清华大学2021年2月中学生标准学术能力诊断性测试数学(理)试卷

1、1Xo>0 ,使得 x V2X。4p, q为简单命题，假设p是假命题，那么p q是真命题。正确命题的个数为A.1个B.2C.3个D.4个数学理科试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：此题共.12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题 目要求的1x 21.集合 A=x Z|v 3x 13, B=x N |V 0，那么集合81x 3z|z xy, x Ay B的元素个数为A. 6B.7C.8D.91量 服从正态分布N(1, 2), 假设P( V -1) 0.2，那么函数f(x)x3 x22x有极值点的概3率是3.以下命题中：1“ X>1

2、 是“ X2>1 的充分不必要条件2命题“假设a, b都是奇数，那么a + b是偶数的逆否命题是“假设 a+ b不是偶数，那么a, b都不是奇数13命题“ x>0，都有x 2 的否认是“xan是公差为2的等差数列，bn=a2n，假设bn为等比数列，其前 n顼和为S,贝y S为A. 2(2n 1) B.2(2n 1 1) C.4(2n 1) D.4(2n 11)5.假设函数f (X)a , e为自然数的底数，对任意实数x , f (x) f (x)恒成立，那么实数a的取值范围是A. - o, 1 B.1.+ o C. e,- oD.1.+OO6.设(x2 3x2)5a0x a1x a

3、2x2a1ox1o,ya!等于A.-240D.1207个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(0,0,0), (1,0,1)1,(0,1,1),(丄，1 ,20)，绘制该四面体三视图时，按照如以下列图所示的方向画正视图，那么得到左视图可以为8.如下列图，程序框图的算法思路源于数学名著?几何原本?中的“辗转相除法，执行该程序框图图中 “ mMODn表示m所除以n的余数，假设输入的 m , n分别为2021, 612，那么输出的 m =A. 0B. 727"-r wMODjii -.in-r/怙/fC. 36D. 1802cos( x) 33y2. (x ,0) (0,)

4、的图像大致是11432x7力B Ji/?c A D、h.210.抛物线C： y22px(p>0)，过焦点F且斜率为 3 的直线与C相交于P,Q两点，且P,Q两点在准线上的投影分别为M N两点，贝U Samf=A.8 23pB.D.11.函数f(X)2X mx的图象在点x 1处的切线I与直线A.3y 20垂直，记数列1的前n项和为Sn，那么S2021的值为 f (n)20212021B.20212021C.2021D.20212021202112,函数f(x)(血)2 (axa有三个不同的零点X1, X2, X3其中 x v X2 V X3 丨,In 捲lnx2In x3x那么(11)(1

5、2)(13)的值为X1X2X3A. 1B.a-1C.-1D. 1-a、填空题：此题共 4小题，每题5分，共20分。n13. O 为厶 ABC内一点，且 OA OB 2OC，S0 , ABC和 OBC的面积分别是°BCS ABCx, y 满足 2x y 20，那么 m2y xy 2x的取值范围是x22 y b21(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线2y2pxp>0的准线分别交于 A, B两点，O为坐标原点，假设双曲线的一条渐近线的倾斜角为-, AOB的面积3为 4 3，贝U P= 16. 如图，三棱锥P-ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB中点，QQ I QD

6、EH PB=E，且 DE丄 AB,假设/ EDC=20° PA= ' ,PB= ,贝U三棱锥 '2 2P 一 ABC的外接球的半径为.三、解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 试题考生都必须作答，第22、23题为选考題，考生根据要求作答。17? 21题为必考题，每个()必考题：共60分。B c17. (12 分)在厶 ABC中, 角 A, B,C 对应的边分别为 a, b, c,己知 c = 2.b = 1,且 si n2A sin2-2(1)求角A的大小和BC边的长； 假设点P在厶ABC内运动包括边界，且点P到三边的距离之和为d,*1 10K

7、ftSA a(ffil) *经挤损关不翅莊4(彌元輕济按眞超过*000兀音计掛啟和过$00元$00元!%i10合计点P到BC的距离分别为x,y，试用x,y表示d，并求d的最大值和最小值。18. ( 12 分如图，四棱锥 P - ABCD中，底面 ABCD中, BC/ AD, CD丄AD,P在底面的射影 0在AD 上，PA = PD, O,E 分别为 AD,PC的中点，且 P0=AD = 2BC = 2CD.求证：AB丄DE；求二面角A-PE-0的余弦值。19. (12分)今年某台风在沿海登陆，适逢暑假，小张调査了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 0,2000 ,

8、(2000,4000 , (4000,6000 , (6000,8000 , (8000 , 10000 五组，并作出如下频率分布直方图图 1：(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95鳩上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？(1)将上述调查所得到的频率视为概率*现在从该地区大量受灾居民中，釆用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为。假设每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望 E()和方差DP(K2>k)0

9、,100.050.025k2.7063.S415O24随机变量匕严=3"址十<0(刖-呵'S+b)(c 十 d )(a 十 c)(fr 十 <020. (12分)椭圆M:b21(a>0, b>0),右焦点为F,与直线y相交于P、Q两点,假设椭圆从经过点(0 ,.3)且PF丄QF.(1)求椭圆M的方程；0为坐标原点， A B C是椭圆M上不同的三点，并且 OABC的重心，试求 ABC的面积。121. (12 分函数 f(x) aln_ nex 1,a R.x 一(1)假设a=1，求f (x)的单调区间; 假设 x> 0, f (x) f(m)恒成立，且 f(x) 0,求证：f(m) 2m2(1 m).(二选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点,C (圆心为x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。半圆点C的参数方程为x cos为参数，(0, ) .y 1 sin(I)求半圆C的极坐标方程；假设一直线与量坐标轴的交点分别为A,B