角函数辅助角公式化简

1、、解答题三角函数辅助角公式化简221.已知函数f x sin x cos4.设函数f3cos2x sinxcosx 3 2(1)求f X的对称中心;(2)讨论f X在区间 一，一3 4上的单调性.(1)求函数(2)求函数的最小正周期T及最大值;的单调递增区间.2.已知函数 f x 4sinXCOS x一3(1)将f x化简为f x Asin x 的形式，并求f x最小正周期;(2)求f X在区间 一,一4 6上的最大值和最小值及取得最值时X的值.5.已知函数(I)求函数(H)求函数3.已知函数f x4tanxsin6.已知函数(1)求f X的最小正周期;(2)求f X在区间上的单调递增区间及最

2、大值与最小值.c冗 C cos 2x 一 2sin3冗x - sin4的最小正周期和图象的对称轴方程;在区间 123sinXC0SX(I)求函数f X的对称中心;(n)求f x在0, 上的单调区间上的值域.21cos X 一2(n)讨论f x在0, 上的单调性。10.已知函数2K 4.(1)求f(簿)的最小正周期；7.已知函数 f x 4cosxsin x 1,求6(1)求f x的最小正周期；(2)求函数f x的单调递增区间(3)求f x在区间 一，一 上的最大值和最小值 6 4(2)若关于翼的方程回刈t + 1 = 0在* W上有两个不同的实根，求实数a的取值范围sinx 、3cosx ?c

3、os - x8.设函数f x 2tanx(1)求f x的最小正周期；(2)讨论f x在区间 0,-上的单调性.11.设 f x sinxcosx cos2 x 一4(1)求f x的单调递增区间;(2)锐角 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f 0 , a 1 , bc J3 ,求b c的值.212. 已知函数 f(xj = sm siri)tcosx-siri-5in x .369.已知函数 f x2j3sinxcosx 2cos2x 1 ,(1)求函数的单调增区间;(I)求f x的最大值和对称中心坐标;(2) AABC的内角A, B, C所对的边分别是 白，b, C,若= a=

4、2,且AABC的面积为 炉，求(:的值.、,4tt -f13.设函数 f(x) = cos|2x)+ 2cos?x. g(1)求f的最大值，并写出使f(X)取最大值时x的集合；一、一 ，一 43(2)已知 AABC中，角A.、日、。的边分别为a、匕、c,右f(B +C) = -,b + C= 2,求a的取小值.2.一 八1.14.已知f xJ3sin x cos x cos x ,其中 0,右f x的取小正周期为 42(1)求函数f x的单调递增区间；(2)锐角三角形 ABC中， 2a c cosB bcosC ,求f A的取值范围15.已知 a= (sinx , cosx), b = (co

5、s 小，sin 小)(| 小 | 0),设函数 f (x) =av? b , 220, q)的部分图象如图所示.如何由函数y 2sinx的通过适当图象的变换得到函数f x的图象，写出变换过程一 一1 一 之 二一1218.已知函数f(x)=rin x + dnxcosxccs k(1)求函数丫;在。网上的单调递增区间;n7Tt 一一 3- n ，一(2)右(x E (-,一，且网门)=-，求可口 + 一)的值。3 1251219-已知 f x 2cosx sin x . 3sinx cosx6. 2 sin x ，(1)求函数y f x的单调递增区间;uuv uuv(2)设ABC勺内角A满足f

6、 A 2 ,而AB ACJ3 ,求边BC的最小值.22 .已知函数f(x)= ”比卜区+中-16 M n网，小为偶函数，且函数y = f(K图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求书的值;n(2)函数Y = f(xi的图象向右平移;个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变,得到函数y =削式的图象，求g(x的单调递减区间.20 .已知函数 f x cos 一 x3cosc cosx2(1)求f x的最小正周期和最大值；3(2)讨论f x在一 3一上的单调性. 4 421 .已知 f x2j3cos2x sin2x 33 1 x R ,求:(1) f x的单调增区间；23

7、 .已知函数 f xcos4x sin2x sin4x.(1)求函数f x的递减区间；(2)当x 0- 时，求函数f x的最小值以及取最小值时 x的值. 224 .已知函数 f x2/3sinxcosx 2sin2x 1.(1)求函数f x的对称中心和单调递减区间；1(2)若将函数f x图象上每一点的横坐标都缩短到原来的(纵坐标不变)，然后把所得图象向左平移 一个26单位长度，得到函数 g x的图象，求函数 g x的表达式.根据(2)令2x1 cos2x,-21 cos 2x32sin2x41-cos2x41 . sin 22x(2)令 2k2x一,k12.k 对称中心为 一一 ,012k Z

