2020届安徽省合肥一中高三上学期10月段考数学(文)试题(解析版)

1、故选：A A第 1 1 页共 2020 页2020 届安徽省合肥一中高三上学期10 月段考数学（文）试题、单选题1 1.已知集合AX |1 x2,Bx |x23x 0，则eRAB ()A A .1,3B B.1,2C C.0,2D D .2.3【答案】D D【解析】由解不等式求出集合B,B,再算出eRA，进-一步算出eRAB.【详解】由题意可得B0,3，而CRA,12,所以($A) B2,3.选 D.D.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中集合融合，体现了知识点之间的交汇要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到,这是，个易错点，同时将不等式与

2、2 2.若x,y R*，且丄-5，则3xy x4y的最小值是（【答案】A A24B B.519D D .5【解析】由题，得3x4y(3x4y），展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案 【详因为x, y所以3x 4y-(3xx4y)3x12yx5(13 2生型)5,5. y x当且仅当,x 2y时，3x 4y取得最小值5 5第2 2页共 2020 页C C 充分必要条件D D 既不充分也不必要条件【答案】A A【解析】 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【点本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的分析能力和转化能力3 3 函数f(x)sin的最小正周期为，则 f f (x)(x

3、)图像的一条对称轴方程是B B.12【答【解2_亍，可得2，所以f (x)sin2x ，令32x -3(kZ),x(k12 2Z)，从而可得到本题答案 【详由题，得所以f (x)sin2x 3令2x3(kZ),122k(k Z),所以 f f (x)(x)的对称轴为x12(kZ),所以函数 f(x)f(x)的一条对称轴为x12故选：D D【点本题主其中涉及*公式的运用以及求三角函数的一条对称轴 4 4 .若I,m是两条不重合的直线,m垂直于平面，则1 1 /”是“丄 m m 的()A A .充分而不必要条件B B.必要而不充分条件第3 3页共 2020 页【详解】解：当I,m是两条不重合的直线

4、，m垂直于平面，若“ / ”，贝 y y “m”，所以“ /”能推出“m”；当I,m是两条不重合的直线，m垂直于平面，若“m”，则“ / 或“在平面内”，所以“m”不能推出“ /”；由充要条件的定义可得：若|,m是两条不重合的直线，m垂直于平面，则“ / ”是“m”的充分而不必要条件，故选 A A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.5 5.函数 y=ey=esinx（- -nw x x 第勺大致图象为（）【答案】D D【解析】【详解】取 x=-x=- n ,0,0,这三个值，可得 y y 总是 1,1,故排除 A,C;A,C;当 0 0

5、 x x 时，y=sinxy=sinx 是增函数，y=ey=ex也是增函数，故 y=ey=esinx也是增函数故选：D.D.6 6 .已知平面向量r r2ra与b的夹角为，aV3,1,r r a2b23 .则1rb()A A . 1 1B B. 72c c. 7373D D . 2 2第4 4页共 2020 页【答案】A A第5 5页共 2020 页【解析】由a ,3,1，得2，又由所以r r2r2rr r2r2r r2r2rr2|a 2b|2a 4ab 4b |a|24|a|b|cos 4|b|24 4|b| 4|b|212,3解得b 1，或b 2(舍去). .故选：A A【点睛】本题主要考

6、查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力27 7 已知函数f x是定义在R上的偶函数，且当x 0时，f x xx，则函数f x的图像在点1, f 1处的切线方程是()A A x y 20B.x y 0C C.x y 10D.x y 20【答案】C C【解析】 根据奇偶性求出当x 0时，f x的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果 【详解】因为函数f x是定义在R上的偶函数，当x 0时，x 0,f x x2x f x,f x 2x 1,则f 11 因为f 10,所以函数f x的图象在点1, f 1处的切线方程是y 0(x 1)化为x y 10. .故选 C.C.【点睛

7、】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题 求曲线切线方程的一般步骤是：(1 1)求出y f(x)在x X。处的导数，即y f(x)在点2ra2rb2ra4|a|b|2 cos34|b|2，即可得到本题答案第6 6页共 2020 页P(X。，f(x。)出的切线斜率(当曲线y f (x)在p处的切线与y轴平行时，在 处导第7 7页共 2020 页数不存在，切线方程为x xo）；（2 2）由点斜式求得切线方程y yof（x）?（x xo）. .8 8 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，若某个鳖臑的三视图均为直角边长为 1 1 的等腰直角三角形（如图所

