五空间角和距离

1、空间角和距离知识要点:1两条异面直线所成的角：经过平行移动转化为相交直线，解与相交直线有关的三角形。2 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。3二面角的求法：(1 )定义法：(2)三垂线法：(3)射影面积法点面距离 u线面距离 =面面距离5 思想方法：(I)平面几何意识：中线、中位线意识；平行四边形或矩形的对角线意识；重心、垂心 意识。(II)几何体的割补意识题例1.已知二面角二-I -】的大小为60,m、n为异面直线，且m_：- , n_ :，则m n1234A.-B CD 55553若条直线与个正四棱柱各个面所成的角都为:-,则 COS：与ADi所成角的余弦值为()4 .如图

2、，A、B、C是表面积为 48 n的球面上三点， AB=2 , BC=4，/ ABC=60 , O为球心，则直线 OA与截面ABC所成的角是()所成的角为(A) 30(B) 60(C) 90( D) 1202.如图，正四棱柱ABCD-ABQQ中，AA( =2AB ,则异面直线A(B5设M N是直角梯形 ABC两腰的中点,DEL AB于 E(如图)现将 ADE沿 DE折起，使二面角A- DIB为45此时点A在平面BCDE内的射影恰为点 B,则M N的连线与AE所成角的大小等于(A)( B)( C)兰(D) 、34247正三棱锥P - ABC高为2，侧棱与底面所成角为45；，则点A到侧面PBC的距离

3、是.&已知平面a /平面3，直线 ma，直线n B ,点A m,点B n,记点A、B之间的距 离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A. b a cB.a cbC. c a bD. c b ,(II12.irf所以 cos v - cos ： n , BO-i = n BO1 门| |BO； |: 即二面角O ACO的大小是arccos .4解法二（I ）证明 由题设知 OAL OO, OBL OO, 所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OAL OB.从而AOL平面 OBCQOC是 AC在面OBCC内的射影因为 tan . OOiB,34匹=3 tan. QOCOO

4、iOO，/ OOC=30，从而 Od BO AC丄 BO.所以/ OOB=60由三垂线定理得）解 由（I ） Ad BO, OCX BO,知 BO丄平面 AOC.设O6 OB=E，过点E作EF丄AC于F,连结 OF （如图4）,贝U EF是OF在平面 AOC 内的射影，由三垂线定理得 OF丄AC.所以/ OFE是二面角 O AC O的平面角.由题设知 OA=3 OO=J3 , OC=1,所以 OiA= .OA2 OOi2 =2.3, AC从而 OiOiA OiC 2 3AC又 OE=OO sin30二.OiA2 OiC2 二、13 ,.13 ,3,所以 sin OiFE2O1E13OiF4即二

5、面角O ACO的大小是arcsin.4在三棱锥 SABC中， ABC是边长为4的正三角形,平面SAC丄平面ABC , SA=SC=2 , 3 , M、N分别为（I）证明：AC丄SB ;（n）求二面角 N CM B的大小；（川）求点B到平面CMN的距离.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查 空间想象能力和逻辑推理能力 解法一：（I）取AC中点D，连结SD、DB./ SA=SC , AB=BC , AC 丄 SD 且 AC 丄 BD , AC 丄平面 SDB，又 SB 二平面 SDB , AC 丄 SB.（n）v AC 丄平面 SDB , AC 平面 ABC

6、 ,平面SDB丄平面ABC.过N作NE丄BD于E, NE丄平面 ABC ,过E作EF丄CM于F,连结 NF，贝U NF丄CM./ NFE为二面角 N CM B的平面角.平面SAC丄平面 ABC , SD丄AC , SD丄平面 ABC. 又 NE 丄平面 ABC , NE / SD.解: SN=NB, NE=SD= 1 - SA - AD2 =丄 12-4= 2,且 ED=EB.2 2 211在正 ABC中，由平几知识可求得 EF= MB= ,42在 Rt NEF 中，tan/ NFE=ENEF=2 i 2，二二面角N CM B 的大小是 arctan2 . 2 .(川)在 Rt NEF 中，N

