高考数学第一轮复习立体几何专题题库

1、311. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即为所求.OH·MROR·MC，OH.解法二：考察三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体ABCDA1B1C1D1

2、的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1E·OB1O1B1·OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面AB1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转

3、化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aA1,bB1，1、2分别是a、b与所成的角.如图，求证：12.证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1BB1，连结AB和A1B1.AA1BB1四边形AA1B1B是平行四边形.ABA1B1又A1B1 AB. 设AA2于A2，BB2于B2，则AA2BB2在RtAA1A2与中 AA2BB2，AA1BB1RtAA1A2RtBB1B2AA1A2BB1B2即 12.315.经过一个角的顶点引这个角

4、所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：ABC,P,PBAPBC,PQ，Q，如图.求证：QBAQBC证：PRAB于R，PSBC于S.则：PRBPSB90°.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSBPRPS点Q是点P在平面上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ316. 如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四

5、边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.317. 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )A.B.C. D.解 连D1F1，则D1F1A1C1，又BCCA，所以BD1在平面ACC1A1内的射影为CF1，设AC2a，则BCCC12a.取BC的中点E，连EF1，则EFBD1.cos1cosEF1C，cos2cosAF1C， coscos1·cos2·，应选A.318. (1)如果三棱

6、锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心(2)设P是ABC所在平面外一点，若PA，PB，PC与平面所成的角都相等，那么P在平面内的射影是ABC的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ABC的三边的距离相等，因而O是ABC的内心，因此选D.(2)如图所示，作PO平面于O，连OA、OB、OC，那么PAO、PBO、PCO分别是PA、PB、PC与平面所成的角，且已知它们都相等.RtPAORtPBORtPCO.OAOBOC应选B.说明 三角形

7、的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.319. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.解析：注意到直线BD平面EFG，根据直线和平面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离.解 连结AC、BD，设交于O，E，F分别是AB、AD的中点.EFBDBD平面EFG，设EFACM.则M为OA的中点.又AB4 AC4，MOAC,MCAC3GC平面ABCDGCCA，GCEF又EFAC，GCACC.EF平面GCM.过O作OHGM于H，则OHEF.又OHGM故OH平面EFG.在RtGCM中，GM.又OHGM.sinGMCsinHMOOH·B点到平面GEF的距离为说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320. 已知两条异面直线a,b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1Em，AFn.求证：EF解 过A作aa.AA1a, A1AaAA1b,abAA1A垂直a、b所确定的平面.aa a、a能确定平面，在内作EHA1A，交a于H.aa，A1AME为平行四边形