8、示）【解析】由三棱锥P ABC的外接球与正方体的外接球相同，即可得到本题答案由题，得三视图的直观图为图中的三棱锥P ABC，易知，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球的半径等于-PB，即 R R輕，所以外接球的表面积22 2S 4 R23. .故选：D D【点睛】本题主要考查三视图的还原以及三棱锥的外接球表面积的求法，考查学生的空间想象能力和转化能力 a9 9 .已知数列an中满足a-15,an 1a.2n，则的最小值为（）则该鳖臑外接球表面积为侧视團3【答案】D DB B.2A A .【详第8 8页共 2020 页n第9 9页共 2020 页D D.2.15 1【答案】C C【解析】由累

9、加法可得ann215n 15，根据f （x） x的单调性，即可确定x最小值. .【详解】由a-i15,an 1an2n,an 1an 1ananan 12n2(n 1)15n(1 n)15所以ann2n 15,2所以%nn 151,nnnn又因为对勾函数f(x) x15在(0,、 、15)递减,x且玉7鱼27，所以色的最小值为273 44n4故选：C C15,【点睛】2n在（.15,）递增,本题主要考查利用累加法求数列的通项公式,以及利用函数的单调性求数列的最值,查学生的分析问题和解决问题能力1010 已知函数f x的定义域为0,，且满足f X xf X的导函数），则不等式xx2f x 1的解

10、集为（,2B B.1 1, ,1,2D D 1,2【答案】D D【解析】构造函数g xxf x,利用导数分析函数0,上的单调性,在不等式x 1f x 1两边同时乘以x 1化为x21x21 x2x 1，即g x 1，然后利用函数3第1010页共 2020 页设 Q(x,Q(x, y)y) ,0岁与 x x 轴正半轴的夹角为uuu，则OQ与 x x 轴正半轴的夹角为由题，得OQOPJ42325,y g x在0,上的单调性进行求解即可【详解】所以，函数y g x在定义域0,上为增函数，在不等式x 1 f x21 f x 1两边同时乘以x 1得2x1 12:x 1x 1 f/ 2 ,x 1，即g x

11、1g x 12x1 x 1所以2x10，解得1x 2,x 1 0【点睛】 本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下:(1)根据导数不等式的结构构造新函数y g x；【详解】构造函数g x xf x，其中x 0，则g xf x xf x 0,因此，不等式x 1 f x21f x 1的解集为1,2，故选:D.D.(2(2)利用导数g x的单调性，必要时分析该函数的奇偶性;(3(3)将不等式变形为 g gg X2，利用函1111.在平面直角坐标系中,uuu0(0,0)0(0,0) ,P(4,3)，将向量OP按逆时针旋转3 3 后，得向量uuuOQ，则点Q的横坐标是(3.32【答【解由

12、任意角的三角函数的定义，得xcos，又因为35COScos cos sin sin3334 3 3，联立求解，即可得到本题答案10第1111页共 2020 页3所以sin5，cos4 3/3 cos cos sin sin33310又cos所以4 3 3，解得x 21.1052故选：B B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义及和角的余弦公式的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力 1212 .已知函数 f f (x x) = ( mxmx - 1 1) e ex- x x2,若不等式 f f (x x)v 0 0 的解集中恰有两个不同 的正整数解，则实数 m m 的取值范围()出两个

13、函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m的的取值范围. .【详解】2X.mx 1x有两个不同的正整数解,e2x要使mx 1x恰有两个不同的正整数解等价于e则cos21 1 ,21 11A A .2 ,1B B.2e2ee2eeemx 10有两个正整数解即,02xmx 1,h x , he2x x2xe和2,上递减，在0,2上递增，画出X2 x，故函数h x在区间g x ,h x图像如下图所示,第1212页共 2020 页2h 22m14g2eg3h 33m19-3e解得3121e3m2 e2故m彳第1，选 C.C.e33 e22【点睛】本小题主要考查不等式解集问

14、题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题 二、填空题1313 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是AA、AB的中点，则异面直线EF与AiCi所成角的大小是 _I-风In【答案】上3【解析】将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角【详解】连接A1B,BC1，根据三角形中位线得到EF /A1B，所以BA1C1是异面直线EF与AiCi所成角. .在三角形ABC1中，A1B BG AC1, ,所以三角形A BG是等边三角形，第1313页共 2020 页故BApin故填：二3【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能

