上海中考数学压轴题解题策略-学生版

1、例？ 如图2-1,M的坐标为（1, 4）,APMB=S>A BCM,如存在,B两点，顶点上海中考数学压轴题解题策略 宝龙教育中心整理（2017.3）一、面积的存在性问题解题策略专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根.第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确.例题解析例？ 如图1-1,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线 y= x26x+10 滑动，在滑动过程中 CD/x轴，CD= 1, AB在CD的下方.当点 D在y轴上时， AB落在x轴上.当矩形 ABCD在滑动过程中被 x轴分成两部分的

2、面积比为 1:4 时，.求点C的坐标.二次函数y= （x+m）2+k的图象与x轴交于A、AM与y轴相交于点C,在抛物线上是否还存在点 求出点 P的坐标.1 / 16例？ 如图3-1,点，四边形PAQB是平行四边形，当四边形 PAQB的面积最大时，求点直线y= x+ 1与抛物线y=x2+2x+3交于A、图2-1B两点，点P是直线AB上方抛物线上的一 P的坐标.图3-1速度为每秒1个单位长度；同时点止运动时，点 Q也停止运动，如图例？ 如图4-1,在平行四边形 ABCD中，AB=3, BC= 5, AC± AB, ACD沿AC方向匀速平移得到 PNM,Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速

3、度为每秒 1个单位长度；当 PNM停t,使Saqmc : S四边形4-2,设移动时间为t秒（0Vt<4）.是否存.在某一时刻abqp= 1 : 4?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.图4-2图4-112 rx相父于点B,4例？如图5-1,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（0,1）,直线y=2x4与抛物线与y轴交于点D.将4ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（如图5-2）,问在抛物线上是否存在点P,使得&pcd= 3Sapab?如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.例？如图6-1,抛物线y1 25x x经过点E（6, n）,与x轴正半轴父于

4、点A,右点P为抛物线上位于第84象限内的一个动点，以 P、O、A、E为顶点的四边形的厂面积记作S,则S取何值时，相应的点 P有且只有3个?图6-11 C例？如图7-1,点P是第二象限内抛物线 y x2 8上的一个动点，8点D、E的坐标分别为（0, 6）、（一4, 0）.若将“使 PDE的面积为整数”的点记作“好点”，请写出所有“好点”的个数.例？如图8-1,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a1 3）（其中a>4）,1212射线OA与反比例函数y 上的图象交于点 巳点B、C分别在函数y 12的图象上，且AB/x轴，AC/y轴.试说明 ABP的值是否随a的变化而变化?& ACP

5、图8-1如图9-1,已知扇形 AOB的半径为2,圆心角/ AOB= 90，点C是弧AB上的一个动点,CD)±OA于 D,CE! OB于E,求四边形 ODCE的面积的最大值.图9-1例？ 如图10-1,在4ABC中，ZC= 90° , AC= 6, BC= 8,设直线l与斜边AB交于点E,与直角边交于点 F, 设AE= x,是否存在直线l同时平分 ABC的周长和面积？若存在直线 I,求出x的值；若不存在直线I,请说明 理由.图 10-13 / 16二、平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.难点在于

6、寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快.如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点， 符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点, 过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3个交点.如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便.根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便.例题解析例？ 如图1-1,在平面直角坐标系中， 已知抛物线y= -x2-2x+ 3 于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为P,如果以点

7、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.例？线上，点如图2-1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+ 3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物P在y轴上，如果以点 P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点 M的坐标.例？上，在平面直角坐标系中求L一点D,使得以O、A、C D为顶点的四边形是菱形.例？如图4-1,已知抛物线yC,点E的坐标为(0, 3),点N在抛物线的对称轴上，点3M在抛物线上，是否存在这样的点M、N,使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 在，请说明理由.例？如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22ax3a (a<0)与x

8、轴交于A、M的坐标；若不存如图3-1,在平面直角坐标系中，直线 y= x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB左侧)，点D是第四象限内抛物线上的一点，直线 AD与y轴负半轴交于点 C,且CD= 4AC.设P是抛物线的对称 轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不 能，请说明理由.图5-17 / 16例？如图6-1 ,将抛物线ci： y/x24沿x轴翻折，得到抛物线C2.现将抛物线ci向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为 A、B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新

9、抛物线的顶点为 N,与x轴的交点从左到右依次为 D、 E.在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由.图6-1E、G分别在AD> BC上,例？ 如图7-1,菱形ABCD的边长为4, / B= 60° , E、H分别是AB、CD的中点,且 AE= CG.(1)求证四边形 EFGH是平行四边形；(2)当四边形EFGH是矩形时，求 AE的长;(3)当四边形EFGH是菱形时，求 AE的长.图7-1例？如图8-1,在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点 A(4, 0)、B(0, 3),点C的坐标为(0

