2020年中考数学培优复习-动点类题目旋转问题探究(解析版)

1、下载后可编辑可打印11专题08动点类题目旋转问题探究题型一：旋转问题中三点共线问题例1.(2019?绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架 ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂 AD可绕点A旋转，摆动臂 DM可绕点D旋转，AD=30, DM=10.(1) 在旋转过程中， 当A、D、M三点在同一直线上时，求 AM的长. 当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.(2) 若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由厶ABC外的点Dj转到其内的点D2处，连接D1D2, 如图 2 ,此时 AD2C=135 ° , CD 2=60,求 BD2 的长【

2、分析】(1)根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况，点 D在A与M之间或点M在A与D之间；由题意知 D、M均可能为直角顶点，分类讨 论求解；(2)由题意知厶AD1D2是等腰直角三角形，连接 CD1,A ABD2A ACD1,由 D1D2C=90 °,利用 勾股定理求得 CD1的值，即为BD2的值【答案】见解析【解析】解：(1)点D在A与M之间时，AM=AD + DM=30+10=40.点 M 在 A 与 D 之间时，AM=AD DM =30- 10=20.当 ADIM90°时，AA由勾股定理得 AM= .AD2 DM 210.

3、10；当 AMD90° 时，由勾股定理得 AM- AD2 DM 2202 ；(2)摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由厶ABC外的点Di转到其内的点 D2处, ADI=AD2, DiAD2=90°, AD1D2= AD2D=45 ° , DD2=302 AD2C=135 ° , D1D2C=9O ° ,连接DiC,如下图所示，02 BAD2+ D2AC= CADi+ D2AC=9O BAD2= CADi AB=AC, AD2=AD1, ABD2 ACDi BD2= CDi在RtA DiDaC中，由勾股定理得：DiC=D2C3%.题

4、型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例 2 .(20i9?金华)如图，在等腰 Rt ABC 中， ACB=90° , AB=i 2 .点 D , E 分别在边 AB , BC 上, 将线段ED绕点E按逆时针方向旋转 90°得到EF.(1) 如图i ,若AD=BD ,点E与点C重合，AF与DC相交于点 O,求证：BD= 2DO.(2) 已知点G为AF的中点. 如图2 ,若AD=BD , CE=2 ,求DG的长. 若AD =6BD,是否存在点 巳使得 DEG是直角三角形？若存在，求 CE的长；若不存在，试说明理由图1图2图3【分析】(1)由旋转性质及题意证明厶 ADo FCo

5、 ,得到结论；(2)过点D,F作DN丄BC, FM丄 BC,得到 DNE EMF ,再由DG是厶ABF的中位线，得到结果；分当 DEG=90°及 EDG =90°讨 论，作出图形，构造全等三角形、相似三角形求解【答案】见解析【解析】解：(1)由旋转性质得： CD=CF , DCF =90°/ ABC是等腰直角三角形，AD=BD.即 ADO=90° , CD = BD=AD, DCF = ADC.在厶ADO和厶FCo中， ADO FCO, AOD FOC,AD FC, ADO FCO , DO = CO, BD=CD=2OD. DNE= EMF=90

6、76;.又 NDE = MEF ,DE = EF, DNE EMF, DN = EM. BD= 7. 2, ABC=45°, DN = EM =-2BD =7,2 BM=BC ME EC=5, MF=NE= NC EC= 5. BF=5.2点D,G分别是AB,AF的中点， DG=IBF =.2 2过点D作DH丄BC于点H. AD=6BD，AB = 14,2， BD= 2. 2 .当 DEG=90°时，有如下图两种情况，设 CE=t. DEF= 90° DEG= 90°点A、F、E在一条直线上. BH=DH =2, BE=14 t, HE=BE BH= 1

