解析几何存在性问题(含答案)

1、22x y i、已知椭圆Ci： F 今 i(-bb 0)的离心率为e解析几何一一存在性问题Y6 ,过Ci的左焦点Fi的直线l ：x y 2 0被圆3C2：(x 3)2 (y 3)2r2(r0)截得的弦长为2J2.(I )求椭圆Ci的方程;(n )设Ci的右焦点为F2 ,在圆C2上是否存在点 P ,满足PFi2a -2 PF2，若存在，指出有几个这样的点b(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由.解：(1)因为直线l的方程为l ：x y 2 0,令y0,得x2,即 Fi( 2,0)1 分. cct . . c '1622 c 2 ,又. e -号，-6 , b2，椭圆Ci的方程为Ci :

2、 6(2)存在点巳满足PF122b22i .4分圆心C2(3,3)到直线l:x y 2 0的距离为d又直线 l:x y 2 0被圆 C2：x2 y2 6x 6y3m 1 0截得的弦长为2后，由垂径定理得r .d2 (；)2J2 2 2,22故国C2的方程为C2 ： (x 3)(y 3)4 .2设圆 C2上存在点 P(x,y),满足PFia71PF2 即|PFj3 PF2I ,且Fi,F2的坐标为Fi(2,0),F2(2,0),b2则.(x 2)2 y2 3 (x 2)2 y2， 5,o 9一 5 -3 一整理得(x )y ,它表不圆心在 C( ,0),半径是鼻的圆。CC2 J(3 5)2 (3

3、 0)2 §712分,33_故有2 CC22 一，即圆C与圆C2相父，有两个公共点。22圆C2上存在两个不同点PFib2PF22、平面直角坐标系xOy中，椭圆2 x-2 aL i （a b o）的离心率为6 b3,焦点为F1、F2，直线l ：x y求2 o经过焦点F2,并与相交于A、B两点.在明理由.的方程;上是否存在C、D两点，满足CD/AB ,FiC FiD若存在，求直线CD的方程；若不存在，说解:依题意F2 （2,o) , c 22分，由eb .a2 c2四,椭圆的方程为（方法一） 若存在满足条件的直线2x6CD ,得 a 6Q 3 分3214分2. CDAB,kCDkAB1

4、,设直线CD的方程为4x5分2，16分，得x2 3(x m26mx (3m6) o,m)2o7分6m)2设 C(x1 , yi), D(x2, y?),则 x13mx2 T4 (3m2 6) 963m2 6xix2 4i2m20 (*)由已知F1CFiD ,若线段CD的中点为E ,则FiECD ， kFEiikCDFi( 2,0),y1 y2)即 E( 23m m4 , / 'FiEm43m 2彳m4时,_296 12m（方法二）假设存在C（xi ,96y1)，o,与（*）矛盾，.不存在满足条件的直线CDi分D(x2 , y2),线段 CD 的中点为 E(xo , yo),2 xi由6

5、2x26x222yi22y22yoyi2y2代入、化简得:由kFiyiy2xix2i5分两式相减得:i /-(xi x2)(x16、i /、/x2)二(y1y2)(y12y2)o7分,i3xoyo由已知FiCFiD ,则 FiEkFiEi ,19分yoExo 2i得,yoxo 2 ,由解得xo3,yo即E( 3, 1)1分直线CD的方程为:(x2 x4), 联立"6121得4x2 24x 42 oi分2242 4 44296o,方程（组）无解,不存在满足条件的直线CD1分3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点M(1, 3)、N (5,1), 若点 C满足OC tOM (1

6、t)ON (t R),点C的轨迹与抛物线：y2 4x交于A、B两点.(1)求证：oA OB ；(2)在x轴上是否存在一点 P(m,0),使得过点P直线交抛物线于 D、E两点，并以该弦 DE为直径的圆都过 原点，若存在，请求出 m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：(1)由 OC tOM (1 t)ON(tR)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,故点C的轨迹方程是y 31-(3) (x 1),即 y x 44y x 422由 2(x 4) 4x x 12x 16 0y 4xx1x2 16, x1 x2 12yy (Xi 4)(x2 4) XiX24(Xi X2) 1616X1X2y1

7、y20 ,故 OA OB.：.6 分(2)法一：存在点P(4,0)，满足条件。设弦所在的直线方程为： x ky 4代入y2 x得y2Yi V2y V 4k , l 16, koA koB-x-石证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，4ky 16 0y1y2161622yy2yiY21644OA OB ,故以AB为直径的圆都过原点 10分法二：若存在这样的点 P满足条件，设D(x1,y1),E(x2,y2).则有 X1X2V1V2。得yy216,又 PD(x1m, V1),PE(x2m, V2),由 D、P、E 三点共线可得(4 m, V1) V2 (X2 mi V2) V1 (m 4)

