高考卷;导数与定积分共题

1、精品题库试题用户：苏冠文生成时间：2013.04.29 18:56:101.(2012辽宁,21,12分)设f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切. (1)求a,b的值;(2)证明:当0<x<2时, f(x)<. 2.(2012上海,13,4分)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B、C(1,0). 函数y=xf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为.3.(2012江西,11,5分)计算定积分(x2+sin x)dx=. 4.(2012山东,15,4分)设a>0. 若曲

2、线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=. 5.(2012山东,15,4分)设a>0. 若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=. 6. (2012辽宁,15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为. 7.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为. 8.(2007湖北, 20, 13分) 已知定义在正实数集上的函数f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 设两曲线y=f(x)

3、 , y=g(x) 有公共点, 且在该点处的切线相同. () 用a表示b, 并求b的最大值;() 求证:f(x) g(x) (x>0) . 9.(2007天津, 20, 12分) 已知函数f(x) =(xR) , 其中aR. () 当a=1时, 求曲线y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程;() 当a0时, 求函数f(x) 的单调区间与极值. 10. (2007全国, 22, 12分) 已知函数f(x) =x3-x. () 求曲线y=f(x) 在点M(t, f(t) ) 处的切线方程;() 设a>0, 如果过点(a, b) 时作曲线y=f(x) 的三条切线, 证明:-

4、a<b<f(a) . 11. (2008宁夏、海南, 21, 12分) 设函数f(x) =ax+(a, bZ) , 曲线y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为y=3. () 求f(x) 的解析式;() 证明:函数y=f(x) 的图象是一个中心对称图形, 并求其对称中心;() 证明:曲线y=f(x) 上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值, 并求出此定值. 12. (2008天津, 20, 12分) 已知函数f(x) =x+b(x0) , 其中a, bR. () 若曲线y=f(x) 在点P(2, f(2) ) 处的切线方程为y=3x+1, 求函数

5、f(x) 的解析式;() 讨论函数f(x) 的单调性;() 若对于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 求b的取值范围. 13. (2009重庆, 20, 13分) 设函数f(x) =ax2+bx+c(a0) , 曲线y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 且在点(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于y轴. () 用a分别表示b和c;() 当bc取得最小值时, 求函数g(x) =-f(x) e-x的单调区间. 14. (2009湖北, 21, 14分) 在R上定义运算:pq=-(p-c) (q-b) +4bc(b、c为实常数) . 记f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-

6、2b, xR. 令f(x) =f1(x) f2(x) . () 如果函数f(x) 在x=1处有极值-, 试确定b、c的值;() 求曲线y=f(x) 上斜率为c的切线与该曲线的公共点;() 记g(x) =|f '(x) |(-1x1) 的最大值为M. 若Mk对任意的b、c恒成立, 试求k的最大值. 15.(2009北京, 18, 13分) 设函数f(x) =xekx(k0) . () 求曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程;() 求函数f(x) 的单调区间;() 若函数f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增, 求k的取值范围. 16.(2009重庆, 18, 13

7、分) 设函数f(x) =ax2+bx+k(k>0) 在x=0处取得极值, 且曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线垂直于直线x+2y+1=0. () 求a, b的值;() 若函数g(x) =, 讨论g(x) 的单调性. 17. (2009天津, 20, 12分) 已知函数f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ·ex(xR) , 其中aR. () 当a=0时, 求曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率;() 当a时, 求函数f(x) 的单调区间与极值. 18.(2010福建, 20, 14分) () 已知函数f(x) =x3-x, 其图象记为

8、曲线C. (i) 求函数f(x) 的单调区间;(ii) 证明:若对于任意非零实数x1, 曲线C与其在点P1(x1, f(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, f(x2) ) , 曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, f(x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则为定值;() 对于一般的三次函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) , 请给出类似于() (ii) 的正确命题, 并予以证明. 19.(2010陕西, 21, 14分) 已知函数f(x) =, g(x) =aln x, aR. () 若曲线y=f(x) 与曲

