二分法求函数零点教案

1、用二分法求方程的近似解、二分法的概念 对于在区间a, b上连续不断且·< 0的函数,通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函数的零点的近似值的步骤：（）确定区间a, b, 验证：·< 0，确定精确度（）求区间(a , b)的中点（）计算 若=0, 则就是函数的零点 若·<，则令b =（此时零点x0(a, )） 若·<，则令a =（此时零点x0(, b)）（）判断是否达到精确度即若 | a b | <,则得到零点的近似值为a（或b），否则重复（）（

2、）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：例1：下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）解：应选B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。例2、 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）。解：设，则求方程的一个近似解，即求函数的一个近似零点。，取区间作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间区间的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6，函数满足题设的一个近

3、似零点是2.6故方程满足题设的一个近似解是2.6例3、 二次函数的部分对应值如下表：3210123460466406则使函数值大于0的自变量的取值集合是_。解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是评析：开口方向是解题关键信息，零点是2，3，且开口向上，例4、已知函数的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量的取值范围。解：（1）由题意，设， 解得令，即，解得1，2，3 函数的其他零点是2，3（2）函数的三个零点将轴分成4个区间： ，作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量的取值范围是：例5、求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1)【解析】由于f(2)1&

4、lt;0， f(3)4>0，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：区间中点中点函数值(或近似值)(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.0625(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.达标练习：1下列函数零点不宜用二分法的是()Af(x)x38 Bf(x)lnx3 【答案】CCf(x)x22x2 Df(x)x24x12用二分法求方程f(x)0

5、在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间()A(1.25,1.5) B(1,1.25) C(1.5,2) D不能确定【解析】由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A.3若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)2， f(1.5)0.625，f(1.25)0.984f(1.375)0.260，f(1.437 5)0.16， f(1.406 25)0.0542，那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.1)为

6、_【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 51.406 25|0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是1.437 5,1.406 25之间的任意一个数【答案】1.437 54、方程xln x的根的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】方法一：令f(x)ln xx， 则f(1)<0，f(e)1>0，f(x)在(1，e)内有零点又f(x)在定义域(0，)上为增函数，f(x)在定义域内仅有1个零点方法二：作出yx与yln x的图象观察可知只有一个交点故选B.5、方程2x1x5的解所在的区

7、间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【解析】令f(x)2x1x5，则f(2)2251<0，f(3)22352>0，从而方程在区间(2,3)内有解故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2xx2的一个根所在区间为()A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)【解】设f(x)2x

8、x2，由表格观察出在x1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.所以f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2xx2的一个根位于区间(1.8,2.2)内故选C.7、函数f(x)ex的零点所在的区间是()A. B. C. D.【解析】f()2<0， f(1)e1>0， f()·f(1)<0， 故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计

9、算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0_(填区间)【解析】由f(2)·f(3)<0可知 【答案】(2,3)9、用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实数根时，取区间中间x02.5，那么下一个有根区间是_【解析】f(2)<0，f(2.5)>0， 下一个有根区间是 (2,2.5)三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)【解析】设f(x)2x33x3，经试算，f(0)3<0，f(1)2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0

10、.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因为|0.687 5

11、0.75|0.062 5<0.1，所以方程2x33x30的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.11、求方程ln xx30在(2,3)内的根(精确到0.1)【解析】令f(x)ln xx3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点用二分法逐步计算列表如下：区间中点中点函数值2,32.50.416 32,2.52.250.060 92,2.252.1250.121 22.125,2.252.187 50.029 72.187 5,2.25由于区间2.187 5,2.25的长度2.252.187 50.062 5<0.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根下为学生卷用二分法求方程的

12、近似解、二分法的概念对于在区间a, b上连续不断且·< 0的函数,通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函数的零点的近似值的步骤：（）确定区间a, b, 验证：·< 0，确定精确度（）求区间(a , b)的中点（）计算 若=0, 则就是函数的零点 若·<，则令b =（此时零点x0(a, )） 若·<，则令a =（此时零点x0(, b)）（）判断是否达到精确度即若 | a b | <,则得到零点的近似值为a（或b），否则重复（）（）3、用二分法求函

13、数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）例2、 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）。例3、 二次函数的部分对应值如下表：3210123460466406则使函数值大于0的自变量的取值集合是_。例4、已知函数的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量的取值范围。例5、求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1)达标练习：1下列函数零点不宜用二分法的是()A

14、f(x)x38 Bf(x)lnx3 Cf(x)x22x2 Df(x)x24x12用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间()A(1.25,1.5) B(1,1.25) C(1.5,2) D不能确定3若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)2， f(1.5)0.625，f(1.25)0.984f(1.375)0.260，f(1.437 5)0.16， f(1.406 25)0.0542，那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.1)为_4、方

15、程xln x的根的个数是()A0 B1 C2 D35、方程2x1x5的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2xx2的一个根所在区间为()A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)7、函数f(x)ex的零点所在的区间是()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分，共10分)