10、, m),过点C作CEL AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点，且满足 OD= 2OC,连结DE,以DE、DA为边作平行四边 形 DEFA(1)如果平行四边形 DEFA为矩形，求 m的值；(2)如果平行四边形 DEFA为菱形，请直接写出 m的值.图8-1三、梯形的存在性问题解题策略专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算.一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程

11、, 可以使得解题简便.例题解析例？ 如图1-1,四边形 ABCD是直角梯形，AD/BC, / B=90° , AD=24cm, BC= 28cm.点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时， 另一个点也随之停止运动.从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？ 点C关于抛物线对称轴的对称点为 B,在抛物线上是否存在点 巳 使彳导以A、B、C、P为顶点的四边形为梯形? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.图1-1例？ 如图2-1,在RtABC中，/ C= 90° ,

12、AC= 3, AB= 5.点P从点C出发沿 CA以每秒度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动.当点止运动，点Q也随之停止.伴随着 P、Q的运动，DE保持垂直平分 PQ, DE交BC于点E.设P、1个单位长的速P到达点A时停Q运动的时间是t秒（t>0）,在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.例？如图，已知A、B是双曲线y双曲线上是否存在点 D,使彳导以A、 请说明理由.2 , , 一*.，一，,，2上的两个点，A、B的横坐标分别为 xC、D为顶点的四边形是梯形？如果存在,2和一1, BC±x

13、轴，垂足为C.在求出点D的坐标；如果不存在,例？如图4-1 ,已知抛物线y3 2 -x图3-13与x轴的交点为A、D （A在D的右侧），与y轴的交点为C,设图4-1例？ 如图5-1,把两个全等的 RtAOB和RtA COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上.已知点 A(1, 2).抛物线y=ax2+bx+ c经过O、A、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)点P为线段lOC上的一个动点，过点 P作y轴的平行线交抛物线于点 M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形 ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.图5-1例？ 如图6-1,在

14、矩形ABCD中，AB= 3, BC= 4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点 Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE/DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为x秒，当x为何值时，四边形 PQBE为梯形?图6-1四、线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）.两条线段差的最大值问题

15、，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长.如图 3, PA与PB的差的最大值就是 AB,此时点P在AB的延长线上，即 P'.解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题.图8-111 / 16例题解析例？如图1-1,抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一 个动点，如果 PAC的周长最小，求点 P的坐标.图1-1例？如图，抛物线y -x2 4x 4与y轴交于点A, B是OA的中点.一个动点 G从点B出发，先经过x轴2上的点M,再经过抛物线对称轴上的点 N,然后返回到点 A.

16、如果动点G走过的路程最短，请找出点 M、N的位 置，并求最短路程.例？如图3-1,抛物线y4x2 8x 2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点，求线段 PA93与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标.图3-1例？ 如图4-1,菱形ABCD中，AB = 2, / A=120°,点P、Q、K分别为线段 BC、CD、BD上的任意一点, 求PK+QK的最小值.例？图4-1如图 5-1,菱形 ABCD中，/ A=60° ,AB=3, OA、0B的半径分别为2和1, P、E、F分别是边 CDOB和。A上的动点，求 PE+ PF的最小值.

17、例？ 如图6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+1,0),求a为何 值时，四边形 ABEF周长最小？请说明 理由.例？ 如图7-1, ABC中，/ ACB= 90° , AC= 2, BC= 1.点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点 A 在x轴上运动时，点 C也随之在y轴上运动在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离.图7-1例？ 如图8-1,已知A( 2,0)、B(4, 0)、D( 5,3点).设F为线段BD上一点(不含端点)，连结AF, 一动点M从点A出发，沿线段 AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到 D后停

18、止.当点F的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少？例？ 如图9-1,在 RtA ABC中，/ C= 90° , AC= 6, BC= 8.点E是BC边上的点，连结 AE,过点E作AE 的垂线交AB边于点F,求AF的最小值.图9-1例？如图10-1,已知点尸是抛物线y 1x2上的一个点，点 D、E的坐标分别为(0,1)、(1,2),连结PD PE, 4求PD+ PE的最小值.图 10-1五、相切的存在性问题解题策略专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形.解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R r、d,第二.步分类列方程，第三步解方程并验根.第一

19、步在罗列三要素 R r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后， 不确定的要素要用含有 x的式子表示.第 二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况.二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形.解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d,第二步列方程，第三步解方程并验根.第一步.在罗列两要素 R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后， 不确定的要素要用含有 x的式子表示.第 二步列方程，就是根据直线与圆相切时d=R列方程.例题解析例？如图1-1,已知抛物线y=x21与x轴相交于A、B两点.什么范围内取值时,当。P与两坐标轴都(1)有一半径为r的。P,且圆心P在抛物线上运动，