9、线y=g(x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求a的值和该切线方程;() 设函数h(x) =f(x) -g(x) , 当h(x) 存在最小值时, 求其最小值(a) 的解析式;() 对() 中的(a) 和任意的a>0, b>0, 证明:''. 20.(2010重庆, 18, 13分) 已知函数f(x) =+ln(x+1) , 其中实数a-1. () 若a=2, 求曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程;() 若f(x) 在x=1处取得极值, 试讨论f(x) 的单调性. 21.(2008山东, 14, 4分) 设函数f(x) =ax2+c(a0)

10、, 若f(x) dx=f(x0) , 0x01, 则x0的值为. 22.(2008江苏, 8, 5分) 设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0) 的一条切线, 则实数b的值为. 23.(2008全国, 14, 5分) 设曲线y=eax在点(0, 1) 处的切线与直线x+2y+1=0垂直, 则a=. 24.(2008北京, 12, 5分) 如图, 函数f(x) 的图象是折线段ABC, 其中A, B, C的坐标分别为(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 则ff(0) =;=(用数字作答) . 25.(2009陕西, 16, 4分) 设曲线y=xn+1(nN*) 在点(1,

11、 1) 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn, 令an=lg xn, 则a1+a2+a99的值为. 26.(2009湖北, 14, 5分) 已知函数f(x) =f 'cos x+sin x, 则f=. 27.(2009北京, 11, 5分) 设f(x) 是偶函数. 若曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为1, 则该曲线在点(-1, f(-1) ) 处的切线的斜率为. 28.(2009福建, 14, 4分) 若曲线f(x) =ax3+ln x存在垂直于y轴的切线, 则实数a的取值范围是. 29.(2009江苏, 9, 5分) 在平面直角坐标系xOy中, 点P在曲线C:

12、y=x3-10x+3上, 且在第二象限内, 已知曲线C在点P处的切线的斜率为2, 则点P的坐标为. 30.(2010课标全国, 13, 5分) 设y=f(x) 为区间0, 1上的连续函数, 且恒有0f(x) 1, 可以用随机模拟方法近似计算积分f(x) dx. 先产生两组(每组N个) 区间0, 1上的均匀随机数x1, x2, , xN和y1, y2, , yN, 由此得到N个点(xi, yi) (i=1, 2, , N) . 再数出其中满足yif(xi) (i=1, 2, , N) 的点数N1, 那么由随机模拟方法可得积分f(x) dx的近似值为. 31.(2010陕西, 13, 5分) 从如

13、图所示的长方形区域内任取一个点M(x, y) , 则点M取自阴影部分的概率为. 32.(2011陕西, 11, 5分) 设f(x) =若f(f(1) ) =1, 则a=. 33.(2007宁夏, 10, 5分) 曲线y=在点(4, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() A. e2B. 4e2C. 2e2D. e234.(2007江西, 11, 5分) 设函数f(x) 是R上以5为周期的可导偶函数, 则曲线y=f(x) 在x=5处的切线的斜率为() A. -B. 0C. D. 535.(2007全国, 8, 5分) 已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为, 则切点的横坐标为()A.

14、 3B. 2C. 1D. 36.(2008宁夏、海南, 10, 5分) 由直线x=, x=2, 曲线y=及x轴所围图形的面积为() A. B. C. ln 2D. 2ln 237.(2008四川, 10, 5分) 设f(x) =sin(x+) , 其中>0, 则f(x) 是偶函数的充要条件是() A. f(0) =1B. f(0) =0C. f '(0) =1D. f '(0) =038.(2008全国, 7, 5分) 设曲线y=在点(3, 2) 处的切线与直线ax+y+1=0垂直, 则a=() A. 2B. C. -D. -239.(2008辽宁, 6, 5分) 设P为

