数列通项、求和方法经典总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上求an；求Sn；第二次课数列通项公式的求法一、定义法 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差or等比）的题目例等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：， 二、公式法求数列的通项可用公式求解。特征：已知数列的前项和与的关系例已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有， 三、由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为对策：把原递推公式转化为，利用累加法求解。例1. 已知数列满足，求。 解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 特征：递推公式为 对策

2、：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例2. 已知数列满足，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，类型3 特征：递推公式为（其中p，q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由得两式相减并整理得构成数列以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型1（累加法）便可求出例3. 已知数列中，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4特征：递推公式为（其中p为常数） 对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到，令，则，再转化为类型1（累加法），求出之后得例4设数列的前n项和.已知首项a1

3、=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.解：a1=3, S1=a1=3.在Sn+1Sn=2an+1中,设n=1,有S2S1=2a2.而S2=a1a2.即a1a2a1=2a2.a2=6. 由Sn+1Sn=2an+1,(1) Sn+2Sn+1=2an+2,(2)(2)(1),得Sn+2Sn+1=2an+22an+1，an+1an+2=2an+22an+1即 an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=此数列的前n项和为Sn=32×32×322×3n 1=3=3n.类型5 特征：递推公式为（其中p，q均为常数）。对策：先把原

4、递推公式转化为 其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例5. 已知数列中，,，求。 解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。巩固：例8. 数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。 解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列例9. 已知数列满足，且，求解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列例10已知数列满足， ，求 解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列因,例11. 已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）

5、求数列的通项公式；例12. 数列满足=0，求数列a的通项公式。解：由得即，且是以2为公比，3为首项的等比数列利用逐差法 例13已知数列满足,求解：设或则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得求的四种方法：错位相减法若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.例： 裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法如果一个数列，与首末两项