江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2020届高三数学第三次模拟考试试题(含解析)

1、江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2020届高三数学第三次模拟考试试题（含解析）it L11.参考公式：样本数据的方差棱锥的体积V二；Sh，其中s是棱锥的底面积，b是高. I一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1 .已知集合kI . I .2, B, J ,2 ,7）,则集合A U B中元素的个数为.【答案】【解析】由于A U B = 4-1.0 J，所以集合儿U u中元素的个数为5.【点睛】根据集合的交、并、补定义：A A B = xlx t A_ELx七B），A U B = Ulx E rKk EC=工（WA,求出aU b|,可得集合a

2、 U H中元素的个数.2 .设且，b Jb , 二自+ hi（1为虚数单位），则b|的值为 一-【答案】1【解析】由于 1 + i -+ bi）=& + b+ Ulm li ，有a + b = 1 , b_a = 1 ,得.-.1 -:.3 .在平面直角坐标系 工例.中，双曲线二上 二的离心率是 .【答案】2【解析】4 .现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 .【答案】【解析】把这三张卡片排序有“中” “国” “梦”，“中” “梦” “国”，“国” “中” “梦”；“国” “梦” “中” “梦” “中” “国”；“梦” “国

3、” “中”；共计6种，能组成“中国梦”的只有1种，概率为.【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来,写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式pC）二日，求出概n率值.5 .如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 .【解析】试题分析：由 / “ 4 I A得k 1再由题意知k - 5.K OK + Q 1.1 人 l 飞r u考点：算法流程图的识读和理解.6 .已知一组数据，则该组数据的方差是 .【答案】当曲.2）【解析】-2122Z21221G上二；- - (-6) + (fi-fi) + (9-6)/(8-6 ) *WsJO-u7

4、.已知实数，满足则的取值范围是 .x + y 2.【答案】,勺（或*；）【解析】本题为线性规划，画出一元二次不等式组所表示的可行域，目标函数为斜率型目 标函数，表示可行域内任一点|（工.）与坐标原点|（0, 0）|连线的斜率，得出最优解为（3.213】）|，则的取值范围是（4【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标 函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，二为线性规划的逆向思维型，给出最优解或最优解的个数反求参数的范围或参数的值8 .右函数=2in（2 + 0）（。（G4幸的图象过点（0.寸3），则函数（乂）在| 0,乃|上的单调减区间

5、是.【答案】工%（或产9）【解析】函数f（x）二2sin（2x + 0 ）（0 0 方的图象过点（0,扬1,则2小由=&，S1H0 ; w，仆亡 0V 7，办=7， 一 f（N）= 2sin（2x + -）.工Ji7 Jt 右二p九，丸 3r,.U x 无，一 0 2x 2k，1 2x + 0.一。二10 .如图，在正三棱柱 曲%瓦。1中,已知岫=AA1 = 3,点在棱CE上,则三棱锥|P-AB/ 的体积为.【答案】符【解析】由已知$=理.小，X十二唾，网=3Ji KJ1，4MtJ由于a平面AABB；,所以I1 #L 岫 联vir3二 Vc-W|- n厂ABC二 SABC,品即二5，彳 3 二

6、7【点睛】求三棱锥的体积要注意利用体积转化，以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法.用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的11 .如图，已知正方形ABtu的边长为，|BC平行于轴，顶点，和分别在函数 门=3】。风4， 心二21口丸、和匕=lug（a 1）的图象上，则实数的值为 .【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数 1=ilog&x ,、豆-户和” -10售产（普 1）的图象 .I上，设A（x ,31口瓦1K） ,R 210自产），门x #1。% 乂，由于EC平行于轴,则？】。*户=logx ，有