8、(y K)0当Y1y2时，m 4,此时P(4,0),可验证当P(4,0)且y1 y2时也符合条件,所以存在点P(4,0)满足条件.设弦AB的中点为M(x, y)1 1则 x -(X1 X2), y -(Y1 y)2 22X1 X2 ky1 4ky2 4 k(yy2) 8k (4k) 8 4k8x 2k2 42k弦AB的中点M的轨迹方程为：x2k4,消去k得y22x8.2 X 24、如图(6),设点 Fi( c,0)、F2(c,0)分别是椭圆 C:-y y 1(a 1)a uuu uuu的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且 PF1 PF2最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线li,l

9、2均与椭圆C相切，且ll/12,试探究在X轴上是否存在定点 B,点B至Ijli,l2的距离之积恒为1若存在，请求出点 B坐标； 若不存在，请说明理由.解：设 P(x, y),则有 F1P (x c, y), F2P (x c,y)1 分2.222 a 1 22PF1 PF2 x y c2 x 1 c , x a, a 2 分a uuu uuu由PF1 PF2最小值为0得1 c20 c 1 a2 2, 3分2.椭圆C的方程为y21 . 4分2(2)当直线11,12斜率存在时，设其方程为y kx m, y kx n5分把11的方程代入椭圆方程得(1 2k2) x24mkx2m2 202222-m

10、1 2k同理，n 1 2k 8 分22m n ,若 m n ,则1i12重合，不合题意， m n9分设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1,则LkJLktJ 1,即 |k2t2 m2| k2 1, 10 分, 2, 二 2;直线l1与椭圆C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0 ,化简得k 1 k 1把1 2k2m2代入并去绝对值整理，k2(t2 3) 2或者 k2(t2 1) 0前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R恒成立则t2 1 0 ,解得t 1 ; 12 分当直线1i,12斜率不存在时，其方程为x J2和xJ2, 13分定点(1,0)到直线1i,

11、12的距离之积为(丘 1)(72 1) 1；定点(1,0)到直线1i,12的距离之积为(J2 1)(72 1) 1；综上所述，满足题意的定点8为(1,0)或(1,0) 14分225、已知椭圆C:1 4 1 (a b 0)的左、右焦点分别为Fi1,0、F2 1,0 ,且经过定点a bXo,yo为椭圆C上的动点，以点为圆心，F2为半径作圆.1求椭圆C的方程；2若圆 与y轴有两个不同交点，求点横坐标xo的取值范围；3是否存在定圆，使得圆 与圆 恒相切若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.解：1由椭圆定义得 PF1 PF2 2a,分13.分4b222故椭圆C的方程为E 432圆心M (x0,

12、y0)到y轴距离X0 ,圆M的半径r X %若圆M与y轴有两个不同交点，则有 r d ,即"x0 1 2 y22化简得y 2X0 1 0.,分X0 ，Q点M在椭圆C上，y； 3_ 2_ 一 .一3X0 8X0 16 0,解得:3 9.x2,代入以上不等式得:44X0,分又Q 2 x0 2,2X044八即点M横坐标的取值范围是2,-). 分23存在定圆N : X 116与圆M恒相切，其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点 Fi,半径为椭圆C的长轴长4.分12.由椭圆定义知,MF1 MF2 2a 4,即 MF114，圆N与圆M恒内切.6、已知椭圆Ci的中心在坐标原点，两个焦点分别为Fi(2,0)

13、 ,F22, 0 ,点A(2, 3)在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2 : x24 y交于B, C两点，抛物线C2在点B,C处的切线分别为且li与(1)求椭圆Ci的方程;(2)是否存在满足 PF1PF2标)；若不存在，说明理由.22(1)椭圆C1的方程为土 16 12AF1 AF2的点P若存在，指出这样的点 P有几个(不必求出点 P的坐1.1 2-1 2(2)解法 1 ：设点 B(X1,-X1 ) ,C(X2, -X2)，则 BC 44(X21 . 22X1,-(X2 X14)，BA (2C 12 .X1,3 - X1 ),4uur A,B,C 三点共线，(，BC /uurBAX2化简彳