20、 相切时，求半径r的值；(2)半径为1的。P在抛物线上，当点 P的纵坐标在 OP与y轴相离、相交？图1-1例？ 如图2-1, ABC中，BC= AC=5, AB=8, CD为AB边上的高.如图 2-1, A在原点处，点 B在y轴的 正半轴上，点C在第一象限.若 A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下 滑，并带动 ABC在平面上滑动.如图 2-2,设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动.当以点 C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.图2-1图2-2例？ 如图3-1, A( 5,0), B(3,0), C(0, 3),四边形OADC是矩形.点P从

21、点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每 秒1个单位.长的速度运动，以PC为半径的。P随点P的运动而变化，当。P与四边形ABCD的边(或边所在的直 线)相切时，求运动时间 t的值.y口7 c图 3 -1 a B P |。一Q例？ 如图4-1,已知抛物线y=mx2+bx+c(m>0)经过A(1,0)、B( 3,0)两点，顶点为P,与y轴交于点D. O C的直径为A、B,当m为何值时，直线 PD与。C相切？17 / 16例？ 如图 5-1,在梯形 ABCD中，/ ABC= 90° , AD/ BC, AB= 8, BC= 18, sin BCD f ,点 P从点 B开 5始沿BC边向终点

22、C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动， 设运动时间为t秒.如果。P的半径为6, OQ的半径为4,在移动的过程中，试探索：t为何值时。P与。Q外离、外切、相交？例？如图 6-1, RtABC中，/ ACB= 90°图5-1,AC= 4厘米，BC= 3厘米，O。为 ABC的内切圆.(1)求。的半径；(2)动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆.设点 P运动的时间为t秒，若。P与。相切，求t的值.图6-1例？如图7-1,已知直线l: y 4x 4与x轴、y轴分别交于点A、B,。的半径为1,点C是y轴正半轴

23、3上的一点，如果。C既与。相切，也与直线l相切，求圆心 C的坐标.图7-1例？ 如图8-1,已知在等腰 ABC中，AB=AC= 5, BC= 6,点D为BC边上一动点（不与点 B重合），过点D作射线DE交AB于点E, Z BDEE= /A,以点D为圆心，DC BD= x.（1）当。D与边AB相切时，求 x的值；r（2）如果。E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当 的值.的长为半径作。D.设0D与。E相切时，求x图8-1例？ 如图9-1, 一个RtDEF的直角边 DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线 AC与斜边EF平行,已知AB= 12, DE= 4, DF= 3.如图9-2,点P从A点

24、出发，沿射线 AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP 的中点.同时RtDEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点 D运动到点A时，两个运动都停止.在运 动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与 RtDEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t,若不存在，说明理由.六、相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有 3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件， 因此探求两个三角形 相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题 1、2、3、4.应用判定定理

25、1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6.应用判定定理3解题不多见，如例题 5,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题解析例？如图1-1,抛物线y 1x2-x4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与，y轴交于点C.动直线，82(a>0)经过点A和x轴正半轴上的EF (EFF/x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交 y轴、线段BC于E F两点， 动点P同时从点B出发，在线段 OB上以每秒2个单位的速度向原点 O运动.是否存在t,使得 BPF与4ABC 相似.若存在，试求出 t的值；若不存在，请说明理由.例？求点C的坐标.点 B,

26、 A0= B0= 2, /AOB= 120° .(2)(3)求这条抛物线的解析式；连结OM,求/ AOM的大小；如果点 C在x轴上，且 ABC与AOM相似,图2-1例？如图3-1,抛物线y=ax2+bx 3与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MNx轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.例？如图4-1,在平面直角坐标系中，A(8.,0),直线CP与y轴交于点F,如果 ACP与4BPF相似,B(0,6),点C在x轴上，BC

27、平分/ OBA.点P在直线 AB上, 求直线CP的解析式.例？如图5-1,二次函数y=x2+3x的图象经过点 A(1,a),线段AD平行于-x轴，交抛物线于点 D.在y轴上 取一点C(0, 2),直线AC交抛物线于点 B,连结OA、OB、OD、BD.求坐标平面内使4 EOD4AOB的点E的坐标；图5-1例？ 如图6-1,在 ABC中，AB=AC= 4盘,BC= 8.。A的半径为2,动点P从点B出发沿BC方向以每 秒1个单位的速度向点 C运动.延长BA交。A于点D,连结AP交。A于点E,连结DE并延长交BC于点F.设 点P运动的时间为t秒，当 ABPA FBD相似时，求t的值.七、直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一