7、F=2 c13厂1厂Sa CMN =3 , SaBM CM=2 . 3 .22 2设点B到平面CMN的距离为h,-V b-cmn =VN-CMB , NE 丄平面.1 1CMB，一SaCMN h= SaCMB NE , 33442的距离为 一3. h=SCMB NE = 2 .即点Scmn 3解法二：(I)取AC中点O ,连结OS、/ SA=SC , AB=BC , AC 丄 SO 且 AC 丄 BO.平面SAC丄平面 ABC ,平面 SAC门平面 ABC=AC SO丄面 ABC , SO 丄 BO.如图所示建立空间直角坐标系B到平面CMNOB.则 A (2 , 0 , 0), B ( 0 ,

8、 2、.3, 0)S ( 0 , 0 , 2 2 ) , M(1 ,3 , 0), AC = ( 4 , 0 , 0), AC SB= (-4, 0, 0) (0, AC 丄 SB.SB= (0 , 2 3 , 2 ,2 ),2 3, 2 .2 ) =0 ,()由(I)得 CM = (3, 3 , 0), MN = ( J, 0, 平面CMN的一个法向量，.设 n=（x，y, z）为O xyz.,C ( 2, 0, 0),N(0 , &3 , V2 ).CM n=3x+ 3 y=0 ,则取 z=1,则 x= J2 , y=- J6 ,V MN n= x+ V2 z=0 , n=( *2 , -

9、 J6 , 1),又OS=(0 , 0 , 2.、2)为平面ABC的一个法向量, cos(n,OS)=n OS 1|n | |OS| 31二面角 N CM B的大小为arccos-3(川)由(I)(n)得 MB= ( 1,3, 0), n= ( . 2 , . 6 ,1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d= ! n MB |=4-2|n|313如图，在长方体ABCDAB1C1D1中，E、F分别是棱BC , CC1 才门上的点，CF =AB=2CE , AB:AD: AA =1：2: 4(1) 求异面直线EF与AD所成角的余弦值;(2) 证明AF丄平面 AED(3) 求二面角 A

10、 - ED _ F的正弦值。解：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识， 考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1,依题意得D(0,2,0),f 3)F(1,2,1), A(0,0,4), E .1,-,0 I(1) 解：易得eF，AD = (0,2, -4)是 cos： EF, ADAEF A1DEF A1DI 2丿所以异面直线EF与AD所成角的余弦值为(2)证明：已知芽=(121),吐(31 .-1,一，4,ED=-1- ,0I2丿1 2丿是 AF EA=0

11、, AF ED=0.因此，AF 丄 EA, AF 丄 ED ,又 EA c ED = E1c2丄1_x 一 y = 02所以AF丄平面AED(3)解：设平面EFD的法向量t(x,y,z)，则 云。,即；uED = 0TT不妨令X=1,可得u =(1,2-1)。由(2)可知，AF为平面A1ED的一个法向量。于是 cos： u，AF；=匸斫=|，从而 sin： u,AF: = fU|AF| 3、/ 3所以二面角A1-ED-F的正弦值为三31方法二：（1）解：设 AB=1,可得 AD=2,AA=4,CF=1.CE= 2链接BiC,BCi，设BiC与BG交于点 M,易知CE CF 1AD/ BQ,由匚

12、= =_,可知 EF/ BC.故CBCC1 4-BMC是异面直线EF与AD所成ABM=CM= BQ二、52BM 2 +CM -BC 2 3c NBMC =s-：2BM LCM2,所以异面直线5FE3与AD所成角的余弦值为357/ 1(2)证明：连接AC,设AC与 DE交点N因为EC -AB所以 Rt DCE L Rt CBA，从而 CDECDBC-ZBCA ,1?2又由于.CDE . CED =90 ,所以EBCA CED =90，故 ACL DE,又因为 CC丄 DE且 CG AC = C ,所以 DE丄平面 ACF,从而AFL DE.连接BF,同理可证 BQ丄平面ABF,从而AFL BQ,