14、导:4 %x2)X1X212.汾由x2，抛物线C2在点B处的切线li的方程为1 2 4X1x1，、 r-2(x x1)，即X11 2x x1.24同理，抛物线 C2在点C处的切线l2的方程为 yX21 2一 x -x2.24设点P(x, y),由得:X1x 1x；2x 1X2,而 X1x2,24241/、X -(X1 X2).2代入得y1一 X1X2,则 2x X1 X2 , 4y X1X2代入 4得 4x 4y12 ,即点P的轨迹方程为y x 3.若PF, PF2AF1AF2 ,则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y x 3上， 像直线y x 3经过椭圆G内一点(3,0)，直线y x 3与椭圆

15、G交于两点. 位满足条件 PF1PF2AF1 AF2的点P有两个. 分42121解法 2：设点 B(X1, y,)，C(X2, y?) , P(x0,yo),由 x 4y,即 y xy - x.4分421 25分.抛物线C2在点B处的切线11的方程为y y1x1(xx1)，即yXixy1- x1 .22y1一 x1 , yx42y1 .,.点P(x0, yo)在切线I上, . yoWxOy1.6分x9一同理，y0 -2Lx0 y2. 综合、得，点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 yx2 x°y.;经过B(x1,y1),C(x2,y2)的直线是唯一的，直线L的方程为

16、y 学x° y,2点A(2,3)在直线L上,y0 x0 3.点P的轨迹方程为v x 3.若PF,PF2AFiAF2 ,则点P在椭圆Ci上，又在直线y x 3上，12分直线y x 3经过椭圆G内一点(3,0)，直线y x 3与椭圆G交于两点.14.满足条件 PF1 PF2 AF1 AF2的点P有两个.解法3:显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为3,Hy由2x3, 一消去x2 4kx8k120.4y，设 B X1, y1，Cx2, y2，则X1X24k, x1x28k12.由x2lx2，得 y 41一 x.2，抛物线c2在点 X ,、 rB处的切线11的方程为y y1；(x x1)，即

17、1 2V】-x1 y11 2一x1，4 y 刍 x212.，.一-x2. 同理将抛物线C2在点4c处的切线12的方程为2x2 .- PF1x2x22PF212一 x1 ,4 解得12x2, 4xx22x1x242k, P 2k,2k 3.2kAF1222k 2k 316121化简得，点7k22P在椭圆C1 :162 y1212k30.(*)由2A1224 72280,可得方程(*)有两个不等的实数根.，满足条件的点P有两个.7、已知双曲线C的焦点分别为F1( 2j2,0), F2(2j5,0)，且双曲线C经过点P(4j2,2j7).(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若点 A在双曲线

18、C上，点B在直线X-,一 UUU 版上，且OAuuuOB 0 ,是否存在以点为圆心的定圆恒与直线 AB相切若存在，求出该圆的方程，若不存在,请说明理由解：(1)解法一：依题意知双曲线 C的焦点在X轴，设其方程为21 1.(a0,b 0)点P(4隹2 J7)在双曲线C上,.2a |PFi| |PF2|(6：2) L(2二7)2, (272)=(a”)2又 c 2H . . b2c22a 4, 所求双曲线C的方程为解法二：依题意知双曲线2C的焦点在X轴，设其方程为 占 a2X42 y b242y41.1.(a-3 分0,b 0)1分点P(4夜2 J7)在双曲线C上,.32 28 (-2-21 ,a

19、2b2 代入去分母整理得：a4X2所求双曲线C的方程为 一468a2y4又 b2 8 a21.,一 2 一 . 2 一.c ,解得a 4, b 43分(2)设点A, B的坐标分别为(Xo,yo ),当y t时，直线AB的方程为y t即(y(o t)x (Xo 、.2)y tx02V0(T2,t),其中 4y0 t (X ,2)X 202 或 X02.若存在以点。为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值,设圆心O到直线AB的距离为.(y0t)2 (X0uur OAuuuOB0,tyo0,y。2%V。一 2又X02y04 , 故2X2| ,叫1y0/2X0 2(y0 )2 c22| y-2| y0_22、，2|以y0212万|,y0此时直线AB与圆X2 2.2X2 22y4 8y2 82(y2 2)V2V0-2|2_y0 21/一 211 分y0 21y0当y° t时,X0即(t2 4)(t2此时直线AB:综上得存在定圆2) y2yt224相切,12.一一 .42，代入双曲线C的方程并整理得t 2t 8 0,0 ,解得t 2 ,2 .也与圆X2 y2 4也相切.2y 4与直线AB相切.-13 分14分22-8、椭圆x2 。1（a b 0）过点（1,M2）, Fi,F2分别为椭圆