2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题、单选题2 2 *x|x a ,a N，若A B，则a的最小值为B B. 2 2【答案】【详解】故选: :B.B.【点睛】B B.1【答案】【详解】故选: :c.c.【点睛】1 1.已知集合A2, 1,0,1，B【解解出x2a2, ,分别代入选项中a的值进行验证 解：Qxa x a. .当 a a1 1 时, ,B 1,0,1,此时B不成立. .当a 2时, ,B2, 1,0,1,2，此时A B成立，符合题意. .本题考查了不等式的解法，考查了集合的关系 2 2 设i是虚数单位,2i，则a【解3 2i,可得5a

2、i2i3a2a i,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a的值. .解:Q-aia3 2i,5 ai2i3a2a i5 3a3 2a，解得:第2 2页共 2020 页当成1进行运算. .本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义. .对于易错点是把i2第3 3页共 2020 页故选：A A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题uuuuuur”亠=uuu一uuu ,，亠宀，4 4.已知向量AB3,2,AC5, 1，则向量AB与BC的夹角为()A A .45B B.60C C.90D D.120【答案】 C CuuuUJUuuuuuuuuu【解析】 求出BCACAB2, 3

3、，进而可求ABBC 3 2 230, ,即能求出向量夹角【详解】UJUJJT UJUuuuuuu解：由题意知，BCACAB2, 3. .则ABBC 3 2 23 0uuu ,uuu，则向量AB与BC的夹角为90. .故选: :C.C.【点睛】5.5.已知a B表示两个不同的平面，I I 为a内的一条直线，则“a B是3的()A A .充分不必要条件B B 必要不充分条件C C.充要条件D D.既不充分也不必要条件3 3 .已知函数f X2X,X 0,则ff乜=()Iog3X,x 03B B.1C C.log32D D.log32【解析】 根据分段函数解析式,先求得f-的值，再求得3【详解】依题

4、意f3|.3Iog3 331log3321,f f仝23f 的值. .3uuu ULUT所以AB BC本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示 求向量夹角时，通常代入公式a bab进行计算. .【答案】A A第4 4页共 2020 页【答案】A A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件 的定义进行判断.解：根据题意，由于a B表示两个不同的平面，I I 为a内的一条直线，由于“a 3,则根据面面平行的性质定理可知，则必然a中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立， “a 3是“3的充分不必要条件.故选 A A.【考点】必要条件、

5、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定.6.6.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：今有器中米，不知其数，前人取半， 中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升 （注：一斗为十升） 问，米几何？ ”下图是 解决该问题的程序框图， 执行该程序框图，若输出的 S=15S=15（单位：升）,则输入的 k k 的值 为（ ）【解析】 根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算.【详解】123由题意S15,S 60.23 4故选：B.B.【点睛】 本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键.A A . 4545【答案】B BB B. 6060C C. 7575D D . 100100【详解】第 4

6、 4 页共 2020 页7 7.要得到函数y、3COS2Xsin 2x的图像，只需把函数y sin 2x . 3cos2x的图像（ ）A A .向左平移个单位2B B .向左平移7个单位12C C.向右平移个单位D D .向右平移个单位12123【答案】A Ay 2sin 2X对比，从而可选出正确答案3【详解】解：故选 A A【点睛】混淆了已知函数和目标函数；二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数8 8.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统 学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：红楼梦、三国演义、水浒传及西游记，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同

7、的阅读计划共有（）A A . 120120 种B B. 240240 种C C . 480480 种D D . 600600 种【答案】B B【解析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得y 2sin 2x 以及3y 2Sin2X按四个选项分别对y 2Sin 2X3变形，整理后与、3cos2x sin2xCOS2Xsin 2x22sin 2X32sin 2Xy sin2x 3COS2X2丄sin2x2三COS2X22sin 2X3对于 A A :可得y 2sin 2X232sin 2X32sin 2X本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式 本题的易错点有两个，一个是【详解】第 4 4

