2020届广东省江门市高三下学期4月模拟数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 18 页2020 届广东省江门市高三下学期 4 月模拟数学（文）试题一、单选题1 已知集合 A = 1 , 2, B = 2 , 3, P = A AB，贝 U P 的子集共有（）A . 2 个B. 4 个C . 6 个D . 8 个【答案】A【解析】 进行交集的运算即可求出P = 2，然后即可得出 P 的子集的个数.【详解】 A= 1,2, B = 2,3,p=AAB=2,- P 的子集共有 21= 2 个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力,属于基础题.2.i 是虚数单位，复平面内表示i （1+2i）的点位于（）A .第一

2、象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】 直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案【详解】因为 i（1+2i） =-2+i 其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3. 学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）1111A .B. 一C.D.-2346【答案】B第2页共 18 页【解析】基本事件总数 n= 3X3= 9这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数 m= 3

3、，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率【详解】 学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，基本事件总数 n= 3X3 = 9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m = 3,则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率pm-1.n 93故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4.数列an中，ai= 2, a2= 3, ?n N+, an+2= an+i- an，贝 U a2020=()A . 1B. 5C. - 2D . - 3【答案】C【解析】根据递推关系求出其是

4、以6 为周期交替出现的数列，进而表示结论，并求得答案【详解】因为数列 an中，ai= 2, a2= 3, ?n N+, an+2= an+i-an,二 a3= a2-ai= 1 ；a4= a3-a2= -2 ；a5= a4-a3= -3;a6= a5-a4= -i ；a7= a6-a5= 2= ai；a8= a7- a6= 3= a2；二数列an是周期为 6 的数列；/2020=6X336+4；a2020= a4= -2;故选：C【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为6,属于简单题.5 .执行如图的程序框图，如果输出的y 的值是 1,则输入的 x 的值是()故选

5、：D.第 3 页共 18 页A . -B. 23【答案】C【解析】根据结果，倒着推，进行判断【详解】2若 xv 1，贝 U 3x-1 = 1，解之得 x -；3若 x1,贝VX2-4X+5= 1,解之得 x= 2;故选：C【点睛】本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题6 若点P(cos ,sin )在直线y 2x上，贝 ycos(2-)的值等于()4433A.B.C.-D.-5555【答案】B【解析】Q点P cos ,sin在直线y2x上，sin2cos , tan2 ,cos 2si n22ta n4，故选 B.1 tan2257 .已知 a= ln3,b=si n3,c1e3，则(e

6、)A.avbvcB.cvavbC.cvbvaD.bvcva【答案】D【解析】禾 U 用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出【详解】 bvcva.D .以上都不是/ a= In3Ine=1 ,b=sin3vsin第4页共 18 页【点睛】 本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题8. ABC - AiBiCi是正三棱柱，若 AB = 1 , ABi丄 BCi，贝UAAi=()【答案】B【解析】由题意画出图形，取 AB 的中点 0,连接 0C,以 0 为坐标原点，以iuir直线为 x 轴，以 0C 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系，设 AAi

7、= a,再由 AB列式求解 a 值，则答案可求【详解】如图，取 AB 的中点 0,连接 0C,以 0 为坐标原点,【点睛】 本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，属 于中档题9 .经过抛物线 y2= 2px ( p 0)的焦点且倾斜角为 一的直线与抛物线相交于A、B 两4点，若 AB | =1 1,则p p=()111A . 1B.C .D .234【答案】DAB 所在uuunBCi0以 AB 所在直线为x 轴，以 0C 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系,设 AAi= a,则 A1 1 1,0,0) ,Bi( ,0,a) ,B ( ,0,0) ,Ci2（

8、0 宦）,LULT则ABiuuuu1,0, a , BCi,a.uuur uuuu由 ABi丄 BCi，得ABiBCia20, AAi 2BiA故选：B第5页共 18 页【解析】由题意可得直线 AB 的方程为：y= xP，与抛物线方程联立，利用韦达定理2结合抛物线的定义可得 4p= 1，从而求出 p 的值.【详解】由题意可知，抛物线焦点坐标为 (卫,0),2直线 AB 的方程为：y=Xp2yX卫联立方程丫2消去 y 得：2X23 px 0,42y 2px XA+XB=3p,由抛物线的定义可知：|AB|=XA+XB+P, , x 14p4p=1 1,p_ ,4故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线

