高中数学题型讲义直线与圆

1、直 线 与 圆 题 型 库（1）知识精髓n 直线方程² 二个概念（斜率、倾斜角）² 三个距离（点点、点线、平行线间）² 四组关系（相交、平行、垂直、对称）² 五种形式（点斜（标准）、斜截、两点、截距、一般）n 圆方程² 两种形式（标准、一般）² 三种关系（点圆、线圆、圆圆）重点难点：直线间关系 难点：对称关系；直线旋转一定角度后的斜率计算，如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。直线与圆间关系圆与圆间关系温馨提示：时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论主干题型思维路径l 倾斜角范围讨论T1*已知，求直线的倾斜角范围？T2（SDM10）* ，

2、求其倾斜角范围？T1:,T2：，因为如图：直线越靠近y轴，斜率绝对值越大，反之亦然本题中，其绝对值，直线越靠近x轴，所以倾斜角是温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范围反演，有两种情形：两边和中间，即：；斜率逆时针增大：0à,跨过y轴后，à0 正切函数在上单增斜率绝对值越大，直线越靠近y轴，绝对值越小，直线越靠近x轴。l 斜率范围讨论T1*直线过点且与以为端点的线段相交，求直线的斜率范围？T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情形，若存在，则分两类：>0和<0,若不存在，则要么是在.>0类范围，要么在<0类范围。通过图形可知本题动直线存

3、在“垂直状态”的情况，因此分两类讨论。l 求直线方程（求斜率和过点，点斜式是根本）T1*直线经点，且两坐标上的截距相等，求直线方程？T2*过点的直线交两轴于A,B两点，求（1）当面积最小时直线方程？（2）最小时直线方程？T1：这种类型的题高考不会考，属于基本功题型；但必须熟练掌握，为高考题打下基础；T2：这类题属于条件约束下的直线方程问题，通解思路就是根据条件选择合适直线方程形式，写出含参的直线方程形式，根据约束条件建立参数方程，进而求出参数即可。这也是所有这类题型的通用解法。直 线 与 圆 题 型 库（2）主干题型思维路径l 两条直线的平行与垂直T1*（AH10）过点且与直线平行（垂直）的直

4、线方程是？T2*已知两条直线，试求两直线平行、垂直时的值。快捷提示：只要涉及到直线问题，就得单拎出斜率不存在的情况进行分析。T1、略。T2：先分析特殊情形：轴：，此时：再分析一般情形：然后再以上的两种情况下分别从平行和垂直约束下求参数值l 两直线交点问题T1*直线过两直线和，且垂直于直线的直线方程？T2*（BJM10）直线与直线的交点位于第一象限，则范围？T1、求出交点和斜率，点斜式写出即可。T2：可通过图象分析求得。l 距离问题T1*求过点（-2，2）且与点（-1,1）的距离为1的直线方程？T2*直线及点A（4,1），B（0,4），C（2,0）求（1）在直线上求一点P，使得AP+CP最小；（

5、2）在直线上求一点Q，使得AQ-BQ绝对值最大。T1：分特殊情况和一般情况进行分类分析；T2：图形如图： 同侧 两侧l 中点问题T1*过点P（3，0）作直线使它被两条直线所截得线段恰好被P点平分，求直线方程？T1：中点问题一般是设中点线段坐标，然后中点公式表示中点，如本题：可设线段的一个端点是，另一个端点，则可列出四个方程（斜率和中点：2+2），然后只要求出一个端点，则就能把中点线段方程写出，直 线 与 圆 题 型 库（3）主干题型思维路径l 点对称问题T*直线：关于点（2,3）对称的直线方程？T：思路1：轨迹法：所求直线上任一点关于对称点（2,3）的对称点（中点关系）在已知直线上，因此：思路

6、2：点对称直线平行且对称点到两直线距离相等。利用这个几何关系列方程也可。l 轴对称问题T*直线，直线，直线与直线关于直线对称，求直线方程？T：思路1：轨迹法：直线上任一点关于直线的对称点一定在已知直线上，其中轴对称点关系：连线垂直对称轴+中点在对称轴上思路2：具体点：在已知直线上取一具体点（0,4），然后求出其关于对称对称的点（），然后与对称轴和已知直线交点用两点式写出直线方程。总而言之就是等腰三角形关系主干题型思维路径l 求圆方程T1*圆半径为，圆心在直线上，圆被直线截得弦长为，求圆标准方程？T2*圆心在轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线相切，则圆方程？T3*（KB10L）过点（1,4

7、）的圆C与直线相切于点B（2,1）则圆C的方程为？圆就抓圆心。因此本类题关键是要把圆心的坐标求出，见弦就垂径！，垂径后解直角三角形！解略。l 与圆有关的最值问题T1*已知方程，求（1）范围；（2）求的范围；（3）求的范围？T2*（CQ11）在圆内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC、BD，则四边形ABCD的面积为？T1：已知方程是一条几何曲线，所求表达也是一种几何度量，综合两者求出其范围。所求表达一般有三种形式结构：，直线平移中的截距范围（如：线性规划）；：以点为圆心的圆半径范围；：曲线上点与点连线的斜率范围。T2：最长弦：直径；最短弦：中点弦。直 线 与 圆 题 型 库（4）主干题型