15、曲线C:y=x2+2x+3上的点, 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为, 则点P横坐标的取值范围为() A. B. -1, 0C. 0, 1D. 40.(2009福建, 4, 5分) A. B. 2C. -2D. +241.(2009安徽, 9, 5分) 已知函数f(x) 在R上满足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 则曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程是() A. y=2x-1B. y=xC. y=3x-2D. y=-2x+342.(2009江西, 5, 5分) 设函数f(x) =g(x) +x2, 曲线y=g(x) 在点(1, g(1) ) 处的切线方

16、程为y=2x+1, 则曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处切线的斜率为() A. 4B. -C. 2D. -43.(2009全国, 9, 5分) 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a) 相切, 则a的值为() A. 1B. 2C. -1D. -244.(2009辽宁, 7, 5分) 曲线y=在点(1, -1) 处的切线方程为() A. y=x-2B. y=-3x+2C. y=2x-3D. y=-2x+145.(2009全国, 4, 5分) 曲线y=在点(1, 1) 处的切线方程为() A. x-y-2=0B. x+y-2=0C. x+4y-5=0D. x-4y-5=046.(20

17、10山东, 7, 5分) 由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D. 47.(2010湖南, 5, 5分) dx等于() A. -2ln 2B. 2ln 2C. -ln 2D. ln 248.(2010辽宁, 10, 5分) 已知点P在曲线y=上, 为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则的取值范围是() A. B. C. D. 49.(2010全国, 10, 5分) 若曲线y=在点(a, ) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18, 则a=() A. 64B. 32C. 16D. 850.(2010课标全国, 3, 5分) 曲线y=在点(-1, -1) 处的切线

18、方程为()A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-251.(2011福建, 5, 5分) (ex+2x) dx等于() A. 1B. e-1C. eD. e+152.(2011湖南, 6, 5分) 由直线x=-, x=, y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为() A. B. 1C. D. 53.(2011课标, 9, 5分) 由曲线y=, 直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A. B. 4C. D. 6答案1.(1)由y=f(x)过(0,0)点,得b=-1. 由y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y'x=0=x=0=+a,得

19、a=0. (3分)(2)证明:证法一:由均值不等式,当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1. 记h(x)=f(x)-,则h'(x)=+-=-<-=. 令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0<x<2时,g'(x)=3(x+6)2-216<0. 因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0. (10分)因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,得h(x)<0. 于是当0<x<2时, f(x)<. (12分)证法二:由(1)

20、知f(x)=ln(x+1)+-1. 由均值不等式,当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1. 令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x. 由得,当x>0时, f(x)<x. 记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0<x<2时,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9<x+(x+6)-9=3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)<3x(x+1)+(x+6)3+-18(x+1)=(7x-18)<0. (1

21、0分)因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<. (12分)2.3.4.5.6.-4 7.2x-y+1=08.() 设y=f(x) 与y=g(x) (x>0) 在公共点(x0, y0) 处的切线相同. f '(x) =x+2a, g'(x) =, 由题意f(x0) =g(x0) , f '(x0) =g'(x0) . 即由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) . 则有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a. 令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 则h'(

22、t) =2t(1-3ln t) . 于是当t(1-3ln t) >0, 即0<t<时, h'(t) >0;当t(1-3ln t) <0, 即t>时, h'(t) <0. 故h(t) 在(0, -) 为增函数, 在(, +) 为减函数. 于是h(t) 在(0, +) 的最大值为h() =. () 证明:设F(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) , 则F'(x) =x+2a-=(x>0) . 故F(x) 在(0, a) 为减函数, 在(a, +) 为增函数, 于是函数F(x) 在(

23、0, +) 上的最小值是F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故当x>0时, 有f(x) -g(x) 0, 即当x>0时, f(x) g(x) . 9.() 当a=1时, f(x) =, f(2) =, 又f '(x) =, f '(2) =-. 所以, 曲线y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0. () f '(x) =. =. 由于a0, 以下分两种情况讨论. (1) 当a>0时, 令f '(x) =0, 得到x1=-, x2=a. 当x变化时, f &#