9、的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题10 .给出下列结论：(1) 某学校从编号依次为001,002,，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862.(2)甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲.(3)若两个变量的线性相关性越强， 则相关系数r的值越接近于1.(4)对A、B、C三种个体按3:1: 2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30.则正确的个数是()A .3B.2C.1D. 0【答案】C【解析】 运用抽样、方差、线性相关等知识来判

10、定结论是否正确【详解】第6页共 18 页(1) 中相邻的两个编号为 053, 098,则样本组距为98 53 45900样本容量为2045则对应号码数为53 45 n 2(3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于 1,故错误(4)按 3:1:2 的比例进行分层抽样调查， 若抽取的A 种个体有 15 个，综上，故正确的个数为 1故选C【点睛】 本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础2 211 直角坐标系 xOy 中，双曲线 丄1的左焦点为 F , A (1, 4), P 是右支上的412动点，则|PF|+|PA|的最小值是

11、()A 8B. 9C 10D 12【答案】B【解析】 设双曲线的右焦点为 G,由双曲线方程求得F 与 G 的坐标，再由双曲线的定义可得 |PF|+|FA|= 2a+|PG|+|FA|,利用 |PG|+|PA| 徐 G|求出最小值.【详解】由题意得 a = 2, b2 ,3, c= 4,则 F (-4,0),设右焦点 G (4,0).由双曲线的定义可知位于右支的点P 有|PF|- |PG |= 4,当n20时，最大编号为534518(2) 甲组数据的方差为 5,乙组数据为则x乙5 6 910 557乙组数据的方差为12-5756 7那么这两组数据中较稳定的是乙， 故(863, 不是862,故(

12、1)错误5、6、9、 10、 5,22229710 75 74.452)错误则样本容量为1530，故正确第7页共 18 页 |PF|+|PA= 4+|PG|+|PA| 4+AG|= 4.仆一4)2一(4一0)24+5 = 9.故选：B第8页共 18 页【点睛】12 .已知函数f(x)|l n x|,若0 a b且f (a)f(b)，则2ab的取值范围是( )A .(2.2,)B.22,C.(3,)D .3,【答案】B【解析】画出f(x)|ln x|的图象,数形结合可得0 a 1,b1,ab1，然后利用基本不等式即可求出答案【详解】f(x) |lnx|的图象如下:因为0 ab.且f(a)f (b

13、)所以In aIn b且0a 1,b1所以In a Inb,所以ab 1所以2ab/2ab2y/2当且仅当2ab，即a,b丘时等号成立2故选:B【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用， 用到了数形结合的思想，属于中档题二、填空题13. an是等比数列，若 ai= 2, a2= 1,则数列an的前 n 项和 Sn=_.本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，化为 2a+|PG|+|PA|是解题的关键，属于中档题以及双曲线的简单性质的应用， 把|PF|+|PA|第9页共 18 页【答案】422 n第10页共 18 页【解析】由等比数列定义可求得公比，再由等比数列求和公式

14、计算得答案【详解】由等比数列的前两项可求得公比，再代入前n 项和公式可求出结果an是等比数列，若ai= 2,a2= 1, 公比 q 玉故答案为：422 n【点21 J)nh42本题考查等比数列的基本量的求法与前n 项和公式，属于基础题14. ABCD 是边长为 1 的正方形，E、F 分别是 BC、CD 的中点,uuu则AE【答案】1【解析】 根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求uuuuuurAE?AF的值.【详建立平面直角坐标系，如图所示;则 A (0,0) ,B (1,0) ,C (1,1) ,D (0,1)；11因为 E、F 分别是 BC、CD 的中点，贝 U E （1,1）

15、 ,F （丄，1）；22第11页共 18 页所以AEuuur,AF（丄,1） ；2本题考查了平面向量的坐标表示及数量积计算问题，属于基础题【点第12页共 18 页【答案】2,5【解析】 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 A 时, z 最小，从而得出目标函数z= 2x+y 的取值范围.【详解】2 2x y 5,画 x, y 满足x 1,表示的平面区域，如图：y 0.将目标函数变形为y 2x z，则 z 表示直线在 y 轴上截距，截距越大，z 越大 作出目标函数对应的直线L : y=- 2xx 1由y 0可得A A(1 1,0 0)直线 z= 2x+y 过 A