7、x = x IBC I = x r 二 K“r = 2，斛得 为 二人又 I 出二3kax-Zlu1v = 1%k = ?,则 1a2 二式.二也.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且Bd平行于轴，则AH _1_、轴，因此可以巧设出卜、B、三点的坐标，利用U 3 C两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长 2, 以及.，H两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2,解答出本题.12 .已知对于任意的k E （-co）U（5, + co）,都有-2储一2丘+打a 0,则实数的 取值范围是.【答案】h.5（或I 0对工L植恒成立;当3 = 1时，IL I.) =。不合题意；当日=二时，f

8、(2)二0符合题意；1 7C 5 ,5 a 或吕 1CS 白 2a-1-nrSA-综上所述：实数的取值范围是【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去 作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研 究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题13 .在平面直角坐标系 兄5中,圆cXk + (y-rn2二3若圆存在以为中点的弦 Mi,且那二2仃d则实数的取值范围是.【答案】-扬扬(或-亚 n 9。 ,即/COB A 45” ,连接CbI， / CB 1 01b 由于(-2.111)，|CD| 二天 + 4=皿，

9、 |CH| 而. 皿 _lrisinZCOB 二两二 7=3&L = W ，解得一 gj，即/COE施45“，则只需式n/COH台式口德”，列出不等式解出的范围.14 .已知.转三个内角，的对应边分别为，且二:，c = 2.当飞正取得最大值时，的值为【答案】b * V3【解析】设|a，4BC的外接圆半径为，则2K二茄H而出耳M 4H ; 卜门柏 2卜口吊* 二 2 / TsinBrosA : TsinRcfsA , R = T - V-一 耨而/ JT 、 AH =工 又因为平面%凫,L平面且BCD，平面1AD I平面由BCD = Q，AB仁平面AKD 所以优 平面PAD 又AF匚平面PM），

10、所以AH -L Al又由（1）知rb |匹，所以af _L EF-【点睛】证明垂直问题时，从线线垂直入手，进而达到线面垂直，最终证明面面垂直，而面 面垂直的性质定理显得更加重要，使用面面垂直的性质定理时，一定要抓住交线，面面垂直 性质定理的使用非常重要，要引起重视 .17 .如图，在平面直角坐标系 .的中，已知椭圆 * =的左、右顶点分别为，过右焦点 43的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若qF二2FP求直线的方程；（2）设直线明的斜率分别为|k，k才是否存在常数|八|，使得 = XkJ?若存在，求出入 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：设直线的方程

11、，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系,解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出A的值.试题解析：（1）因为J-歹 所以二 户二1二1，所以的坐标为设1皿）|，直线的方程为工=111y +1,代入椭圆方程，得+.,一 9二解得前:胃，故直线的方程为限幽-布=。所以呻打=（yL +于”,J故存在常数a二：,使得.二、【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定 系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设hl存在，利用所求的h +匕，2，,结合已知条件% = 得出坐标关系，再把 外十4，打n,代入求出|4|符合题

12、意，则a 存在，否则不存在.18 .某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切 (为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影 部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,且2 :.设士工况，二日，透光区域的面积为.(1)求关于6的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边ae的长度.&【答案】(1) (2)【解析】试题分析：根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表 示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示

13、出“透光比”函数4，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析：(1)过点作qh R)于点，则ZOHJ = /EOF = 0，所以0=OFsin 0 = 0md , 1Jl = 010 = ES D 所以、: 4S o 用 + 4s 扁年 01下二 2sin 0 cos 0 + 1 *1 =+ N9 ,因为9,所以导山办予:，所以定义域为彳). fli”4.口 士(2)矩形窗面的面积为 S娅+ = AU M3 = 2 武川9:如in。.则透光区域与矩形窗面的面积比值为二岩+&.1。分、正. c X QUS 曰&714京仅自)=二 +力工岁ti ii1 仃由白 - -广.三白.2hln &因为

14、所以;sin29 M :,所以finZJ -白 c Q，故(科) = l(m).答：(1)关于S的函数关系式为S二一口2+ 2”定义域为工,力； 4 2(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1回【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题 根据题目所给的条件列出面积关于自变量|。|的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法 .19 .已知两个无穷数列 仙J和亿门的前项和分别为二1 二1，对任意的N.，都有科一 :q -47(1)求数列.卜的通项公式；(2)若(4为等差数列，对任意的口工卜；都有力 Tn.证明：% tj