8、 页共 2020 页【解析】 首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果第7 7页共 2020 页将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：A424种分配方法;本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题 . .9 9 .已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，a a 1 1 ,4csi nA 3cosC,3ABC的面积为一，则c()2A A .22B B. 4 4C C. 5 5D D .3、2【答案】D D【解析】由正弦定理可知4csinA 4asinC 3cosC，从而可求

9、出3413sin C ,cosC通过SABCabsinC可求出b 5，结合余弦定理即可求5522出c的值. .【详解】解：Q 4csi nA 3cosC，即4cs in A 3a cosC4sinAsinC 3sinAcosC，即4sinC 3cosC. .34，贝U sinC ,cosC -55故选：D.D.【点睛】的基本关系. .本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有:c；o3c；10种分组方法;由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共10 24 240种Q sin2Ccos2C 1SABCabs inC211bf32，解得b 5. .b22ab

10、cosC1 522 1 5418,c 3.25本题考查了正弦定理，考查了余弦定理, 考查了三角形的面积公式, 考查同角三角函数C的正弦值余弦值. .0，若f11,第8 8页共 2020 页1010 .定义在R上的奇函数f X满足f 3 x f x 3f 22，则fl f 2 f 3 L f 2020（）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D. 2 2【答案】C C【解析】首先判断出f x是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值【详解】由已知f x为奇函数，得f x f x，而f3xfx 30,所以fx3f x 3所以fxf x6,即f x的周期为6. .由于f 11,f 22,

11、f 00,所以f 3f3f 3f 30,f 4f2f 22,f 5f1f 11,f 6f00. .所以f 1f 2f 3f 4 f 5f 60,又20206 3364,所以f 1f 2f 3L f 2020f 1 f 2f 3f 41故选：C C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题2 21111.已知F1、F2分别为双曲线C:务 占1(a 0,b0）的左、右焦点，过F1a b的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OABF1,1 AF21 | BF2|，则C的离心率为（）A A . 2 2B B. -5C C.6D D. . 、7【答案】D D第9 9页共 2020 页【解

12、析】作出图象，取 ABAB 中点 E E,连接 EFEF2，设 F FiA A = x x,根据双曲线定义可得 x x= 2a2a,2第1010页共 2020 页再由勾股定理可得到 c c2= 7a7a2，进而得到 e e 的值【详解】解：取 ABAB 中点 E E，连接 EFEF2，则由已知可得 BFBFi丄 EFEF2, F F1A A = AEAE = EBEB , 设 F FiA A = x x,则由双曲线定义可得 AFAF2= 2a+x2a+x, BFBFi-BFBF2= 3x3x- 2a2a - x x= 2a2a,所以 x x= 2a2a,则 EFEF2= 2 23a a, 由勾

13、股定理可得（4a4a）2+ +（2j3a a）2=（ 2c2c）2所以 c c2= 7a7a2,则 e eC C. 7 7a【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有a,b,c中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率x x ax 0图像上不同的两点，若曲线yxlnx a,x 0在点A,B处的切线重合，则实数a的最小值是（）11A A 1B B.C C - -D D 1 122【答案】B Be2xx 0，结合导数求出最小值，即可选出正确答案1212 已知A,B是函数f x【解析】先根

14、据导数的几何意义写出f x在A, B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出e2x,， 令函数1x2第1111页共 2020 页【详解】2解：当x 0时，f x x x a，则f x 2x1；当x 0时，f x xln x a则f x In x1设Ax1,fx1, Bx2, fx2为函数图像上的两点，当为X20或0捲X2时，f % f x2，不符合题意，故 为0 X2.2则f x在A处的切线方程为y为花a 2%1 x为；故选: :B.B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、转化与化归等思想方法. .本题的难点是求出a和x的函数

