2019-2020学年甘肃省天水市甘谷第一中学高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1414 页2019-2020学年甘肃省天水市甘谷第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题21 1 .若集合A x 0 x 1 , B xx 2x 0,则下列结论中正确的是（）A A.A BB B.A B RC C.A BD D.B A【答案】C C【解析】由题意首先求得集合 B B,然后逐一考查所给选项是否正确即可 .【详解】x|0 x 2，选项 B B 错误;且集合 A A 是集合 B B 的子集，选项 C C 正确，选项 D D 错误.本题选择 C C 选项，故选 C.C.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答

2、的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2 2 若 a a b b，则下列不等式恒成立的是（）1 1A A.2a2bB B.In a b 0C C.a空 I ID D.a b【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数、幕函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等 式的正误. .【详解】对于 A A 选项，由于指数函数y 2x为增函数，且 a a b b ,2a2b, A A 选项中的不等式不成立；对于 B B 选项，由于对数函数y Inx在0,上单调递增，Q a b，当0 a b 1时，In a b In1 0,B选项中的不等式不恒成立；11 1对于 C C 选项，由于幕函数yx3在，上单调

3、递增，且 a a b b ,a3b3, C C 选项求解二次不等式x22x 0可得：0 x 2，则Bx|0 x 2据此可知：A B x 10 x 1，选项 A A 错误;第2 2页共 1414 页中的不等式恒成立;对于 D D 选项，取 a a 1 1 , b b 2 2，则 a a b b，但a b, D D 选项中的不等式不恒成立 故选 C.C.【点睛】 本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题不符;【点睛】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域, 4 4. 6 6 人站成一排，甲、乙、丙三人必

4、须站在一起的排列种数为【答案】D D【解析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元 素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分 2 2 步进行分析：、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有 况，、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A A44= 2424 种情况,A A . 1818B B. 7272C C. 36361441443 3 下列函数中，值域为R且在区间（，）上单调递增的是（）（）2小A A.y x 2xx31Dy y (x(x 1)|x|1)|x|【答【解根据题意，依次分析

5、选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案.【详(A(A)2x的值域不是R,R,是1 1,+），所以，排除;(B(B)2x1的值域是（, + )，排除;(D(D)2x2xx,xx,x，在（0 0,1）上递减，在（1,02 2+m）上递增,只有（C C）符合题意 故选 C.C.属于基A A33= 6 6 种情第3 3页共 1414 页则不同的排列种数为 6 6X2424= 144144 种; 故选 D.D.【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素r rrrrrrr5 5.a =1, b =2，且a与b

6、的夹角为 I20o,I20o,则a+2b 2a+b的值为()()A A. - - 5 5B B. 5 5C C.5D D. 、5【答案】B B【解析】由平面向量数量积的定义可得a b1，转化条件得r rr rr2r r r2a+2b2a+b 2a 5a b 2b,即可得解 【详解】rrr rQ a =1,b =2,a与b的夹角为120O,rrrr1aba bcos1201 21,2r r r rr2r rr22a+2b 2a+b 2a 5a b 2b 2 512 25. .故选：B.B.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题6 6.已知a 0,b0，且ab 1，则函数f (x) a

7、x与函数g(x)logbX的图像第4 4页共 1414 页【答案】B B【解析】依题意，由于a,b为正数，且ab 1，故f x,g xlog1X单调性相同,b所以选B. .7 7 .不论m为何实数，直线2m 3y m 0恒过定点（ ）A A .3, 12, 1-1【答案】【解析】将直线方程变形为2y3y 0, ,即可求得过定点坐标. .【详解】根据题意 ，将直线方程变形为2y3y 0 x因为m位任意实数，则x2y3y1 00，解得所以直线过的定点坐标为3,1故选: :C C【点睛】本题考查了直线过定点的求法, ,属于基础题. .8 8.方程1x3iog3x0的解的个数是（B B.【答案】【解析

8、】判断函数y【详解】在同一坐标系中作出函数与函数y log3x的图象交点个数即可得解x与函数y logsx的图象，如图所示:第5 5页共 1414 页1易判断其交点个数为 2 2 个，则方程 丄log3x 0的解的个数也为 2 2 个. .3故选：C C【点睛】本题考查指数函数、对数函数的图像和性质，方程的根的个数转化为求函数图像的交点 个数是解题的关键，属于基础题 9 9 为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B C三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 1 人，且甲、乙两人 约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A A 2424B