15、力，属于基础题x 01414 .已知点P(x, y)在不等式组y 0所表示的平面区域内运动，则z 4x y的x y 1取值范围为【答案】1,4【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得z 4x y的取值范围 【详解】由z 4x y，得y 4x z，作出不等式组对应得可行域(阴影部分)，平行直线y 4x z，由平移可知当直线y 4x z,经过点A(0,1)时，直线y 4x z的截距最大，此时 z z 取得最小值，将 A A 的坐标代入z 4x y，得z 1，即目标函数z 4x y的最小值为-1-1 ；7t第1414页共 2020 页经过点 B(1,0)B(1,0)时，直

16、线y 4x z的截距最小，此时 z z 取得最大值, 将 B B 的坐标代入z 4x y，得z 4，即目标函数z 4x y的最大值为 4.4.所以z 4x y的取值范围为1,4. .故答案为：1,4【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法 1515 用半径为 3cm3cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒(接头处不计)，则这个圆锥筒的高为_ cm. .【答案】匕3【解析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案 【详解】3因为半径为 3 3 的半圆弧长为3，所以圆锥的底面圆的周长为3，则底面圆半径

17、为3,2【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关问题，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，是解决此题的关键，考查学生的空间想象能力故答案为:3.32其轴截第1515页共 2020 页1616 .数列an满足印1,an! -an，其中1,5，若存在正整数m,当n mn 1第1616页共 2020 页时总有an0，则 的取值范围是【答案】(1,2)(3,4)【解析】记bnn,(n 1,2,L )，则满足n 1b2k2k本题答案. .【详解】记bn叫,5n 11,2丄)，根据题意可知，且满足:no时，bnb2kno1时,bn0. .所以由an 1bnan及0若n为奇数，则an0,因此n2k(k 1,

18、2L )，则所以2k 12k 12k10可知，若n。为偶数，则务。从而当nm时总有b2k满足b2k的取值范围是(2k1,2k),1,5,(1,2)(3,4). .故答案为：(1,2)(3,4)【点睛】本题主要考查数列知识的综合运用,力，转化计算能力 三、解答题1717 .已知a、3sin x,cosx,bno时an0. .0，由此即可得到-0N，这时总存在nN,0,从而当n no时，a*0；an0”的充分必要条件是：n。为偶数，记疋：空02k 12k 12k考查学生分析问题和解决问题的能力，逻辑推理能(cosx,cosx),f (x) a b m. .第1717页共 2020 页第1818页共

19、 2020 页(1)(1) 求函数 f(x)f(x)的解析式，及 f(x)f(x)的最小正周期；(2)(2)当x,时，函数 f(x)f(x)的最大值为7，求此函数 f f (x)(x)的最小值. .6 32【答案】(1 1)f (x) sin 2x_m1最小正周期为；(2 2) 2 262【解析】 (1 1)由题得，f(x)sin 2x6m1，由T22即可得到本题答案；(2(2)由f(x)sin 2x m12x5，且 f f (x)(x)的最大值为一，6266 62先求得 m m,然后即可求得 f f (x)(x)的最小值. .【详解】(1)由题，得f(x),3 sinxcosx cos2x爲

20、i 2msin 2x21(1 cos2x) m2sinc12x m,6 2所以2f(x)f(x)的最小正周期T2;(2 2)因为f (x) sin 2x 61m2，由x,，得2x 6 3656，6，3所以当2x时，f(X)f(X)取最大值，且f(X)maxm，6 2237由题，得m，解得m 2，2 25所以f(x) sin 2x6 2nn当2x += -, f f (x)(x)取最小值，且f (x)min2. .66【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，其中涉及最小正周期和值域的问题1818.已知ABC的内角 代B,C的对边长分别为a,b,c且2acosA ccosB bcosC.

21、.(1)(1)求角A的大小；第1919页共 2020 页（2 2）若a 2, ,求ABC周长的取值范围【答案】（1 1）3（2 2）4,6. .、1【解析】（1 1）利用正弦定理化简边角关系式后可得cosA，从而可求A的大小. .2（2 2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求b C的取值范围，从而可求周长的取值范围 【详解】【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式

22、与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求 最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. .1919.正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC A1BQ1中，D是BC的中点，AA,AB 2. .(1)(1)在ABC中，Q 2a cosAccosB bcosC，2sin AcosA sinCcosBsin BcosC即2si n A cos Asin C B si nA，因为A 0,，所以sin A10，cosA -2Q A (0,),由于a2, A3由余弦定理有eg.2 2 2b c a2bcbc b2c244 2bc，