15、关系式. .本题的易错点是计算二、填空题x 01313已知x,y满足约束条件x y 1，则z 3x 2y的最小值为 _ .2x y 2【答案】2 2【解析】 作出可行域，平移基准直线3x 2y 0到0,1处，求得 z z 的最小值. .【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x 2y 0到0,1处时，z z 取得最小X2则g则当x处的切线方程为y2x112X1，整理得ax2In x22X1e1In x21 x X2. .由两切线重合可知. .不妨设x22xe2xe ,gX2x1 2e，由g可得x1 .In21时，g x的最大值为g 1In12 2x2e2x在,0上单调递减，则分类与

16、整合、第1212页共 2020 页值为2. .第1313页共 2020 页【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题2 21414 .若椭圆C:41的一个焦点坐标为m m 1【答案】2,3求出长轴长【详解】0,1，则m21 m 1，即m2m 20,解得m 2或m 12 2 2 2由-41表示的是椭圆，则m 0,所以m 2，则椭圆方程为 乂 1m m 132所以a 3,2 a 2.3. .故答案为2、3【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义. .本题的易错点是忽略m 0，从而未对m的两个值进行取舍. .0,1，则C的长轴长为【解析】由焦点坐标得m

17、21 m1从而可求出m 2，继而得到椭圆的方程，即可解：因为一个焦点坐标为故答案为：2第1414页共 2020 页则X-IX2_ ；sin(捲X2)_1515 .已知函数Xsin 2x-，若方程fX一的解为X1, X2 (0X1X25),第1515页共 2020 页【答案】【解析】求出f xsin(2x )在0,上的对称轴，依据对称性可得Xi沁的值；sin(Nsin(Nx x2) )2故答案为：-35【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系题的易错点在于没有正确判断2x1的取值范围，导致求出cos(2%)6 6f x Asin x的对称轴时，常用整体代入

18、法，即令xk ,k Z进2行求解. .1616 在四棱锥P ABCD中，PAB是边长为2-、3的正三角形，ABCD为矩形，AD 2,PC PD . 22. .若四棱锥P ABCD的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为_ 丄2 2由x x xi可得sin(x13 3X2)cos(2x1)，依据sin 2为6I可求出cos(2x1-)的值 【详解】解：令2x6k,k2Z,解得x因为0 xjX2，所以為，关于X由 x x3 3x, 则sin (% X2)si n(2%由0 x1X2可知，2x16k2，k Z对称 则x1x23)sin(2xi -2)62，则cos(2xi-)-丄，又因为16 122

19、1 si n2(2xj-)23cos(2x1)64，即 4 在求第1616页共 2020 页【答案】28第1717页共 2020 页的直故答案为：28. .【解析】做AD中点F,BC的中点G,连接PF,PG,FG，由已知条件可求出PF 3,PG. 1919 ,运用余弦定理可求PFG 1200,从而在平面PFG中建立坐标系，则P, F,G以及PAD的外接圆圆心为Oi和长方形ABCD的外接圆圆心为0?在该平面坐标系的坐标可求，通过球心0满足00iPF ,002FG，即可求出0的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积【详解】解：如图做AD中点F，BC的中点G，连接PF, PG,FG，由题意知P

20、F AD,PG BC，则PF 2、,3 sin603,PG . 22 3、19设PAD的外接圆圆心为01，则01在直线PF上且P01|PF设长方形ABCD的外接圆圆心为02，则02在FG上且F02G02. .设外接球的球心为在 PFGPFG 中，由余弦定理可知cos PFG2192 3 2PFG 120. .在平面PFG中，以F为坐标原点，以FG所在直线为x轴，以过F点垂直于线为y轴，如图建立坐标系，由题意知,O在平面PFG中且OO1PF,OO2FG设0 1,y， 则Oi13m3一 -P-JJ厂主，因为001PF，所以3“3232解得y 2、3. .则所以球的表面积为P0282.28228.