9、 B. 3636C C 4848D D 6464【答案】B B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1,二是2: 2:1,然后各自全排列，再求和. .【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有CjAj318种不同的方案；当按照2: 2:1进行分配，则有CX 18种不同的方案. .故共有 3636 种不同的派遣方案，故选：B.B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题2 21010已知a 0,b0, ,直线ax by 1被圆（x 1） （y 3）9所截得弦长为 6,6,则1 1的最小值为（）（）a 3bA A 4 4B B. 3 3C C 2 2

10、D D 1 1【答案】A A【解析】根据圆的方程及半径，结合所截弦长为直径可知直线经过圆心，即可得第6 6页共 1414 页1 1a 3b 1. .再根据基本不等式中“ 1 1 的代换即可求得的最小值. .a 3b第7 7页共 1414 页【详解】圆（x 1）2（y 3）29，所以圆心坐标为1,3，半径为r 3直线ax by 1被圆截得弦长为 6 6,则直线经过圆的圆心，所以a 3b 1,a 0,b 0所以由基本不等式可得1丄a 3b2 3b 旦a 3b十,11所以一的最小值为4,a3b故选：A.A.【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，由基本不等式求最值，属于基础题x - 3sin 2x

11、cos2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到6 6原来的 2 2 倍（纵坐标不变），得到函数g x的图象，则下列说法正确的是（）A A 函数g x的最大值是1B B.函数g x的最小正周期为2C C .函数g x在区间，上单调递增 D D 函数g x的图像关于直线x对称633【答案】C C【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解g x，再根据正弦函数的性质进行判断即可.【详解】化简得f x . 3sin2x cos2x 2sin 2x，向右平移一后可得6 63ba ,1 4a 3b3ba11，即a-,ba3b26当且仅当时取等号,1丄a 3ba 3b1

12、111.将函数第8 8页共 1414 页坐标长度不变）得到函数g x,所以gx诙x -，故选 C.C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于 基础题.1212 设等差数列an的前n项和为Sn，若SsS7的值为（）A A . 5 5B B. 6 6C C. 7 7D D . 8 8【答案】B B【解析】利用S7S5得a0,a70，可得结论.【详解】满足anan 10的n为 6.6.故选：B.B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和与项的关系，考查等差数列和性质.非常数的等差数列要2sin 2 x2sin 2x，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵由三

13、角函数性质知:最小正周期为2对称轴为x 6又- -2kx2单调增区间为当 k=0k=0 时，单调增区间为故 A A 错;k Z,给 k k 赋值，x x 取不到一，故 D D 错;322k x2k，k Z，3,，故 C C 正确,333S5，则满足anan 10的正整数nS6S7S5，a6S6S50,a7S7S60,a6a7S7S50,数列ann 6时，an0,n 7时，an0,第9 9页共 1414 页么递增，要么递减.二、填空题1313 .若An6C：，则n的值为_【答案】7 7【解析】试题分析：由A；6C：可得【考点】排列数及组合数的计算1414 一只口袋装有形状、大小都相同的4 4 只

14、小球，其中有 3 3 只白球，1 1 只红球从中 1 1次随机摸出 2 2 只球，则 2 2 只球都是白球的概率为 _.【答案】【解析】计算出“从中 1 1 次随机摸出 2 2 只球”共有 种不同的结果，“2只球都是白球” 有仪彳种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。【详解】由题可得：“从中 1 1 次随机摸出 2 2 只球”共有fl种不同的结果，“摸出的 2 2 只球都是白球”有 种不同的结果 所以“从中 1 1 次随机摸出 2 2 只球，则 2 2 只球都是白球”的概率为【点睛】本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。1515 .如图所示，在四棱锥P AB

15、CD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件BM DM，DM PC，BM PC中 的_时，平面MBD平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）. .n(n 1)(n 2)6n(n 1)( n 2)( n 3)4 3 2 1n 4n 34第1010页共 1414 页【答案】（或）【解析】推出BD PC，则要得到平面MBD平面PCD，即要得到PC平面MBD, ,第1111页共 1414 页故只需PC垂直平面MBD内的一条与BD相交的直线即可【详解】Q PA底面ABCD, ,PA BD, ,Q底面各边都相等，AC BD, ,Q PAI AC A, ,BD平

16、面PAC, ,BD PC, ,当DM PC（或 BMBM PCPC）时，即有PC平面MBD, ,而PC平面PCD, ,平面MBD平面PCD. .故答案为：（或）. .【点睛】本题考查线面？面面垂直的判定与性质应用，需要学生具备一定的空间想象能力与逻辑思维能力 1616. .已知点A 1,3,B 4,2, ,若直线ax y 2a 0与线段AB有公共点，贝U实数a的 取值范围是_ . .【答案】，3 U 1,【解析】根据直线方程可确定直线过定点M 2,0；求出有公共点的临界状态时的斜率，即kMA和kMB；根据位置关系可确定a的范围. .【详解】直线ax y 2a 0可整理为：y x 2 a直线ax

