自动控制理论频率域方法

1、关于自动控制理论频率域方法第一页，共38页幻灯片 系统的系统的频率响应频率响应定义为系统对正弦输入定义为系统对正弦输入信号的信号的稳态响应稳态响应。 系统系统r(t)c(t)5-1 5-1 频率特性频率特性第二页，共38页幻灯片稳态输出的振幅与输入振幅之比稳态输出的振幅与输入振幅之比, ,称为称为幅频特幅频特性性。 稳态输出的相角与输入相角之差稳态输出的相角与输入相角之差 , ,称为称为相频特相频特性性。一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入 r( )sinr tAt 其稳态输出可写为其稳态输出可写为 c( )sin()c tAt Ac-稳态输出的振幅稳态输出

2、的振幅 -稳态输出的相角稳态输出的相角crAMA )(A第三页，共38页幻灯片ur（t）CRuc（t） RC滤波网络T22rT1TAteT)arctan-tsin(T122rA)(sin)()(limtAAturctTTAarctan)(,11)(22)(tuc第四页，共38页幻灯片221jjarctan1 j221sin(arctan)11eej11 1jTTtTTTTT j111j1sTTs 只要把只要把RC网络传递函数中的网络传递函数中的s以以j置换，就置换，就得到频率特性，即得到频率特性，即RC网络的频率特性网络的频率特性)(je第五页，共38页幻灯片证明证明此结论的一般性：此结论的一

3、般性： 设系统的输入信号、输出信号分别为 ，其拉氏变换分别为 ，则系统的传递函数为 )()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG)(sG为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。 若输入为谐波信号，即若输入为谐波信号，即 tAtrrsin)()()()(21npspspssM第六页，共38页幻灯片其拉氏变换其拉氏变换)()(22jsjsAsAsRrr)()()()()(21jsjsApspspssMsCrnjsCjsCpsKpsKpsKnn212211取其拉氏反变换取其拉氏反变换tpeKtc11)(.22tpeKtpnneKtjtjeCeC

4、21第七页，共38页幻灯片tjtjtseCeCtctc21)(lim)(其中其中 jAjGjsjsjsAsGCrjsr2)()()()(2由于由于 是一个复数，可表示为是一个复数，可表示为 jssGjG)()()()()(jGjejGjGjsrjsjsjsAsGC)()()(1jsCjsCsCs21)(jAjGr2)()()(jejG)()()()()(21jsjsApspspssMsCrn第八页，共38页幻灯片 和和 是共轭的，故是共轭的，故 可表示成可表示成 )(jG)(jG )(jG )()()(jejGjG1CtjjreejGjA)()(2)(2)(2jrejGjAC jAjGr2)(

5、)()(2jrejGjAtjtjseCeCtc21)(jeetjtj2)()(tjjreejGjA)()(2)(jGAr第九页，共38页幻灯片与前面结论比较与前面结论比较 )()(jGA)()(jGjeejGAtctjtjrs2)()()()()(sin)(tjGAr)()()(jeAjGjssGjG)()()(sin)()(tAAturcs第十页，共38页幻灯片例例 若系统单位阶跃响应若系统单位阶跃响应tteeth948 . 08 . 11)(确定系统的频率特性。确定系统的频率特性。 tteedttdhtk942 . 72 . 7)()()9)(4(3692 . 742 . 7)()(sss

6、stkLs)9)(4(36)(jjjG第十一页，共38页幻灯片1、幅频特性、相频特性、幅相特性)()()(jGjGjG0:)(A)()()(jeA = =为系统的为系统的幅频特性幅频特性。为系统的为系统的相频特性相频特性。（1 1）（2 2）三、频率特性的几何表示法第十二页，共38页幻灯片)/(sradT21T1T2T3T4T5)(A)/()(010.8900.7070.4470.3160.2430.19600- -26.5- -45.0- -63.4- -71.6- -76.0- -78.7- -90.0TTAarctan)(,11)(22第十三页，共38页幻灯片（3 3）幅相特性）幅相特性

7、 幅相频率特性图又称幅相频率特性图又称Nyquist（奈奎斯特）（奈奎斯特）图，由于它是图，由于它是在复平面上以极坐标的形式表示，故又称极坐标图。在复平面上以极坐标的形式表示，故又称极坐标图。 以频率以频率为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复数平为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复数平面上，实轴正方向为相角的零度线，逆时针转过的角度为正面上，实轴正方向为相角的零度线，逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。对于一个确定的频率，必定有一，顺时针转过的角度为负。对于一个确定的频率，必定有一个幅频的幅值和相频的相角与之相对应。个幅频的幅值和相频的相角与之相对应。RC网络的幅相特性网络的幅相特

8、性曲线曲线第十四页，共38页幻灯片2.2.对数频率特性对数频率特性 对数频率特性图又叫对数频率特性图又叫Bode（伯德）（伯德）图。它由对数幅频特性图。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。和对数相频特性两条曲线所组成。 BodeBode图是在半对数坐标纸上绘制出来的。所谓半对数坐图是在半对数坐标纸上绘制出来的。所谓半对数坐标，是指横坐标采用对数刻度，因而刻度是不均匀的，而标，是指横坐标采用对数刻度，因而刻度是不均匀的，而纵坐标则采用线性的均匀刻度。纵坐标则采用线性的均匀刻度。 Bode图中，对数幅频特性是图中，对数幅频特性是 的对数值的对数值 和频率和频率 的关系曲线；对数相频特性是