21、.第1818页共 2020 页本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积 关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求 出体对角线即为直径， 但这种方法适用性较差； 二是通过球的球心与各面外接圆圆心的 连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解 三、解答题1717 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn是务与丄的等差中项. .an即可求出n的取值范围，进而求出最小值【详解】（1 1） 证明:S；为等差数列，并求Sn；(2(2)设bn1Sn 1Sn，数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn5的最小正

22、整数n的【答案】 （1 1）见解析，sn.n(2)最小正整数n的值为 35.35.【解析】 （1 1 ）由等差中项可知2Snan1，当n 2时，得2SnanSnSn 1Sn1_Sn1，2 2整理后可得SnSn 11，从而证明sn为等差数列，继而可求Sn. .(2(2) b bn.百n -Fln，则可求出Tn1，令、一n 1第1919页共 2020 页解析：（1 1 ）由题意可得2Snan，当n 1时，2S1ana11, - af1,aia11,当n 2时，2SnSnSn 1一1，整理可得S2SnSn 1Sn1第2020页共 2020 页s；是首项为 1 1，公差为 1 1 的等差数列，-s；S

23、2n 1 n,snn. .n 35,最小正整数n的值为 35.35.【点睛】列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数 1818如图，三棱柱ABC A3G中，ABC与ABC均为等腰直角三角形,BACBA|C 90，侧面BAA耳是菱形.(2)求二面角A BC1C的余弦值. .【答案】(1 1)见解析(2 2)2211【解析】(1 1 )取BC中点0,连接A0,A0，通过证明AOA AOB，得AO AO, 结合A10 BC可证线面垂直，继而可证面面垂直(2 2)设BC 2，建立空间直角坐标系，求出平面ABC1和平面BCC1的法向量，继而 可求二面角的余弦值. .【详解】 解析：(1

24、1)取BC中点0,连接AO,A0,(2(2)由(1 1)可得bn”-=Jn1Jn,n 1、nTn213,2L本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了an与Sn的关系，考查了裂项相消求和 当已知有an与Sn的递推关系时，常代入ansnSi 1进行整(1)证明：平面ABC平面ABC；第2121页共 2020 页由已知可得AOBC,AOBC,AOAOIBC2OB,侧面BAA是菱形， .ABAA,AOA1AOBAOBAOA190即AO AO,- AOI BCO, / AO平面ABC, 平面ABC平面A1BC(2 2)设BC2，贝U AO AO BOOC1,建立如图所示空间直角坐标系UJIT u

25、uurOxyz，则A 1,0,0,A10,0,1,B 0,1,0C 0, 1,0,AACC11,0,1G( 1, 1,1),uiurBC11,uur2,1,BA1,1,0，设平面ABC1的法向量为urmx, y,z,则x 2yz 0，令xIT1得m 1,1,3. .x y 0ru r42J22冋理可求得平面BCC1的法向量n 1,0,1，二cos m, n. .V11 7211【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解 一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解 特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两

26、个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值 1919 某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100100 人的体重数据,得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率第2222页共 2020 页（）估计这100人体重数据的平均值和样本方差2;（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ）（2 2）从全校学生中随机抽取 3 3 名学生，记X为体重在55,65的人数，求X的分布列 和数学期望；（3 3） 由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N（ ,2）. .若P（ 2 Y p 2 ） 0.9544，则认为该校学生的体重是正常的. .试判断该校学生的体重是

27、否正常？并说明理由. .【答案】（1 1）6060； 2525（ 2 2）见解析，2.12.1（3 3）可以认为该校学生的体重是正常的. .见解析【解析】（1 1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差2；（2 2）由题意知X服从二项分布B 3, 0.7，分别求出P X 0，P X 1，P X 2，P X 3，进而可求出分布列以及数学期望；(3 3)由第一 问可知Y服从正态分布N60,25，继而可求出P 50 Y70的值,从而可判断. .【详解】解：(1)u47.572.50.004 552.567.50.026 557.5 62.50.07 56026047.52 272.5 600.02