17、 y 2a 0经过定点M 2,0k3 032 0KMA3，kMB11 24 2又直线ax y 2a 0的斜率为a（3 m） 1 5的取值范围为：，3 U1本题正确结果：，3 U 1,【点睛】本题考查根据直线与线段的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确直线经过的定点，从而确定临界状态时的斜率 第1212页共 1414 页三、解答题第1313页共 1414 页n N的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是9: 2(1) 求n的值；(2) 求展开式中的常数项.【答案】(1 1)n 10( 2 2)180180【解析】(1 1)根据二项式系数公式，结合已知直接求解即可；(2 2)

18、写出二项式的展开式的通项公式并化简，令X的指数为零求解即可【详解】(1) C：:C：9:2 n 10，当0,即r = 2时，常数项为c：221802【点睛】本题考查了二项式系数，考查了二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力 1818 (用数字作答)从 5 5 本不同的故事书和 4 4 本不同的数学书中选出 4 4 本，送给 4 4 位同 学，每人 1 1本，问：(1)如果故事书和数学书各选2 2 本，共有多少种不同的送法？(2) 如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？【答案】(1 1) 14401440 ； (2 2) 504.504.【解析】(1 1)由分步乘法计数原理可

19、得共有C2C2A；种送法，计算即可得解；(2 2)由分步乘法的计数原理可得共有C；A：504种送法，计算即可得解. .【详解】2(1) 由题意可知，5 5 本不同的故事书中任选 2 2 本有C5种选择，4 4 本不同的数学书中任24选 2 2 本有 C C4种选择，4 4 个不同的学生又有A4种选择，因此由乘法计数原理得共有C；C2A 1440种不同的送法；2(2)如果故事书甲和数学书乙必须送出，则需要从剩余7 7 本中选 2 2 本书即C7种选择，1717 在、x2X(2)Tr 1-10C；0-X10 5r第1414页共 1414 页4 4 个不同的学生又有A种选择，第1515页共 1414

20、 页24因此由乘法计数原理得共有C7A4504种不同的送法【点睛】本题考查了分步乘法计数原理与排列组合的综合应用，属于基础题. .1919 .如图，四棱锥P ABCD，PA平面 ABCDABCD，四边形 ABCDABCD 是直角梯形，AD/BC，BADBAD 9090 ,BC 2AD, E E 为 PBPB 中点. .(1) 求证：AE /平面 PCDPCD;(2) 求证：AE BC. .【答案】(1 1)证明见详解；(2 2)证明见详解【解析】(1 1)取PC的中点F，证出AE/DF,再利用线面平行的判定定理即可证出(2 2)利用线面垂直的判定定理可证出BCBC 丄平面PAB，再根据线面垂直

21、的定义即可证出 【详解】如图，取PC的中点F，连接EF, DF,QE E 为 PBPB 中点，EF /BC，且EF又QAD/BC,BC 2AD,AD EF,AD /EF, ,AEFD为平行四边形，即AE/DF,又AE平面 PCDPCD ,DF平面 PCDPCD, 所以AE /平面 PCD.PCD.(2 2)由PA平面 ABCDABCD，所以PA BC, 又因为AD / /BC, BADBAD 9090，所以BC AB,1-BC,2第1616页共 1414 页Q PAI AB A,BC平面PAB,又Q AE平面PAB,AE BC. .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证

22、线面平行，需先证线线平 行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题2020.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2 2 2sin B sin C sin A sin Bsi nC(1) 求A;(2)若a 4,ABC的面积为4.3，求b c. .【答案】(1 1) ； (2 2) 8.8.3【解析】(1)(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；(2 2)利用面积公式和余弦定理可得结果. .sin2B sin2C sin2A sin BsinC，所以b2c2a2bc,.2 2 2bc abe丄2bc2bc2，因为0 A，所以A. .3(2 2)因为ABC的面积为4.,3，所以-bcs in A 3bc 43，即bc 16,24因为b2c2a2bc, a 4，所以b2c232,所以bc . b2c22bc .648. .【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力, 难度不大 2121 .已知函数f X lg 2 x lg 2 x. .(1) 求函数f x的定义域；(2) 若不等式f (x) m有解，求实数m的取值范围. .【答案】(1 1)( 2,2)； (2 2)m lg4.【详解】(1 1)因为则cos A第1717页共 1414 页【解析】试题分析：(1 1)由