16、 时，直线的纵截距最小，z 最小, z 的最小值为：2.直线-2x+z= y 与圆相切于 B 时，z 取得最大值：【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于中档题2 2x y15 .设 x, y 满足x 1,y 0.5,则 z= 2x+y 的取值范围是_ .（用区间表示）第13页共 18 页2216 .函数f x Xsinx cosx的最大值为 M，最小值为 m，贝yM+m=_Xl【答案】2【解析】根据题意，求出 f (-x)的表达式，分析可得f (x) +f (-x)= 2,即可得函数 f(x)的图象关于点(0,1)对称，据此分析可得答案【详解】x21(-x)=

17、 2,即函数 f (x)的图象关于点(0,1)对称,若函数 f (x)的最大值为 M，最小值为 m,必有 M+m = 2； 故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题 三、解答题17 .某贫困地区共有 1500 户居民，其中平原地区 1050 户，山区 450 户为调查该地区2017 年家庭收入情况，从而更好地实施 精准扶贫”采用分层抽样的方法，收集了 150户家庭 2017 年年收入的样本数据(单位：万元)(2)根据这150 个样本数据，得到 2017 年家庭收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为(0, 0.5, (0.5, 1, (

18、1, 1.5, (1.5, 2, (2, 2.5, ( 2.5,3.如果将频率视为概率，估计该地区2017 年家庭收入超过 1.5 万元的概率；(3)样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，请完成 2017 年家庭收入与地 区的列联表，并判断是否有 90%的把握认为 该地区 2017 年家庭年收入与地区有关 ”？超过 2 万兀不超过 2 万元总计根据题意,2 2x sinx cosxxix21 2sin xcosxxl2sin xcosxx21则 f (-x)= 1则有 f (x) +f2sin xcosx第14页共 18 页平原地区山区5总计2n ad beabed a e b

19、 dP （ K2 沫0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【答案】(1) 45 户(2) 0.45 ( 3)填表见解析；有 90%的把握认为 该地区 2017 年家庭 年收入与地区有关”.【解析】(1)由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1,然后求解应收集户山区家庭的户数(2)由直方图直接求解该地区2017 年家庭年收入超过 1.5 万元的概率.(3)样本数据中，年收入超过2 万元的户数为(0.300+0.100) 0.5 150 = 30 户而样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过2 万元，完成列联表，求出k2，即可判断是否有 90%的

20、把握认为 该地区 2017 年家庭年收入与地区有关”.【详解】(1)由已知可得每户居民被抽取的概率为 0.1，故应收集手机 450X0.1 = 45 户山区家庭 的样本数据.(2)由直方图可知该地区2017 年家庭年收入超过1.5 万元的概率约为(0.500+0.300+0.100 ) 0.5= 0.45.(3)样本数据中，年收入超过2 万元的户数为(0.300+0.100) 0.5 50= 30 户.而样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过2 万元，故列联表如下：超过 2 万兀不超过 2 万元总计附：K2第15页共 18 页平原地区2580105山区54045第16页共 18 页总计30

21、120150有 90%的把握认为 该地区 2017 年家庭年收入与地区有关【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于简单题18. ABC 的角 A、B、C 的对边为 a、b、c,已知 a、b、c 成等差数列，COSA -.8(1) 若 a= 1，求 c;(2) 若厶 ABC 的周长为 18,求厶 ABC 的面积 S.【答案】(1) c= 2 (2)3.15【解析】(1)由已知结合余弦定理可求;积公式可求;【详解】(1)依题意,即 c2-c-2 = 0,解得 c= 2 或 c= -1，舍去负值得，c= 2,(2)依题意，a+c= 2b, a+b+c= 18,所以 b

22、 = 6, a = 12-c,解得 c= 8,所以K2150 25 40 5 8030 120 105 45200633.1752.706，(2)结合已知a, b, c 的关系及余弦定理可求c,然后结合同角平方关系及三角形的面由余弦定理得,2 2 2b c acosA -bc2 21 c 4c 44c 1由余弦定理得，cosA2 2 2b c a2bc621212c第17页共 18 页【点睛】由cosA-且 0vAv8n得,sinA ABC 的面积S丄bcsinA23.15,第18页共 18 页本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档题19 .如图，