23、又根据bcbc，所以解得b c 4（当且仅当2时等号成立）又因为所以b c 2. .因为a 2，所以ABC周长ab c的取值范围为4,6. .第2020页共 2020 页(1)求证：AiC/平面ABQ；(2(2)求点 C C 到平面ABiD的距离. .【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)5 5【解析】(1 1)通过证明DE AC，即可得到本题答案；(2)由VcAB1DVBiACD，即可算得点C到平面ABiD的距离. .【详解】(1(1)连接AiB，交ABi于点 E E，连接DE. .在ABC中，易知 E E 为AB中点，又 D D 为BC中点，所以DE AC，又DE平面ABQ，所以AC平面

24、ABQ；(2 2)设点 C C 到平面AB1D的距离为 h.h.由题，得平面ABC平面BB1C1C，又AD BC，易得，AD . 3,B1D5，、1所以VCABD3 SAB1Dh所以一6【点睛】 本题主要考查线面平行的证明以及用等体积法求点到平面的距离，考查学生的计算能所以AD平面BB1C1C，ADBD，又VB1ACD1SACDBB13，VCABDVB1ACD，32；55第2121页共 2020 页2020 .在数列an中，ai1,an1a.2a.&0，数列bn的前n项和为Sn，且1(1)证明：数列是等差数列.an(2)若2t 3 Snt对n N*恒成立，求t的取值范围.【答案】(1

25、1)见解析(2 2)丄,52 3丄 常数；(2 2)首先求数列bn的通项公式,an 1an1 1212T1，若满足2t 3 Sn t对n N*恒成立，【详解】bn2n 1【解析】(1 1)根据已知可变形为然后利用裂项相消法求Sn需满足2t 3Snmin,tSnmax，求t的取值范围(1)证明：因为an 1an2an 1an0,所以an 1an2an 1an,11则-2.an 1an11,又二a1故数列1是以 1 1 为首项,an(2 2) 由(1 1) 可知丄2nan因为bnan所以bn2n1所以Sn11 1 12331，则an1112n 112n1 2n 122n 1111155L72n 1

26、12n 1丄11丄2n 12 2n 12 2 为公差的等差数列.第2222页共 2020 页易知Sn单调递增，则1 S &1.32第2323页共 2020 页1115所以2t 3 3，且t-，解得2 t 3-1 5故t的取值范围为，-.2 3【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判 断单调性或是根据an 1an的正负判断单调性，然后求最值 2121如图所示，ABCD是边长为 3 3 的正方形, ,DE平面ABCD, AF/DE,DE 3AF, BE与平面ABCD所成角

27、为60( (I ) )求证：AC平面BDE;( (n ) )设点M是线段BD上一个动点 试确定点M的位置，使得AM /平面BEF拼证明 你的结论.1【答案】( (I ) )见解析；( (n ) )BM -BD. .3【解析】试题分析：(1)由线面垂直的判定定理证明；建立空间直角坐标系D xyz,写出各点坐标，由于点 M 在线段 BD 上，所以设ruuuffrM(t,t,O)(O t 3-.2)，求出平面 BEF 的法向量n,由 AM n 0，求出点 M 的 坐标.试题解析：( (I ) )证明：TDE平面ABCD , DE AC, ,TABCD是正方形，AC BD, ,又DE BD=D, ,-

28、AC平面BDE. .( (n ) )解：因为DA, DC, DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz如图所示，第2424页共 2020 页因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE 60, ,所以皂 .3,.3,DB由AD 3, ,可知DE 3 6, AF则A 3,0,0 ,F 3,0,6 ,E 0,0,3.6 ,B 3,3,0, ,uuuuuur所以BF0,3,、6 ,EF3,0, 2.6, ,设平面BEF的法向量n x,y,z, ,rumr-n BF 0 3y ,6z 0则ruur, ,即_n EF 0 3x 2 .6z 0r令z , 6得,n 4,2,、6, ,又点M是线段BD上一动点，mu设M t,t,00 t 3.2，则AB t 3,t,0因为AM /平面BEF, ,uuurr所以AM n 0, ,即4 t 3 2t 0解得t 2. .此时，点M的坐标为(2,2,0)(2,2,0)1即当BM - BD时，AM /平面BEF. .3xe2222 .已知函数f (x) x 1 alnx(a R),g(x).x(1) 求 f f (x)(x)的单调区间；(2)当 a a 0 0 时，且对任意的XX24,5(旨X2),f人f X2g冶g X2恒成立，求实数a的取值范围. .【答案】(1 1 )当 a a 0 0 时，f(x)f(x)的增区间为(0,)；当a 0时