15、;(3)若bj为等比数列(1，与二%, % =啊，求满足-2 = ak L恒成立，得出L1和公差的要求，比较 .的大小可采用比较法； 虫%是 以为首项，为公比的等比数列，求出 ，和Q,根据题意求出的值.试题解析：(1)由g-2SS2 %,得旗之- S/ = S- S】+ 4 , 即2% 1 二 % * 2 * 所以%、w - % - L = % -aJ- 由占=1, %=工，可知七2:3.所以数列乜是以为首项，为公差的等差数列.故j4的通项公式为an = 2n - 1.(2)证法一：设数列“J的公差为，则几=nb,今个一匕1,由(1)知,因为 sn 丁 n，所以 T1 nh +即 fz - d

16、)n +(I - 口恒成立,所以2 -4 。，即 0,，2防 丁,得明 %，得证.证法二：设“G的公差为，假设存在自然数 小二上,使得.“ bp所以d & .所以n(n - 1)1 )n + (t|因为- | n,所以存在小 N ,当门 %时，Tri - Sn ：* 口恒成立.这与“对任意的u X ,都有Sn T矛盾！所以 明，得证.(3)由(1)知，5此=；.因为、 LJ为等比数列，且七二1|, bz=3,所以是以为首项，为公比的等比数列.所以13北7 I+ 2n 3+ 2a3+ 2n因为1E /，所以琦/-% .2 U，所以?j而 = 2L - 1,所以；1 ；二】，即3“ - 口 +二

17、0(*)当卜=J,时，(* )式成立；当力 / N时，设 f(n) =3 -* n - 1，则f(n+ 1) - f (n) = 3 - (H + n - 13,1 - n +口 - 1) = 2( 3rl 】-口)。，所以一故满足条件的的值为和.【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用uI = 0 I -这个公式，从到：S ,从方至L转化. n 1 n * 1 n.ti tl n n20 .已知函数 门N）=：+ xlnx（m 口），K）二11宜一2,（i）当前=时，求函数（#的单调增区间；（2）设函数:，x 0-若函数丫:h（h（

18、x）的最小值是乎，求的值；（3）若函数其N）,球入）的定义域都是,口,对于函数|门由的图象上的任意一点，在函数僦太）的图象上都存在一点，使得 0A上 加，其中是自然对数的底数，为坐标原点.求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决 QA 问题，先求出QE斜率 的取值范围，根据垂直关系得出 C斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解 题.试题解析:（1）当 m = 1时,f（x）=:+ xlnx, f（x =-4 + lux + 1.因为6）在to. + 8）

19、上单调增，且二a,所以当 x i|时，f（X）。；当。v 耳 1 时，1 （x） al-所以函数上（乂北的单调增区间是 h. + oo）（2）h（工）=+ 2K - %2,则h（工） = 2 =与二凡,令b（戈）XX 1t当力m x u，时，h （x） J时，tr、 o,函数h（x）在（4* + 8）上单调增.所以h（G*n二爪二降-亚.当也（研- 1） 意即E；时, 函数丫=h（&）的最小值M2% - ) =： + 2(2 - 1) - 1 =即17fli - 26*0=0,解得施=1或、二 （舍），所以m:1|;函数1=h(h)的最小值h昭-)二至解得与阳二”舍)N 上 I4综上所述，的值

20、为.(3)由题意知， *二三+ 1吟 Im二)考虑函数y二,因为/=二” 。在|1,.上恒成立，所以函数y二四产在| 1,履上单调增，故k1)B f | - 2, -所以卜04 E 1可，即;Inx p(l)=设 q(x) = x-(c - Inx ”则 qx)二 K2e - 1 - 21nx) x( 2e - I - Zliie) 。在1. c上恒成立所以C【K)在1.已1上单调增，所以m 口(1) = 5综上所述，的取值范围为|p.【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题，求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出