8、,增区间为3 ,k令2k2x2k 63-,k Z2k Z,增区间为3,k,kk1.(1)对称中心为 ,0 , k Z； (2)增区同为 -,-，减区间为 , 2126 43【解析】试题分析：利用降哥公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，正弦函数的性质来求对称中心 ，其对称中心能使函数值为 0,从而角的终边在 x轴上;首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间.上的增区间为2.(1) fx 2sin 2x；(2) x一时,4xmin1, x 时,12xmax2.【解析】试题分析：(1)由三角函数的公式化简可得2sin 2x ,由周期公式3可得答案；(

9、2)由x的范围可得6角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的 试题解析：2x_ 23 3 x值.的范围,可得f (x)的范围，结合三(1) f x 4sinx cosxcos sinxsin x/3332sinxcosx 2 3sin2x . 3sin2x 3cos2x2sin 2x 一 3所以T J . 2(2)因为 x ,所以 一2x 4663、，1所以 一 sin 2x 一231 ,所以 1 f x 2,当 2x ,即 x 时，f x 1，364m当 2x ,即 x 时，f x 2.32123. (1)(2) f x最大值为-2 ,最小值为1.【解析】试题分析:1）化简函数的解析式得f

10、x2sin 2x ，根据 T3周期；（2）先求出函数f x的单调递增区间,再求其与区间-,-的交集即可；根据4 42x 的取值范围确定函数在3试题解析：上的最大值与最小值。 44(1) f x 4tanxcosxcos x 一 3-34sinxcos x 、334sinx1-cosx 26-sinx2,32sinxcosx 2 ： 3sin2x 3sin2x 3 1 cos2x .3 sin2 x 3cos2x 2sin 2x -3所以f x的最小正周期T(2)令z 2x ,函数32sinz的单调递增区间是2k，22k512由一 2k212452x 2k ,得 一 k x k , k Z .

11、3 21212，5、-,-,B x| k x k ,k Z,易知 A B4 41212所以，当x2xsin2x1,2sin2xx最大值为2,最小值为-1 ._,时，f x在区间一,上单调递增。4 412 456点睛:解题的关键是将函数化成f（x）=Asin（ 3x+6）的形式后，把cox+（）看成一个整体如果去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，30,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.54. (1) T ,最大值为 1 (2)k , k k Z1212【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正

12、弦函数性质求最小正周期T及最大值；（2 ）根据正弦函数性质列不等式2k2x 322k k Z ,解得函数f x的单调递增区间.sin2x黄221 -sin2x 2旦os2x sin22x 一 3当2x(1) T2k 2 k k12取最大值为令一2k22x2k k2 f x的单调增区间为k , k125. (1)答案见解析；(2) I 1 .2，【解析】试题分析:(1)整理函数的解析式可得f x sin 2x 一,则函数的最小正周期为T6对称轴方程为x k - k3(2)结合函数的定义域和中整理的函数的解析式可得函数的值域为 立,1 .2试题解析:(1) Q f x cos 2x2sin x s

13、in x 441cos2x 2x2sinxcosxsinx cosx1cos2x 2.2 sin x2 cos x1cos2x 2-sin2x 2cos2xsin2x 6周期T由 2x k6Z，得x函数图象的对称轴方程为2x(2) Qx因为fsin 2x一在区间6, 上单调递增，在区间 , 上单调递12 33 2减,所以当x 时，3f3T122x取最大值1f ,，当x 一时，fx取最小值22122所以函数f x在区间,12 2上的值域为k6. (1) , 1 ,k Z (2)0,2123【解析】试题分析(1) f xJ3sinxcosx cos2x1人-sin 2x 1 ,令上的单调区间，则令

14、262x k 解得 x即可(n )求f x 在 0, 62k - 2x - 2k 解得x,对k赋值得结果.262试题解析：31 cos2x 1(I) f x sin2x - sin 2x 一 12226. 一k令2x 一 k ，得x 一,6212 k故所求对称中心为,1 ,k Z212(n)令 2k - 2x - 2k ,解得 k 262又由于x 0,，所以x 0,356故所求单调区间为0,I点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成y Asin wx类型，把wx+看成整体进行分析.7.(1) T ； (2)单调递增区间为 k ,k ,k Z ; (3) f