9、的关系曲线；对数相频特性是 的相角的相角 和频率和频率 的关系曲线。的关系曲线。 )(jG)(lg20jG)(jG 在画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。在画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。横坐标上标的是横坐标上标的是 的实际值，而坐标上的距离是按的实际值，而坐标上的距离是按 值的值的常用对数常用对数 的大小来刻度的。因此的大小来刻度的。因此坐标上任意坐标上任意 的的距离应为距离应为 ，而不是，而不是 lg21、12lglg12第十五页，共38页幻灯片 对数坐标刻度对数坐标刻度 由于是按以由于是按以1010为底的对数刻度，因此，频为底的对数刻度，因此，频率每变化率每变化1

10、0倍称为一个十倍频程或十进程，倍称为一个十倍频程或十进程，记作记作decade或简写为或简写为dec。每个十进程沿横坐。每个十进程沿横坐标走过的间隔为一个单位长度。标走过的间隔为一个单位长度。 第十六页，共38页幻灯片 对数幅频特性的纵坐标为对数幅频特性的纵坐标为 )(lg20)(AL 称为对数幅值，单位是分贝。纵坐标按分贝做线性刻度。称为对数幅值，单位是分贝。纵坐标按分贝做线性刻度。对数相频特性的纵坐标为相角对数相频特性的纵坐标为相角 ，单位是度，因不取对，单位是度，因不取对数，故采用线性刻度。数，故采用线性刻度。 )(第十七页，共38页幻灯片采用对数坐标的优点采用对数坐标的优点(1)(1)

11、由于横坐标采用对数由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽刻度，将低频段相对展宽了，而将高频段相对压缩了，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。究低频段的特性。 (2)(2)对数幅频特性对数幅频特性将幅值的乘除运算将幅值的乘除运算转化为加减运算。转化为加减运算。3.3.对数幅相特性对数幅相特性 又称又称Nichols（尼柯尔斯）（尼柯尔斯）图。图。第十八页，共38页幻灯片一、比例环节（放大环节）一、比例环节（放大环节） 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 KsG)(其频率特性表达式为其频率特性表达式为 K

12、jG)( 00arctan)(0)(2KKKA 对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一条线。例环节的极坐标图为一条线。5-2 5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 第十九页，共38页幻灯片比例环节频率特性比例环节频率特性第二十页，共38页幻灯片故故 90)(,1)(A二、积分环节二、积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 ssG1)(其频率特性表达式为其频率特性表达式为 11)(jjjG1.1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性 第二十一页，共38页幻灯片积分环节积分环节的幅

13、相频率特性的幅相频率特性第二十二页，共38页幻灯片2、对数频率特性已知已知 1)(A90)(则则 lg201lg20)(L第二十三页，共38页幻灯片三、惯性环节（一阶系统）三、惯性环节（一阶系统） 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为 11)(TssG其频率特性的表达式为其频率特性的表达式为 jTjG11)(1.1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性 故故 2211)(TATarctan)(第二十四页，共38页幻灯片2211)(TATarctan)(TjeTjTjGarctan2)(1111)(第二十五页，共38页幻灯片2.2.对数频率特性对数频率特性 由于由于 TT

14、Aarctan)(,11)(22所以所以 22221lg2011lg20)(TTL 利用上式可计算并描出较精确的对数幅频特性。但实际一利用上式可计算并描出较精确的对数幅频特性。但实际一般采用渐近线近似法。方法如下：般采用渐近线近似法。方法如下： 在低频段，在低频段， 很小。当很小。当 即即 时略去时略去 此时此时 T11T22TdBL0)(在高频段，在高频段， 很大。当很大。当 即即 时略去时略去1。此。此时时 T11T)(lg20)(dBTL高频渐近线与低频渐近线在高频渐近线与低频渐近线在 处相交，这交点处的处相交，这交点处的频率称为频率称为转折频率转折频率。T1第二十六页，共38页幻灯片)

15、(01. 311lg20)(dBL第二十七页，共38页幻灯片四、振荡环节（二阶系统）四、振荡环节（二阶系统） 振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为 2222)(nnnsssG其频率特性为其频率特性为 nnnnnjjjjG2)(1 1)(2)()(2222222)2()(1 1)(nnA2)(12arctan)(nn1.1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性 第二十八页，共38页幻灯片谐振频率谐振频率212mn谐振峰值谐振峰值21()21mmA222)2()(1 1)(nnA0)(21)(1)0(0AAAnn（1 1）幅频特性）幅频特性第二十九页，共38页幻灯片2)(1

16、2arctan)(nn)(2)(0)0(0nn（2 2）相频特性）相频特性第三十页，共38页幻灯片2)(12arctan222)2()(1 1)(nnjnnejG0)(221)(01)0(0jGjGjGnn（3 3）幅相特性）幅相特性第三十一页，共38页幻灯片2222)(12arctan)(,)2()(1 1)(nnnnA222222)2()(1 lg20)2()(1 lg201lg20)(nnnnL2.2.对数频率特性对数频率特性 第三十二页，共38页幻灯片 低频段，当低频段，当 ，即，即 时，略去时，略去 项，项，此时此时 n1nn)(01lg20)(dBL 高频段，当高频段，当 ，即，即

17、 时，略去时，略去1和和 项，项，此时此时n1nn2)(lg40)lg(20)(2dBLnn 斜率为斜率为40dB，转折频率为，转折频率为 ，在此附近会导致较，在此附近会导致较大误差。当大误差。当 时按渐近公式计算时按渐近公式计算 而按准确方程有而按准确方程有 ，则，则 ，即误差的大小与阻尼比有关。若即误差的大小与阻尼比有关。若 在在 之间，渐之间，渐近线可不作修正，否则，应作修正。近线可不作修正，否则，应作修正。nndBL01lg40)(2lg20)(L2lg20)(L7 . 04 . 0222)2()(1 lg20)(nnL第三十三页，共38页幻灯片五、五、 微分环节微分环节 微分环节的传递函数为微分环节的传递函数为 ssG)(频率特性表达式为频率特性表达式为 jjG)(lg20)(L