23、四棱锥 O-ABCD 的底面是边长为 1 的菱形，OA= 2,/ ABC = 60 OA 丄【答案】(1)证明见解析(2) _竺19【解析】(1 )取 OD 的中点 P,连接 PC、PM，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得 MN / PC,再由直线与平面平行的判定可得直线MN /平面 OCD ;d，然后利用等体积法求点M 到平面 OCD 的距离.【详解】(2)连接 ON、ND，设点M 到平面 OCD 的距离为d,可得点 N 到平面 OCD 的距离为(2)求点 M 到平面 OCD 的距离.第19页共 18 页(1)证明：取 OD 的中点P,连接 PC、PM,/ M、N 分别是 O

24、A、BC 的中点， PM / AD，且PM-AD,NC / AD，且2NC丄AD2， PM / NC ,且 PM = NC ,贝 V PMNC 是平行四边形,MN /PC,/ PC?平面 OCD , MN ?平面 OCD ,直线 MN /平面 OCD ；(2)解：连接 ON、ND，设点 M 到平面 OCD 的距离为d,由(1)得，点 N 到平面 OCD 的距离为 d,1设三棱锥 O - CDN 的体积为 V,则V - SVCDNOA3SvOCDd,依题意，SVCDN CD CN sin BCD ,2 8 ACAC=ADAD=CDCD=1 1,OC OD .5，则SVOCDCD1945 :第20

25、页共 18 页【点睛】求多面体的体积，属于中档题(1)求椭圆的方程；(2)斜率为 1 且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于Pl、P2两点，P 是椭圆上任意一点,uuu若0PuuuLUJTOROP,(入让 R),证明：於+为定值.【答案】x2y2(1 1)1(2)证明见解析6 2【解析】 (1)利用已知条件解得b2，a .6，得到椭圆的方程2x(2)直线 P1P2的方程为 y= X-2,由6设P P1(X1, y1)、P2(x2, y2)、P (xo, yo),结合韦达定理，以及向量关系，通过P、P1、P2都在椭圆上，转化求解即可【详解】(1) 依题意，2b 2 2,e -6,a a32 2解得b

26、2，a6，椭圆的方程为1,6 22 证明：ca2b22，直线P P1P2的方程为 y= x- 2,d，得点 M 到平面 OCD 的距离d19本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等体积法2x20 .直角坐标系 xOy 中，椭圆飞ab21(ab 0)2 2，离心率为一6.32丄12得，2x2- 6x+3 = 0,第21页共 18 页2x2y1得，2x2- 6x+3 = 0,由62yx 2设 P1(X1, y1)、 P2(x2, y2)、P (X0,yo), 则 X 什 X2= 3 ,x1x232uuuuuuULLT由OPOPOP?得3 30=入K+Hx,yo= 入y

27、H2,因为 P、P1、P2都在椭圆上，所以x23yi26 0,i =0, 1,2,26X。3y。22x1x23 y12y22 2X3y12 2x223y222x1x23y1y2=6X+62(i+3 入H1+2y1y2),y2x 2x22 x1x22为X24 3264-2所以，6 *+6=6 6,入+ -1 1疋疋值【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系, 想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力, 属于较难题21 .已知函数 f (x)= Inx - ex-2, x0.3e，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程考查数形结合的数学思

28、第22页共 18 页【详解】(1) f xf (2)= In2- 1,f(2)(1)求函数 y= f(x)的图象在点 x =2 处的切线方程;(2)求证：f (x)v0.【答案】(1)yln2(2)证明见解析【解析】(1)求出f x(2)(方法一)作函数gInx - x,e，判断函数的单调性，构造函数h xxe2e1-x , eh求出函数的最小值, 然后推出结果(方法二)f-ex 2在定义域区间(x0, +8)单调递减,求解函数的极大值，导函数的零点, 然后转化求解即可f第23页共 18 页g X11Xeg (e)=0 ； 当0vxve 时， g (x) (）;当x e 时，g(x)v0,所以

29、 g(X)(e)=0,即Inx,等号 当且仅当 x= e 时成立e作函数h xXe1x,hXeX21eeeeh（ 1）= 0；当 0vxv1 时，g（x）v0；当 x 1 时，g（x） 0,x所以 h (x)纬(1)= 0,即e2ex0,Inxv2,即卩 f (x)v0.1（方法二）f xex 2在定义域区间（0, +8）单调递减，x1 1f（1f（2）1V0，所以，f（x）有唯一零点 X。，且 X。是极大值点,2 e1代入得，f X02 X0X0【点睛】 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，构造法的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，属于难题所求切线方程为y ln2 1（2）（方法一）作函数g xInx（其他适宜函数如g x Inxx 2，即yIn267Xe67 ,X