24、39;(x) , f(x) 的变化情况如下表:x-a(a, +) f '(x) -0+0-f(x) 极小值极大值所以f(x) 在区间, (a, +) 内为减函数, 在区间内为增函数. 函数f(x) 在x1=-处取得极小值f, 且f=-a2. 函数f(x) 在x2=a处取得极大值f(a) , 且f(a) =1. (2) 当a<0时, 令f '(x) =0, 得到x1=a, x2=-. 当x变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:x(-, a) a-f '(x) +0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x) 在区间(-, a) , 内为增函数,

25、 在区间内为减函数. 函数f(x) 在x1=a处取得极大值f(a) , 且f(a) =1. 函数f(x) 在x2=-处取得极小值f, 且f=-a2. 10.() 求函数f(x) 的导数: f '(x) =3x2-1. 曲线y=f(x) , 在点M(t, f(t) ) 处的切线方程为:y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3. () 证明:如果有一条切线过点(a, b) , 则存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若过点(a, b) 可作曲线y=f(x) 的三条切线, 则方程2t3-3at2+a+b=0. 有三个相异的实数根.

26、 记g(t) =2t3-3at2+a+b, 则g'(t) =6t2-6at=6t(t-a) 当t变化时, g(t) , g'(t) 变化情况如下表:t(-, 0) 0(0, a) a(a, +) g'(t) +0-0+g(t) 极大值a+b极小值b-f(a) 由g(t) 的单调性, 当极大值a+b<0或极小值b-f(a) >0时, 方程g(t) =0最多有一个实数根;当a+b=0时, 解方程g(t) =0得t=0, t=, 即方程g(t) =0只有两个相异的实数根;当b-f(a) =0时, 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0,

27、 只有两个相异的实数根. 综上, 如果过(a, b) 可作曲线y=f(x) 三条切线, 即g(t) =0有三个相异的实数根, 则即-a<b<f(a) . 11.() f '(x) =a-, 于是解得或因a, bZ, 故f(x) =x+. () 证明:已知函数y1=x, y2=都是奇函数, 所以函数g(x) =x+也是奇函数, 其图象是以原点为中心的中心对称图形. 而f(x) =x-1+1. 可知, 函数g(x) 的图象按向量a=(1, 1) 平移, 即得到函数f(x) 的图象, 故函数f(x) 的图象是以点(1, 1) 为中心的中心对称图形. () 证明:在曲线上任取一点.

28、 由f '(x0) =1-知, 过此点的切线方程为y-=(x-x0) . 令x=1得y=, 切线与直线x=1交点为. 令y=x得y=2x0-1, 切线与直线y=x交点为(2x0-1, 2x0-1) . 直线x=1与直线y=x的交点为(1, 1) . 从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2. 所以, 所围三角形的面积为定值2. 12.() f '(x) =1-, 由导数的几何意义得f '(2) =3, 于是a=-8. 由切点P(2, f(2) ) 在直线y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9. 所以函数f(x) 的解析式为f(x) =x-+9.

29、 () f '(x) =1-. 当a0时, 显然f '(x) >0(x0) . 这时f(x) 在(-, 0) 、(0, +) 内是增函数;当a>0时, 令f '(x) =0, 解得x=±. 当x变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表:x(-, -) -(-, 0) (0, ) (, +) f '(x) +0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x) 在(-, -) 、(, +) 内是增函数, 在(-, 0) 、(0, ) 内是减函数. () 由() 知, f(x) 在上的最大值为f与f(1) 中的较大者, 对于任意的a,

30、 不等式f(x) 10在上恒成立, 当且仅当即对任意的a成立. 从而得b, 所以满足条件的b的取值范围是. 13.() 因为f(x) =ax2+bx+c, 所以f '(x) =2ax+b. 又因为曲线y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 从而c=2a+3. 又曲线y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于y轴, 故f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a. () 由() 得bc=2a(2a+3) =4-, 故当a=-时, bc取得最小值-. 此时有b=-, c=. 从而f(x) =-x2-x+,

