极值点偏移的常见解法.docx

1、极值点偏移的常见解法作者：钱春林来源：中学课程辅导高考版2018年第09期在二次函数/(x)中，若/(xo=0,当/(羽)=/(x2)=X4-X2=2xo这时极值点勾在工】口2的中间.若极值点务不在X1,X2的中间.而有Xi+X22西.或XI+命V2初，则称极值点发生偏移.产生偏移是由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有轴对称性.如下图所示.此类问题在近几年高考及各种模考中，作为热点经常以压轴题的形式给出，对同学们的能力要求比较高，这里介绍几种常见的应对方法.一、构造对称函数例1(2010天津理)已知函数/(1)=及(卫R)如果xt尹女，且/(勾)=/(及)，证明：羽+刀2.解析:

2、法一：/(x)=(l-x)e-S易得在(-oo,l)上单调递增，在(1,+8)上单调递减工-8时,/(&)-*8,/(0)=0,X+8时,/XQf0,函数/()在卫=1处取得极大值/,且/(1)=土，由/(X1)=/(X2)X17X2不妨设XlVl2.则必有owe,构造函数F(x)=/(14-x)-/(l-x),x(0,1,则尸00=，(1+)+/(1)=有(一1)0,所以FGr)在x6(0,l上单调递增,FGr)F(O)=0,也即/(H-x/(l-x)对工(0,1恒成立.rtlOxil/(1一(1一益)=/3)=/(正)，即/(2一刀)/(恐)，又因为2一与，及(1,+8),且/&)在(1,

3、+8)上单调递减，所以2刀2.法二:欲证与+急2,即证x22-xm由法一知0xilx2,故2一，力6(1,+8),又因为/Cr)在(l,+oo)上单调递减故只需证/(x2)/(2一与)，又因为/(X!)=/(XZ),故也即证/()/(2-),构造函数H(x)=/(x)-/(2-x),xe0.1),则等价于证明H(x)0,则HGr)在xe(O,l)上单调递增.所以H(x)H=0,即已证明H(x)2亦成立.小结:用对称化构造的方法解极值点偏移问题大致分为以下三步：1. 求导，获得/Cr)的单调性、极值情况，作出/(x)的图象，由/(刀)=六及)得，0的取值范围(数形结合)；2. 构造辅助函数(对结

4、论X!+乃()氐.构造F(x)=/(x)-/(2xo-x)i对结论m2(V)M.构造FCr)=/Cr)-/(乎),求导，限定范闱(刀或乃的范闱)，判定符号,获得不等式；3. 代入xi(或12)的范囹，利用f3)=f3)及/(工)的单调性证明最终结论.二、利用对数平均不等式对数平均不等式:若0,差0,且刀尹芯.则例2已知函数/(工)=乎+Q的图象在点(1,JC/(I)处的切线方程为y=jr-.(1) 求的值及函数的单调区间；(2) 当V务)时，比较xx+xt与2e的大小.解析：(l)u=h6=0略；(2)从前往后分析试题./Cr)=题；C定义域(0,+8).求导/()=上瘁，令/(X)=0,得x

5、=e.易知(0,e)为增.(e,+8)为减;f(工)在x=e处取得极大值，也是最大值/(e)=+；若/(xj)=y(x2),(xx?),则必有OOieXit/(Xl)=/(X2)_工】+及+1lnxiInr；XX2刀.并设寻=心1).对数平X均不等式可化为号铝，导出两个不等式(j(2)x-y21nr.本题中证明:rtl/(x.)=/(x2)得，骸=骸=虾1=XX2Xl=inx2-lnx,v*,由对数平均不等式号冬XzX2X)eL得，亨e,故.+z2e得证.例3已知函数/(=1-4-(2-).(1) 讨论/(工)的单调性；(2) 设0,证明：当0ViV时,/(+工)有两个极值点X,初，且Jti6

6、2.证明：欲证mzAe2,即证1回+1心,2,若心韦两个极值点，乃，即函数/(x)=0有两个零点X1，乃.又Z(x)=lar?nx,于是，有解IInzafnjcz=0之得,_Inxt=Inx：=Im+心?XXtX+%另一方面.InrzInj-j=7?i(x2).从而可得，1心+心2lrtr2larix+xzxzJT1于是Inr；4-lfit26+与)(1心2Inn)XiX(1+勺n兰互一1X，又。设，亏.则，】,(3)若函数的图象与a轴交于A,13两点，线段AB中点的横坐标为小.证明：/()0.解析：(1)(2)略，(3)由/(xi)=/(x2)=0lnxilnx2+2(xixz)=a(xix

7、i4-x)xz)因此.Inxi4-lrw；_(1+，)血Z-1,1,要证Inzi+Inr22,即证:+1(】+/)ln/-I2,(/1).即:当1时，有Inz设函数XQ=ln/辉F1.则h(t)皇火。,由，(了)=2人(1)=0,于是出/1时，布1血气宜口/.Inxi+lru-22成立.即刀乃/.所以例5已知函数f（.x）=x-ae有两个不同的零点工i,定,求i正：与+幻2.解析:思路1：函数/Gr）的两个零点，等价于方程xe-=a的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的方法都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数/Cr）有两个零点X!,及,x=ae

8、x*（1）X2=ae，2（2）由（1）+（2）得:刀+i2=a（e】+ez）,要证明X）+互2,只要证明a（e】+K）2,由（1）一（2）得：一宏=。（512）,即a=辛辛，即证：3-孩）治20（刀-初狠一；二2,不妨设ziz2，记t=x及，则r0,efl.因此只要证明：z-捋2OL籍?0,再次换元令=11=1心，即证总_2纭1）0,Vx（h4-00）.构造新函数F（Q=1心-纺1）,F（1）=0,求导广（为=土一展序=茶器0,得FCr）在（l,4-oo）递增，所以FCz）0,因此原不等式刀+互2获证.小结:这种解法充分利用了表达式中，12齐次关系这一特征，构造了关于的新函数,而含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元，初的基础上，又多了一个参数.故思路很