山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

1、2019.2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求.1 .已知全集 =0,1,2,3,4, A = 1,3,4,3 = 0,1,2,则图中阴影部分表示的集合为（A. 0B. 2C. 0,2D. 0,2,41 f 1V 1,2 .已知。= log3 , b = 一 ，c = log j ,则 a, b , c 的大小关系为（）2 3/§ 4A. c>a>bB. c>b>aC. b>c>aD. b>a>c3.函数/"）= 产同

2、+至三左二的定义域为（）A. （-2,-1）B. （2,3C. （3,1）d（1,3）D. （-2,-1）kJ（1,34 .己知函数x） = W+at+/+l为偶函数，则/（X）在x = l处的切线方程为（）A. 2x y = 0B. 2x y + l=0 C. 2x y+ 2 = 0 D. 2x y - 1 = 05 .根据我国车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量 在20,80）（单位：mg）即为酒后驾车，SOing及以上认定为醉酒驾车.某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL,此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20

3、%的速度减少,为避免酒后驾车，他至少经过小时才能开车，则的最小整数值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86 .若函数/（力=工3+（2-）/+3X+ 1在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（）A. 或。4 B. a>4C. <a<4D. i<a<4log, x <2/（1）,则工的取值范围为（<5 >8 .已知函数/(x) =,若/(log3X)-/eA.i < x < 1B, -<x<3C. x>- D. 0<X<3333二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

4、项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9 .下列四个命题中，为假命题的是（）A.小 £（0,1）, 2V=1X8. “VxwR, V+x-l,。”的否定是x2 +x-<0 99c.“函数/（x）在（/）内/（x）>0”是“/（切在（。力）内单调递增”的充要条件D.已知在/处存在导数，则" r（%） = 0”是"X。是函数工）的极值点”的必要不充分条件10 .已知函数力=4 +一，则（）21A.对于任意实数，工）在（73,0）上均单调递减B.存在实数4，使函数/（X）为奇函数C.对任意实数”，函数/（X）在（0,8）上函数值均大

5、于0D.存在实数%使得关于X的不等式/（x）l的解集为（0,2）11.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y （单 位：mg）随时间x （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，），与x成正比；药物释放完（。为常数），则（）B.当x>0.2时，y= C.D.73三小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下131小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下 112.已知函数f（x） = x（xl）lnx,下述结论正确的是（）A. /（X）存在唯一极值点且小 £（1,2）B.存在实数”，使得,f

6、（a）2C.方程f（x） = -l有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D.当AV1时，函数/（无）与g（X）= H的图象有两个交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共如分.13 .设集合A = x|0vxv2, 8 = x|xva，若4旦8,则实数的取值范围为.14 .高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函 数=卜称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，当工£（1.5,3时，函数），=一 的值域为.15 .设X满足 21 + 2x = 3,满足 22T = 2x-1,则玉 + =. "3216 .已知XeR,函数/

7、（%） =一”,当4 = 0时，不等式/（X）。的解集是：若函x 2, x W 九四、数/（x）恰有2个零点，则X的取值范用是.（本题第一空2分，第二空3分）17.（10 分）已知集合A=卜 y =-7 +1+1 -x) , B = ),b=2、,0 v x < 3.（1）若川=1,求A =（2）设xeA, q： xeB,若夕是的必要不充分条件，求实数机的取值范围.18.（12 分）解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数/(力=+ 2£ +x+a(a eR).（1）求函数f（x）的极值;（2）若函数/（x）有3个零点，求的取值范围.19

8、. （12 分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当/之0时，f（x） = ex+x-,（1）求/（X）的解析式：（2）若存在A使不等式/（r+/ +攵）+ /（_2/2+2内+ 3）0成立，求实数/的取值范围.20. （12 分）已知函数 f（x） = exl -alnx.（1）若函数/（x）在定义域上单调递增，求实数。的取值范围；（2）当。0时，证明：/（x）67-flln.21. （12 分）某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入.假设2020年利润增加值y （千万元）与科研经费投入x （千万元）之间的关系满足：y与x +其中/为常数，且

9、，式1,16：当x = 2时，y = 4+r；2020年科研经费投入工不低于上一年利润的25% 且不高于上一年利润的75%.（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值.22. (12 分)已知函数/'(x) = lnx + (x2-x), n g R .(1)讨论函数/(无)极值点的个数：(2)若函数“X)有两个极值点须，证明：) + /()一34m2.2019.2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D二、多选题9. BC 10. ABD

10、11. AD 12. ACD三、填空题13. a>214. -2,-1,0)15. 216. (2,1), 2<2或0<4<l注：16题第一空写作：(-2,0(0,1),也给分.四、解答题17. 解：(1)若7 = 1,由x(x2)«0,解得所以 4 = 0,2.当0cxe3时，l<yv8,所以8 = (1,8).所以 A=B = 0,8).(2)由(x?+ l)(? + l-x) A0,可得7-l<xKm + l,所以集合 A = z-l,z + l,由(1)知 3 = (1,8因为q是p的必要不充分条件，则所以，解得2c加<7.2 + 1