31、f '(x) =-x-. g(x) =-f(x) e-x=e-x, 所以g'(x) =f(x) -f '(x) e-x=-(x2-4) e-x. 令g'(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 当x(-, -2) 时, g'(x) <0, 故g(x) 在x(-, -2) 上为减函数;当x(-2, 2) 时, g'(x) >0, 故g(x) 在x(-2, 2) 上为增函数;当x(2, +) 时, g'(x) <0, 故g(x) 在x(2, +) 上为减函数. 由此可见, 函数g(x) 的单调递减区间为(-, -2) 和

32、(2, +) ;单调递增区间为(-2, 2) . 14. f(x) =f1(x) f2(x) =-(x2-3c) (x-3b) +4bc=-x3+bx2+cx+bc, f '(x) =-x2+2bx+c. () 由f(x) 在x=1处有极值-, 可得解得或若b=1, c=-1, 则f '(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 20, 此时f(x) 没有极值;若b=-1, c=3, 则f '(x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 当x变化时, f(x) 、f '(x) 的变化情况如下表:x(-, -3) -3(-3, 1) 1(1, +) f

33、'(x) -0+0-f(x) 极小值-12极大值-当x=1时, f(x) 有极大值-, 故b=-1, c=3即为所求. () 设曲线y=f(x) 在x=t处的切线的斜率为c, f '(x) =-x2+2bx+c, -t2+2bt+c=c, 即t2-2bt=0, 解得t=0或t=2b. 若t=0, 则f(0) =bc, 得切点为(0, bc) , 切线方程为y=cx+bc;若t=2b, 则f(2b) =b3+3bc, 得切点为, 切线方程为y=cx+bc+b3. 若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc x3-3bx2=0, 解得x1=x2=0, x3=3b, 则此时切线y=cx

34、+bc与曲线y=f(x) 的公共点为(0, bc) , (3b, 4bc) ;若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3 x3-3bx2+4b3=0, 解得x1=x2=2b, x3=-b, 此时切线y=cx+bc+b3与曲线y=f(x) 的公共点为. 综合可知, 当b=0时, 斜率为c的切线与曲线y=f(x) 有且仅有一个公共点(0, 0) ;当b0时, 斜率为c的切线与曲线y=f(x) 有两个不同的公共点, 分别为(0, bc) 和(3b, 4bc) 或和. () g(x) =|f '(x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. 当|b|>1时, 函数y=f '(x

35、) 的对称轴x=b位于区间-1, 1之外, f '(x) 在-1, 1上的最值在两端点处取得. 故M应是g(-1) 和g(1) 中较大的一个. 2Mg(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|4b|>4, 即M>2. 当|b|1时, 函数y=f '(x) 的对称轴x=b位于区间-1, 1内, 此时M=maxg(-1) , g(1) , g(b) . 由f '(1) -f '(-1) =4b, 有f '(b) -f '(±1) =(b1) 20. (i) 若-1b0, f '(1) f '(

36、-1) f '(b) , g(-1) maxg(1) , g(b) , 于是M=max|f '(1) |, |f '(b) |(|f '(1) |+|f '(b) |) |f '(1) -f '(b) |=(b-1) 2. (ii) 若0<b1, 则f '(-1) f '(1) f '(b) , g(1) maxg(-1) , g(b) , 于是M=max|f '(-1) |, |f '(b) |(|f '(-1) |+|f '(b) |) |f '(-1) -f &#

37、39;(b) |=(b+1) 2>. 综上, 对任意的b、c都有M. 而当b=0, c=时, g(x) =在区间-1, 1上的最大值M=, 故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为. 15.() f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲线y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为y=x. () 由f '(x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k0) . 若k>0, 则当x时, f '(x) <0, 函数f(x) 单调递减;当x时, f '(x) >0, 函数f(x) 单调递