8、思维路径l 与圆有关的轨迹问题T1（GD11*设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，（1）求圆C的圆心轨迹方程（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标。T1：（1）求轨迹方程首先把轨迹点的坐标设为，然后根据题目约束条件求出方程即可。题目约束关系为：或，然后根据题目条件求方程关系。（2）由（1）可知轨迹L是一组焦点在x轴上的双曲线，已知点M、F分布于一支双曲线的两侧，MF连线与双曲线的交点即为所求。 （2，l 圆的一般方程应用T（HB10M）*若方程表示圆，求参数取值范围，并求出其半径最小的圆方程.T:圆的一般方程中参数的范围核心约束就是“半径表达”>0且二次项系数因此首先，

9、然表达半径，转化为二次反比例复合函数的值域问题l 综合求圆方程T（HN10M）*根据下列条件求圆方程：（1） 过点和坐标原点，且圆心在直线上；（2） 圆心在直线相切于点P（3，-2）（3） 过三点T：（1）标准方程（2）思维1：标准方程，思维2：切线关系。（3）思维1：一般方程；思维2：两条线段中垂线交点为圆心直 线 与 圆 题 型 库（5）直线与圆关系知识精髓² 两个问题：切线和弦长切线方程：圆方程，过点的切线方程为： 特殊情形：，过点的切线方程为： 以上公式推理逻辑：几何法：圆心切点连线垂直切线，切点在切线和圆上；代数法：斜截式直线斜率满足相交方程关系。当然也可以利用导数工具。注

10、意：不要忘记斜率不存直线的讨论！弦长问题：圆截直线弦：几何法和代数法。几何法（垂径关系下的勾股定理）在圆中首选，代数法通用于所有曲线弦问题。² 三种直线与圆的关系：相交、相切、相离（代数法：；几何法：圆心到直线的距离与半径关系）² 四种圆与圆的关系：相交、内切、外切、相离（外离、内含）几何法：圆心和（差）与半径和（差）关系）² 圆系方程：同心圆系：或 过两圆交点圆系：，（，不包括圆2）两圆公共弦直线方程：温馨提示：遇到圆的问题时，多用几何关系，辅以代数处理。主干题型思维路径l 直线与圆的关系T1（SH11）*直线与圆的位置关系是什么？T2（SDM11）*将圆沿x轴

11、正方向平移1个单位后得圆C，若过点（3,0）的直线和圆C相切，则直线的斜率=？T3（LN09L）*圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为？T4(JX11L)*若曲线与曲线有四个不同交点，则参数取值范围？T5（SX12）*圆C：，过点（3,0），则的关系为？(先判断定点与圆C的关系：内部，因此相交)T1：遇到参数直线形式，一定要找到变中的不变，要不过定点（绕定点转动），要不斜率不变（倾斜一定平移），本题直线过定点，然后再考察定点与圆的关系，代入计算知：在圆内，因此直线与圆相交。当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比较；或者计算相交二次方程的T2：几何法：画出切线直角三角形，并根据直

12、角三角形三边长计算切线斜率。代数法：圆心（1,0）到直线的距离=半径，求出。T3：画图从几何关系入手分析。T4：曲线是由直线和【过定点（-1,0）】组成，画图后可知，两条临界直线是斜率为，旋转过程中不能与y=0重合（四个交点）。直 线 与 圆 题 型 库（6）主干题型思维路径l 弦长与中点弦问题T1*圆内一点，过点P的直线的倾斜角为，直线交圆于A、B两点，（1）当时，AB的长为？（2）当弦AB被点P平分时，求直线方程。T2（JX10）*直线与圆相交于M、N两点，若，则取值范围？（过圆外一定点的定值弦长问题）T3*直线上一点向圆引切线，则切线长最小为？T4（HB11M）*过点P（3,4）作圆的两

13、条切线，切点为A、B，则线段AB长为？T5（JS12L）*圆C方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则的最大值是？T1：（1）垂径直角关系求之 （2）思维1：设出A、B两点坐标，列出在圆上的方程，两式相减求出斜率。思维2：挖掘几何关系：圆心与弦中点P连线后垂直弦，中点又在弦上。直线方程可求。T2：几何法：如图：过圆外一定点固定弦长定点P与圆心连线斜率，利用垂径定理可算出上下对称角的正切值上切线的斜率下切线的斜率 倾斜角的和差关系（正切和差公式）代数法：表达出，然后满足T3：遇到切线连圆心和切点，然后解切心直角三角形：动点P，圆心M，切点Q，则,因此切线长由动点与圆心连线长决定。T4：AB的一半是切心直角三角形斜边上的高，切心直角三角形三边都可算出。T5：此题中的逻辑变化有两方面：直线旋转+每条直线上不同的圆心。分析多方向变化情形时，要先固定其余变化，分析其余不变的情形下单向变化影响。如此题：先固定直线方向（斜率固定），然后圆