 若若一一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组二、正交向量组二、正交向量组, 0021111 T由由. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 rr 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1T 0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线性无关.线性无关.则则是正交的向量是正交的向量维向量维向量若若rrn , 2121组组组组定理定理14 4 标准标准正交化方法正

4、交化方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量要要找找一一组组两两两两正正交交的的单单设设, 21212121rrrraaaeeeeeeaaa线性无关.,21正正交交化化把把标准raaa下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法方法 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrraabbbb(2) 单位化单位化 , 取取,1,1,1222111rrrbbebbebbe 222321113133,bbbabbbbabab ,1112122bbbabab (1) 正交化正交化 , 取取

5、 ，11ab ,线性无关21raaa例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa标准正交化标准正交化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程 222321113133,bbbabb

6、bbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 01411222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 1611333bbe得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 1211111bbe.,两两正交两两正交使使求非零向量求非零向量已知已知例例3213211113 aaaaaaT解解. 0, 0),(32111321 xxxaaaxxxaTT即即正交正交与与设向量设向量.110,10121 它的

7、基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a .,1112123 a,1012 a.12121101211103 a定义定义3 3., 1正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTT三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质；EAA T(4) 方阵方阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列的列( (行行) )向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交正交矩阵还具有下述性质：正交矩阵还具有下述性质： (1) 若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则(2) 若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则 (3) 若若A，B为同阶数的正交矩阵，则为同阶数的正交矩阵，则AB为正为正交矩阵；交矩阵；1A解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例4 4 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 9794949491989498912定义定