15、x .1 ,36minx miax2.【解析】试题分析：(1)由和差角公式及二倍角公式化简得：f x 2sin 2x ,进而6得最小正周期；(2)由2k 2x 2k ,k Z可得增区间;62一,2(3)由 x 得一 2x 根据正弦函数的图象可得最值64663试题解析：4cosxsin x 一 64cosx旦nx21 cosx21 2 . 3sinxcosx 2cos2x 3sin2x cos2x 2sin 2x 一 6f x的最小正周期T(2)由 2k2x - 2k ,k Z62解得 k - x k -,k Z 36函数f x的单调递增区间为k3，kx min当2x一时,2xmiax2.点睛：

16、三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通 分”等.8. (1) T (2) f x在区间 0, 上单调递增，在区间 ,一 上单调递减. 1212 2【解析】试题分析：(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得f x的最小正周期；(2)根据正弦函数性质求 0,一)上单调2区间，即得f x在区间

17、0-上的单调性2试题解析：(1) f x sinx V3cosx ?cosx sinxcosx V3cos2x1sin2x 君1 2cos2x sin 2x2令2k22x -322k ,解得x k (k Z)12x 0, 一 ，2x在区间0上单调递增，在区间12一，_上单调递减.12 29.(1)最大值为2,对称中心为:kT 运0kz；(n)递增区间：0,-和3;递减区间:【解析】试题分析：(1 )由弦的倍角公式和降哥公式，f(x)可化简为f x 2sin 2x 一,可知最大值为62,对称中心由2x k ,解得x可求。(2)先 6求得f(x)最大增区间与减区间，再与0,做交，即可求得单调性。试

18、题解析：(I) f x 2sin 2x 6,所以最大值为2,由2x k ,解得6x=k,r所以对称中心为: 2,12,0 k Z ； 12(n)先求f(x)的单调增区间，2k22x2k,k Z ,解得一 k , 一 k , k Z,在 0,63上的增区间有0,3k ,k Z ,在0,上的减速区间有同理可求得f(x)的单调减区间 一k ,36一 5, , 、5递增区间： 0,一 和5,;递减区间：-, .363 610. (1),F ; (2)曰的取值范围为口*1)U(B+L3)【解析】试题分析：(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x) =2sin P +结合三

19、角函数的周期公式可知 T=冗.原问题等价于日一=网双结合函数的图象可得求解不等式可得a的取值范围为口熊+ 1)U 患+ M).试题解析：n(1) f (x) = 2cosxcos( x 6 )一顺 sin 2x + sinxcosx=2 cos2x+sinxcosx 3 sin 2x +sinxcosx=8 cos2x + sin 2x= 2sinl 学，T=兀.小灯卜a*l = 0f-l = |fn0f-I 画出函数-5在xe 2的图像，由图可知小故a的取值范围为11忑+ 1)u (患R).11. (1) k , k k Z (2) b c V3 1441【解析】试题分析：(1 )由二角恒等

20、变换化简得f x sin2 x ,由 2A 2k 2x 2k ,k Z可解得增区间(2)由f 0得sinA, cosA,由余222弦定理得 J3bc b2 c2 1,即 J3 2 bc = b c 21 即得 b c试题解析：(1)由题意知f1 cos 2x sin2x2sin2x1 sin2 x ,小 1sin2 x 一，22k2x 2k , k2可得 一k4,k Z所以函数的单调递增区间是(2)由0 得 sinAA为锐角，所以cosA由余弦定理得:cosA 上 22bcb2即,3 2 bcc .312. (1)函数刈的单调增区间为3knf- + kn6(2)【解析】试题分析：(1)由化一公

21、式得由171/ntx) = - -sinxcosx - -sin x = -sin 2x +2226nnn+ 2kn + - - + 2kn262,得结果;n 1 r,再由余弦定理得0 = 2.(2)- S = - absimC = j31 in2x + -cos2k -化简可得:f(x) = -sinxcosic - -sin x =nn n一+ 2kn 2x + - - + 2kn(1)由 26 2, kZn n2c * - = 4 2kn可得6 2nC 二一6由日=2,且AABC的面积为1 -S = -absinC =、3C + 4 + 12 - 4 *由余弦定理可得：13. (1)1

22、nk|k 二 kn- -fk w 26,(2)a 最小值为1.【解析】试题分析：(1)利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一;f(e + q = -?得n 1cos(2A - -) = A =3 3;由余弦定理得日最小为1;(1)三f仅)-cos(2x - + 2cosx = (cosZxsin + sin2xsin )+ (1 + co52jc)1好nos2x sin2x+ 1 = cos(2x+ ) +1223上的最大值为2.nncos(2x + -) = lr2x + - = 2kn(k 1)33故区的集合为71kn - - Tk 6 26n 1cm(2e- 2A + -)=3 2n