28、6052.5 267.560 20.1360 57.52(62.5 60)2 0.35 25（2 2）由已知可得从全校学生中随机抽取1 1 人，体重在55,65）的概率为 0.7.0.7.随机拍取 3 3 人，相当于 3 3 次独立重复实验，随机交量X服从二项分布B 3, 0.7，第2323页共 2020 页00312则P X 0C30.70.30.027，P X 1C30.7 0.30.189，P X 2 C；0.720.3 0.441,P X 3C；0.730.30.343，所以X的分布列为：X0 01 12 23 3P0.0270.0270.1890.1890.4410.4410.343

29、0.343数学期望EX 3 0.7 2.1(3 3)由题意知Y服从正态分布N 60,25,则P 2 Y 2 P 50 Y 700.96 0.9544,所以可以认为该校学生的体重是正常的. .【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布 注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同 2020 .在平面直角坐标系xOy中，M为直线y x 2上动点，过点作M抛物线2C：x y的两条切线MA,MB，切点分别为A,B,N为AB的中点 (1) 证明：MN x轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明

30、理由. .1【答案】(1 1)见解析(2 2)直线AB过定点(-,2). .2【解析】(1 1)设出 代B两点的坐标，利用导数求得切线MA的方程，设出M点坐标并代入切线MA的方程，同理将M点坐标代入切线MB的方程，利用韦达定理求得线段AB中点N的横坐标，由此判断出MN x轴 (2 2)求得N点的纵坐标yN，由此求得N点坐标，求得直线AB的斜率，由此求得直1线AB的方程，化简后可得直线AB过定点(丄，2). .2【详解】2 2 第2424页共 2020 页()设切点A为必,B x?,x2,y 2x,2二切线MA的斜率为2x1，切线MA:y捲2 x x1,设M t,t 2，则有t 2 x：2 t

31、x1，化简得x12tXjt 2 0,2同理可的x22tx2t 20. .-X1,X2是方程x22tx t 20的两根，二x,X22t,X1X2t 2,第2525页共 2020 页XN1X22tXM,二MNx轴 (2 2) /12 2122 2y2为x22X1X2x1x22t t 2, N t,2t t 222kABX1X2Xx22t,直线AB:y 2t2t 2 2t x t，即X1X21y 2 2t（x 2），1二直线AB过定点（，2）. .2【点睛】学思想方法，属于中档题 2121 .已知函数f x aln x丄x（1）讨论f x的零点个数;（2）证明：当0 a此时f x有 1 1 个零点;

32、当a 0时，f x无零点;本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定考查化归与转化的数【答案】（1 1）见解析（2 2）见解析【解析】（1 1）求出f ax 1，分别以当 a a 0 0,x0时, 结合函数的单调性和最值判断零点的个数. .（2 2）令h xaxl n x1，结合导数求出h x h() e;同理可求出g1x - xe满足g x g12， 从而可得axln x11xe2x，进而证明f x【详解析：（1 1）ax 12-xx 0,当 a a 0 0 时,x单调递减，fJea1 ea0，11 11当a 0时，由f x 0得x(0,)，由f x 0得 x x (_,(_,) )

33、 ,.,.f x在(0,)aa aa单调递减，在（丄，）单调递增， f x在x -处取得最小值f（-）aaae,此时f x有 1 1 个零点;1 0,求导易得f （丄）0,此时f x在（4 ,丄）,aa a1（,1）上各有 1 1 个零点 a综上可得0 a e时，f x没有零点，a a 0 0 或a e时，f x有 1 1 个零点，a e时,f x有 2 2 个零点. .(2 2) 令h xaxl n x 1，则h x1 11a 1 ln x，当 x x 时，h x 0；当0 x -e ee时，h x0, hxh）a1 1. .ee2令g x1xe1 x，则g11xex1x,22【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题， 考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想 本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明上各点纵坐标伸长到原来的 2 2 倍（横坐标不变）得到曲线C1,以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4 cos 3 sin 25 0. .（1 1）写出 C C1的极坐标方程