概率论与数理统计期末考试试题及解答

1、概率论与数理统计期末试题、填空题（每小题 3分，共15分）1 .设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3,且P(A) P(B) 0.5,则A, B至少有一个不发 生的概率为.答案：0.9解：P(AB AB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 0.9.2 .设随机变量X服从泊松分布，且 P(X 1) 4P(X 2),则P(X 3) 答案：11-e 6解答：2P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e2由 P(X 1) 4P(X 2)知 e

2、 e 2 2e一 一 2,一，即 21 0 解得 1,故11P(X 3) -e63.设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布,则随机变量Y X2在区间（0,4）内的概率,.密度为fY（y） 答案：fY(y)Fy(y) ： fX(, y)2,y_1_4, y，4,0 ,其它.解答：设Y的分布函数为 FY(y), X的分布函数为Fx(x),密度为fX(x)则FY(y) P(Y y) P(X2 _y) P( .y x .y) Fx(.y) Fx( y) 因为 X -U (0, 2),所以 FX ( Jy) 0 ,即 FY (y) FX (7y)fY(y)(y)21fx (6)尔, 0 y 4,0

3、,其它.所以另解 在（0,2）上函数y x2严格单调，反函数为h(y) , yfY(y)4,0 ,其它.4.设随机变量 X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布,P(X 1)答案:, Pmin(X,Y)2, Pmin( X,Y)1 =1 1e-4解答:P(X 1)Pmin(1 P(XX,Y) 11)1e 2,故5.设总体X的概率密度为f(x) I0,Pmin( X,Y)P(X 1)P(Y4 e .11)Xi,X2,Xn是来自X的样本，则未知参数答案:解答：似然函数为L(X1 ,L ,Xn；)解似然方程得的极大似然估计为1)x , 0 x 1,其它的极大似然估计量为1nln x11)xi(ln

4、Ln ln(1)n(xL,xn )1)In xi1.d ln Ldln xi 101.In xi.、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C为三个事件，且 A, B相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C) 1,则AC与BC也独立.(B)若P(C) 1,则AUC与B也独立.(C)若P(C) 0,则AUC与B也独立.(D)若C B,则A与C也独立.答案：(D).A), (B), (C)解答：因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以(都是正确的，只能选(D)可见A与C不独立.2 .设随机变量X N(0,1), X的分布函数为 (x),则P(|X | 2)的值为

5、 (A) 21(2).(B) 2 (2) 1.(0 2.(D) 1 2 .(答案：(A)2)解答：X N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(|X| 2) 1 P( 2 X 1(2)( 2) 1 2 (2) 1 21(2)应选(A)3 .设随机变量 X和Y不相关，则下列结论中正确的是(A) X 与 Y 独立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY .(D) D(XY) DXDY .答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，xy 0 cov （x, y） 0D（X Y） DX DY+2cov （x, y）应选（B）.4 .设离散型随机变量 X和Y的联合概率分布

6、为(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)若X,Y独立，则9的值为18(A)(C)2,916(A)(D)1,951818答案:(A)故应选P(X2, Y2)P(X 2)P(Y 2)(3(A).5.设总体X的数学期望为 ，Xi,X2,L ,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A） Xi是的无偏估计量.（B） Xi是的极大似然估计量.（C） Xi是 的相合（一致）估计量.（D） Xi不是 的估计量.（）答案：（A）解答：EXi，所以Xi是 的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.0

7、5 , 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02 ,求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A '任取一产品，经检验认为是合格品B'任取一产品确是合格品则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)0.9 0.95P(A)0.8570.9977 .四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学

8、期望和方差.解：X的概率分布为P(Xk)3 kk0,1,2,3X0123即P2754368125125125125X的分布函数为F(x)027125811251171251x 0, 0x1,1 x 2,2x3, x 3.五、EXDX1825(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D (x,y)|x 0, y0, x y 1上服从X Y的分布函数与概率均匀分布.求(1) (X,Y)关于X的边缘概率密度；(2) Z密度.六、(1) (X,Y)的概率密度为解:1yfx(X)f(x,y) 2,空0,其它.f (x, y)dy(2)其中2x, 0 x 1,其它利用公式fZ(z)f (x, z x) 2,

9、 0,其它Z的分布函数为zfz (z)fz(y)dy或利用分布函数法Fz(z) P(Z z) P(Xf(x, zx)dx1,02,0,1,x z 1.其它.fz(z)fz(z)zdx02xz2z故Z的概率密度为fz(z)0,z0 2ydy,1,z)2z, 0 z0,其它.1,D10, z 1, 1.0,2dxdy,1,1.0,1.1,fz(z)Fz (z)2z,0 ,1,其它.(10分)向一目标射击，目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标一 一一 2 一, _-互独立，且均服从N(0,2 )分布.求(1)命中环形区域 D (x, y)|1X和纵坐标Y相22.x y 2的,.概率；（2）命中点到

10、目标中心距离 Z Jx2 Y2的数学期望d 22e1(1) PX,Y) Df (x, y) dxdy1e42y8 dxdy22 Le 8 rdrd1r2Td(218)r2e 81e*(2) EZ E(病Y2)2y8 dxdyrer28 rdrdr28 r2dr.2 rree 8 dr2七、（11分）设某机器生厂的零件长度（单位：cm） X N（,）,今抽取容量为16的样2本，测得样本均值 x 10,样本万差s 0.16. （1）求的置信度为0.95的置信区2同；（2）检验假设H0 : 20.1 （显著性水平为0.05）.（附注）t0.05（16） 1.746, t0.05（15） 1.753, t0.025（15） 2.132,0.05(16) 26.296,2.05(15) 24.996,0.025(15) 27.488.解：（1）的置信度为1下的置信区间为(Xt /2(n1)s, n ,X 10,