38、增. 若k<0, 则当x时, f '(x) >0, 函数f(x) 单调递增;当x时, f '(x) <0, 函数f(x) 单调递减. () 由() 知, 若k>0, 则当且仅当-1, 即k1时, 函数f(x) 在(-1, 1) 内单调递增;若k<0, 则当且仅当-1, 即k-1时, 函数f(x) 在(-1, 1) 内单调递增. 综上可知, 函数f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增时, k的取值范围是-1, 0) (0, 1. 16.() 因f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故f '(x) =2ax+b, 又f(x) 在

39、x=0处取得极值, 故f '(0) =0, 从而b=0. 由曲线y=f(x) 在(1, f(1) ) 处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2, 即f '(1) =2, 有2a=2, 从而a=1. () 由() 知, g(x) =(k>0) , g'(x) =(k>0) , 令g'(x) =0, 有x2-2x+k=0(k>0) . 当=4-4k<0, 即当k>1时, g'(x) >0在R上恒成立, 故函数g(x) 在R上为增函数. 当=4-4k=0, 即当k=1时, 有g'(x) =>0(

40、x1) , 从而当k=1时, g(x) 在R上为增函数. 当=4-4k>0, 即当0<k<1时, 方程x2-2x+k=0有两不相等实根x1=1-, x2=1+. 当x(-, 1-) 时, g'(x) >0, 故g(x) 在(-, 1-) 上为增函数;当x(1-, 1+) 时, g'(x) <0, 故g(x) 在(1-, 1+) 上为减函数;当x(1+, +) 时, g'(x) >0, 故g(x) 在(1+, +) 上为增函数. 17.() 当a=0时, f(x) =x2ex, f '(x) =(x2+2x) ex, 故f &#

41、39;(1) =3e. 所以曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为3e. () f '(x) =x2+(a+2) x-2a2+4aex. 令f '(x) =0, 解得x=-2a或x=a-2. 由a知, -2aa-2. 以下分两种情况讨论. 若a>, 则-2a<a-2, 当x变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表x(-, -2a) -2a(-2a, a-2) a-2(a-2, +) f '(x) +0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x) 在(-, -2a) , (a-2, +) 内是增函数, 在(-2a, a-2

42、) 内是减函数. 函数f(x) 在x=-2a处取得极大值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 函数f(x) 在x=a-2处取得极小值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 若a<, 则-2a>a-2. 当x变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表x(-, a-2) a-2(a-2, -2a) -2a(-2a, +) f '(x) +0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x) 在(-, a-2) , (-2a, +) 内是增函数, 在(a-2, -2a) 内是减函数. 函数f(x) 在x=a-2处取得极大值f(a-2)

43、, 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函数f(x) 在x=-2a处取得极小值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 18.解法一:() (i) 由f(x) =x3-x得f '(x) =3x2-1=3. 当x和时, f '(x) >0;当x时, f '(x) <0. 因此, f(x) 的单调递增区间为和, 单调递减区间为. (ii) 曲线C在点P1处的切线方程为y=(3-1) (x-x1) +-x1, 即y=(3-1) x-2. 由得x3-x=(3-1) x-2, 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得x=x1或x=-2x1, 故

44、x2=-2x1. 进而有S1=. 用x2代替x1, 重复上述计算过程, 可得x3=-2x2和S2=. 又x2=-2x10, 所以S2=0, 因此有=. () 记函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的图象为曲线C', 类似于() (ii) 的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1, 曲线C'与其在点P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, g(x2) ) , 曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, g(x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则为定值. 证明如下:因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线y=g(x) 的对称中心平移至坐标原点, 因而不妨设g(x) =ax3+hx, 且x10. 类似() (ii) 的计算可得S1=a, S2=a0. 故=. 解法二:() 同解法一. () 记函数g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的图象为曲线C', 类似于() (ii) 的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1, 曲线C'与其在点P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点P2(x2, g(x2) ) , 曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3, g(x3) ) , 线段P1