23、3f(B + C) = cos(2 (B + Q +- + !=- 32n 1cos|2A T 二口化简得 3 2,n n 5nVAC33 3,只有222”2a = b +c - 2bccas- = (b + c) - 3bc在aABC中，由余弦定理，3,(b + c)62b + c = 2,bcq=l,a 之 L由2当h = c = 时等号成立，a最小为i.点睛：(1)要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；(2)巧妙利用三角函数值求得角A,再利余弦定理得边的关系，得到最值；14. (1) 4k ,4k ,k Z (2) f A 二五3324【解析】试题分析：(1)先根据二倍角公

24、式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数:f x sin 2 x -,再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间-1cosB -,即得26f A的取值范围(2)先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得B 一,根据锐角三角形得 A取值范围，根据正弦函数性质求3、3试题斛析：(1) f x sin22-cos2 x 2sin 2 x最小正周期为2k2k 21sin x 一4k 3x 4k2 , k3的单调递增区间为4k,4k,k Z.(2) . 2a c cosBbcosC ,2sinA sinC cosB sinBcosC ,1整理得：2sinAcosB sinA,

25、cosB 一，2L 2且0 A32B ，丁锐角三角形ABC , /. 0 A 326.2452一，一1225, _、415. (I) f (x) =Sin (x+), 2k ，2k ,k Z; (n) a .366【解析】试题分析：(1)利用向量的坐标运算得到f(x)sin(x ),再由-x) =f(x)可知函数f (x)的图象关于直线x对称，所以+(!)TT=2 +k u ,利用三角函数的性质求解单调区间即可;(2)将f (x)的图象向右平移一单位得g(x) = sinx ,即sinx +1w ax+cosx在x 0 ,r”上恒成立，利用数形结合分别研究试题解析：h (x)=sinx-cos

26、x 和小(x)二ax 1即可.71再由f ( -x)71 + 9 =f (x) =sin71由 2k：t -=sinxcos 小+cosxsin sin (x+伊)，=f (x)可知函数f (x)n的图象关于直线x=6对称,kGZ,又|(x+一),33 x+:函数的递增区间为2 kuH0),匹 0 _W_x匹贝U函数 f(x) = a?b=2cos2 2 +2/3sin ? ?cos 2 =coscox+1+Vsin wx=2sin (cox+6) +1,- f ( x)的最小正周期为兀，2兀二兀=.解得3=2,7T.f (x) =2sin (2x+ 6)+1；7V7T _7T_(2)令一 +

27、 +2kTt y = sin/ ,A 龙变(4)换换换换 y = sin(x 46工三无ft “4K 警g发仲XHkBK”*妣口的1 M p口（曲，浊耳后用周日丸靶她生*我片刑常的%丁 1* /siM皿+ R18. (1)(0-) ( n)m和633-4(2).【解析】试题分析:nf(x) = sin(2x -)整理函数的解析式为6 利用正弦函数的单调性可得函数 = f区在I。冈上的单调递增区间是 5n(川 6(2)由题意可得 试题解析：IT 4 cos(2a 65f(ot + ) - sin (2ct ) + 106nf(x) = sin(2x * ) 6nrn.Jkn - - 2x - -

28、29仃&二从而可求f (x) =2cosx (-sinx+_*C0SX)+V3sim *0051-51 n2 t3siaz*casx+cosxsi ndx/3si,n2K+cos2x=2sirL(2K+_)故所求单调递增区间为作冗弓-，kn+J(kEZ)o o(2)由f(A)=2sm(2人今)二2. 0Ac- anin=V2V3=V3-ln 5n20. (1) Tt, 1 2 (2)在4, 12上单调递增；在【解析】试题分析：5n12,彳上单调递减.整理函数的解析式f x sin 2x -32,则函数的最小正周期为,最大值为(2)结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在5上单调递增；在4,1253_,12 4上单调递减.试题解析:(1) f(x)=cosxsin x-由cos2x亚=cosxsin x 2 (1 + cos2x)工 生 亚= 2sin2 x C cos2x 2=sin(2 x 3) 2 )因此f(x)的最小正周期为 兀，最大值为 1 2 nn n 7n(2)当 xC, *时，62x-3T.n n n n. 5n易知当Uw2x-32 ,即Iwxw逐时，f(x)单调递增，n n Tn 5n. 3n当2x-3 - -1.对kR,f（六 仙恒成立61为偶函数,RI-ujk + 4)