11、 <8 .18. 解：(1) fx) = 3x + 4x+l,令''(大)=3£+41+1 = 0,解得x = _1或上=一1, 3则有：X-113小）+00+“X)单增极大值单减极小值单增所以，当X = l时，/（X）取得极大值”, 当工=一：时，/（X）取得极小值 / .（2）要使函数/（X）有3个零点，a>04只需44，解得0<。<一.a<02719. 解：（1）当x<0, -x>0,又因为/（x）是奇函数,所以/(x) = _/(_x) = _(e-” 一工-1) = -+x + l,所以/(x)hex +x-l,x&

12、gt;0x + l-e-x<0(2)当xNO时，fx) = + ex >0,所以/（x）在0,+00）上是增函数.又/（X）是为R的奇函数，所以/（X）在（T2”）上是增函数.于是/（产+/ +攵）+ /（-2/+2内+ 3）<0等价于/（r+/ +攵）/（2/一2K一3）, 即产+，+ % <2/一2K 3.于是原问题可化为，存在1使得 g(k) = (l + 2，)k»+，+3<0 有解.只需 g(l)<0 或 g(1)<0,由且(1) = 一/+3/+4<。得，>4或，<一1,由 g(_1) = /1 + 2<0

13、得,>1 或/<2,故 1<一1 或 A1.20. (1)由题意，/'卜)=/7-色之0在(0,一)上恒成立.即a < xexl在(0, +8)上恒成立.令g(x)=此一，则g'(x)=(戈+l)e1 >o,所以g(x) = xei在(0,”)上单调递增.于是g(x)>g(°) =。,所以(2)当4>0时，f'(x = ex-x-=XCCl X X由 知，函数g(x) = xe、T在(0,)单增，且g(x)w(0,*o).因此，存在唯一的% >。满足。，且当 0<x<x° 时，xei-avO

14、,即:")<0：当x>与时，xexl -a >0 ,即/'(X)>0.因此为了在(0,”)上的极小值，也是最小值.下证：f(x0)>a-ana.因为"'"=。，所以 v°-1 = , %)-1 = In。一 In %), ,%于是 /)之洲T-aln/=_4(11一入0 + 1) = Fat。-a-ana X。X。>2r0 - a-a In a = a-a In a ,不等式得证.21. (1)设 y =攵 x + ,V x)当x = 2时，y = 4+/,可得k = 2,2t所以 y = 2x + ,

15、 x因为X不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%：所以定义域为xs2,6,所以y关于x的函数表达式为丁 = 2x + ?, xg2,6.令y = /(x) = 2x+, xg2,6, felJ6. X2t 2(x2-r)则)/ = 2. 厂 厂当4时,y'NO恒成立,y = 2工+幺在2,6上单调递增, A此时，Nmax ="6) = 12 + ：.当4/<16时，y=2A-/(x)在12,/)单调递减，在(J7,6单调递增，此时，)'=1则/(2),6).又f(2) = 4+f, /(6) = 12 + i,所以/(6)2)= 12 + ： (4

16、+，) = 8 7，Of/ 、/当4<，<12时，8-经0, /(6)>/(2), )，a=6).z /当 12<，46时，8 5<0, /(6)</(2), ynm=7(2).综上：当时，科研经费投入6千万元，利润增加值y的最大值为12 十二千万元：当12<，<16时，科研经费投入2千万元，利润增加值12W16的最大值为(4+/)千万元.22.解：(1) f= + «(2x -1) =1J > 0 .X当。=0时，r(x)= l>o, X/(x)在(0,”)单调递增，没有极值点：当400时，令 g(x) = 2a/-at+

17、l,设当 = /-&/>0时，方程g(x) = 2aF-at+l的两根为玉，且王 <.若。<0,则 = 2-84>0,注意到g(0) = l, X)+ x2 = »知g(X)= °的两根再，吃满足玉< ° V ； V工2 当 4£(。/),g(x)>o, r(x)>o, /(力单增；当无£(电,+°°)，g(x)<。，r(x)<。，/(X)单减，所以/(X)只有一个极值点：若0<。<8,则<(), g(x) = 2ax2 -or+1 >0,即/'("NO恒成立，“X)在(0,一)单调递增，所以/(力没有极值点：若。>8,则>(),注意到g(0) = l, x,+x2=l,知g (x) = °的两根V1，入满足° < X V ( V当X£(0,X1), g(x)>0, fx)>0, /(X)单增；当XW(X，W)，g(x)<。，r(x)<0, /(x)单减：当工式林位)，g(x)>o，r(x)>0, /(x)单增：所以/(X)有两个极值点.综上：当<0时，/(x)有一个极值点；当0<<8时，/(x)