21、最值；恒成立为题为高考热点，已经连续命题许多年，必须重视本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.如图，圆的弦ABI,心交于点，且为弧的中点，点在弧EM上.若I/ACM=3/ADB ,求jA死的【答案】450【解析】试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系 求出所求的角试题解析：连结dn .因为为弧mn的中点，所以= /川）+而二必B 二 /XUB，所以 ZANM : /NAB = ZADS + /、川如即 ZfiCN = ZADB又因为 NKK ,

22、3ZADE，所以 ZACN + NBCN = 3/4DB + Z.MJB = 180故 / ME = 45 -【点睛】平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题22.已知矩阵a =伉：:,若二曲，求矩阵的特征值.【答案】矩阵的特征值为 a , = - 1, a, = i.【解析】试题分析：根据矩阵运算解出吕川，写出矩阵的特征多项式 门R,计算后令1（ A ）-。，求出特征值x-试题解析：因为卜中=埠:5=：,所以个a；解得q:：所以仁:. * z_二口，求出特征值x23.在极坐标系中，已知点1M2.千），点在

23、直线1J zjcos0 + njjiii。= 0（。曝 8 v 2贰）|上当线段最短时，求点的极坐标.【答案】点的极坐标为（亚方）.4【解析】试题分析：利用极坐标与直角坐标互化公式K =5。、=annbl,把Al?.：）化为直角坐标，再把的方程化为直角坐标方程，要使网:最短，过点作直线的垂线，垂足为，写出垂线方程，解方程组求出交点坐标，再化为极坐标试题解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点的直角坐标为(0.2)，直线的直角坐标方程为 黑* 丫二.rb最短时，点为直线t + 2-0与直线的 交点，解广 + 2 =。.得= - 1,所以点的直角坐标为f , 1 1)1.1 x

24、 + = 0 I = 1 .1 所以点的极坐标为点，.【点睛】极坐标为选修内容，掌握极坐标与直角坐标互化公式，掌握点和方程的互化，结合解析几何知识解题.24. 已知，为正实数，且卜+/+ J二求证：1a * b *匕3Y区.【答案】详见解析【解析】试题分析：根据10a +炉+ J23日h实施等转不等，得出占收# 31，再根据三个正数的算术平均数不小于几何平均数，证明出结论试题解析：因为卜* / , J=.3屈;，所以abc93,所以曰+ b + c 的工 3mL当且仅当曰=b = c =m时，取“ I = ” .【点睛】不等式选讲为选修内容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明，

25、另外注意选用证明方法，如综合法、分析法、反证法，与正整数有关的命题有时还采用数学 归纳法.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 在平面直角坐标系|乂5中，点卜(1,0),直线x二T与动直线*二口的交点为，线段的中 垂线与动直线(二n的交点为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过动点作曲线的两条切线，切点分别为，求证：/AMB的大小为定值.【答案】(1)曲线的方程为 J _ J. (2)详见解析 j - QX【解析】试题分析：根据题意动点到定点距离等于到定直线距离,符合抛物线定义,写出抛物线方程，第二步设

26、出直线方程，联立方程组,根据根与系数关系可律也二-1,可知ZAMB = g*为定值.试题解析：(1)因为直线=-与 :- 1垂直，所以 席为点到直线x二.1的距离.连结|闻，因为为线段MF的中垂线与直线r二口的交点，所以阳，二1T.所以点的轨迹是抛物线.焦点为FU.0)，准线为x二-1.所以曲线的方程为 /二J.(2)由题意，过点- l.n)的切线斜率存在，设切线方程为 y - 11 = k(x + 1所以 = 16 -+ In)=。，即/ + kn - 二口( *)，因为i., = /*.()，所以方程(*)存在两个不等实根，设为 %.”,因为 ,凡=-1,所以|乙贴也=90、为定值.【点睛】求动点轨迹方程是常见考题，常用方法有直接法、坐标相关法，定义法、交轨