13、所以AFL AD因为DE AD = D所以AF丄平面AED解：连接 AN.FN,由(2)可知DE!平面ACF,又NF 平面ACF, A1N 平面 ACF,所以DE丄NF,DELA1N,故 NANF 为二面角 A-ED-F的平面角易知 Rt，C N_E . Rt C B所 以空BC匚c_盂,又 AC-5所以CN二4. 305Rt NCF 中,NF 二 一 CF2 CN2 工30 在 Rl_ A1AN 中 NA = A, A2 AN 25连接 AQ,A1F 在 RMA1C1F中，RF hjAC/ +GF2 = J142AN FN在 Rt ANF 中，cos ANF 二型 用。所以 sin. ANF

14、 533所以二面角A-DE-F正弦值为空314如图，在三棱锥 P- ABC中, AB丄BC AB= BC= kPA 点 O D 分别是AC PC的中点，OPL底面ABC(I )求证：OD平面PAB ;1(II) 当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；2(III) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为 PBC的重心? 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力+解：方法一：(I ) TO、D 分别为 AC、PC 中点，.OD/ PA 又PA 平面PAB ,. OD /平面PABrE B(n )： AB _ BC, OA =OC,OA

15、=OB=OC,又 T OP _平面 ABC , . PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC _平面POE作OF _PE于F，连结DF，贝U OF _平面PBC -ZODF是OD与平面PBC所成的角.又 OD / PA , PA与平面PBC所成的角的大小等于 ODF ,在 Rt ODF 中,sin. ODF 二匹 ODJ210PA与平面PBC所成的角为arcsin .30(川)由(n )知，OF _平面PBC , F是O在平面PBC内的射影./ D是PC的中点，若点F是 PBC的重心，则B, F, D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线 BD ,Tob_pc, pc_bd, P

16、B 二 PC，即 k=1.反之，当k =1时，三棱锥O -PBC为正三棱锥， O在平面PBC内的射影为APBC的重心、方法二：Top _平面ABC , OA=OC,AB 二 BC ,OA _OB,OA _OP,OB _OP.以O为原点，射线 OP为非负z轴，建立空间直角坐标系设 AB=a,则 A a,0,012,B,0,0AICBppXA设 OP 二 h，则 P 0,0,h(I )TD为PC的中点，T f 1 二 OD = a,0, h :I 42丿OD / 平面 PABT (暑，又 PA= i a,0, h , I 2 丿TOD丄 PA, OD / PA ,2(口 )；丄，即 PA=2a,Z

17、UN2V2i 2*J7设PA与平面PBC所成的角为二，贝U可求得平面PBC的法向量n =、:2i0,，迹昆匸册n|30210 sin v cos PA, n | =30rjia7i6 6lt占,OG _ 平面 PBC, OG _ PB ,T 72、 T T又 PB=O,二a,，”；OG，PB=aI 2-(川):PBC的重心G6 . 63,1 Oh2. h，a ,632PA OA h a，即k 1,反之，当k = 1时，三棱锥O - PBC为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为.IPBC的重心*15.如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi，中，AD=AA i=1, AB=2，点E在棱AD上移动

18、.(1)(2)证明：DiE丄AiD;当E为AB的中点时，求点 E到面ACDi的距离；(3)(2)设点 E 到面 ACDi 的距离为 在厶 ACDi 中，AC=CD i= .、5 , ADi=2 ,AE等于何值时，二面角 Di EC D的大小为一.4故 S.adq113 古11-2 . 5,而S ace AE BC .2 224Sadic h,21-3 S AEC DD 11 31二-汇 1 =汉 h,.h =.2 23(3)过 D 作 DH 丄 CE 于 H,连 DiH、DE，贝U DiH 丄CE , / DHD i为二面角 Di EC D的平面角.设 AE=x，贝U BE=2 x-V D1 -AEC,AD1C兀,DH -1.4在 Rt ADE 中,DE = 1 x2,在 Rt DHE 中,EH =x,在Rt DDH 中,DHDi在Rt. ：DHC 中CH = .3,在Rt. CBE中 CE 二.x4x 5.x , 3 = x2 - 4x 5 二 x = 2 -