7、2 t.由厶 DHEECA,ECACt 14得：，即DHEH2 12 t解得t=62 2即CE的长为6 2 2 或 62 2.当DG / BC时，如下图所示，F M过点F作FK丄BC于点K,延长DG交AC于点N ,延长AC并截取MN=NA 连结FM.贝U NC=DH =2,MC=10.设 GN=t,则 FM =2t,BK= 14- 2t.DHE EKF , KE=DH =2,KF=HE =14 2t, MC=FK ,14 2t=10,得 t=2. GN=EC =2, GN / EC,四边形 GECN是平行四边形. ACB=90°四边形 GECN是矩形， EGN=90°.当

8、EC=2 时，有 DGE=90° .当 EDG=90°时，如下图所示，F KV过点G , F分别作AC的垂线，交射线 AC于点N, M ,过点E作EK丄FM于点K ,过点D作GN的垂线,交NG的延长线于点 P.贝U PN=HC=BC-HB=12,设 GN=t,贝U FM=2t, PG = PN-GN=12-t.由厶 DHE EKF 可得：FK=2, CE = KM=2t-2, HE = HC-CE=12-(2t-2)=14-2t, EK = HE=14-2t,AM =AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t,1 MN=-AM=14-t, NC = MN-CM=t

9、,2 PD=t-2,由厶GPDs DHE可得:12-t2t 214 2t，解得t=10+14 (不符题意，舍去)或 10-14 CE= 2t-2= 18 2,14综上所述，CE的长为：6 2迈或6 22或2或18 2J14.题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题 例3. (2019?德州)(1)如图1 ,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且 BAD=60°,请直接写出HD :GC:EB的值；2,求 HD :GC:EB ;(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图(3)把图2的菱形都换成矩形，如图3,且AD:AB=AH:AE=1:2 ,此时HDGC:EB的结果与(

10、2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由图1图2图3【答案】见解析【解析】解：(1) HD:GC:EB=1 :.3 : 1;(2)如图，连接 AC, BD交于点O,连接AG,由题意知：AD=AB, AH=AE, DAB= HAE=60 DAH = BAE, DAH BAE, DH=BE,BD:AC=.33由厶ABD是等边三角形，得： AD = BD,即 AD:AC=.33同理，得AH:AG=旦3 ' AD:AC=AH :AG，又 DAC= HAG , DAH+ HAC = CAG+ HAC ,即 DAH = CAG , DAH CAG , DH

11、:GC = HD:GC:EB=1: 73:1.有变化，HD:GC:EB=1: “5:2.又 DAB=60° ,ABCD是菱形， DAC=30 ° ,AC丄 BD, BD=2OD , AC=2OA,在 RtA AOD 中，OD :0A= 353如上图所示，由题意知： 1 + HAB = 2+ HAB=90 1 = 2,由 AH:AE=AD:AB=1:2 ,得：AH:AD=AE:AB , ADH s ABE, HD:EB=1:2 ,连接AG, AC,由 2+ HAC = 3+ HAC ,得： 2= 3,AG= ,5 AH , AC= .5 AD, AD:AC=AH :AG, A

12、DH ACG , HDGC=I:、一5 , HD:GC:EB=1: 5 :2.题型四：旋转问题中落点规律性问题例4. (2019?台州)如图，正方形 ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接 PC交 AD 于点 F , AP=FD.(1) 求匚的值；AP(2) 如图1,连接EC,在线段EC上取一点 M,使EM = EB,连接MF ,求证：MF=PF ;(3) 如图2,过点E作EN丄CD于点N,在线段EN上取一点 Q,使AQ=AP ,连接BQ、BN ,将 AQB绕 点A旋转，使点Q旋转后的对应点 Q'落在边AD上请判断旋转后B的对应点B'是否落在线段BN

13、上，请【解析】解：(1)四边形ABCD是正方形，边长为2, CD / AB, P= FCD ,AFDF=tan P=tan FCD= APCD设 AF=X,贝U DF=AP=2 x,X 2 X ,2 X 2解得：X= 3.5 或 x=3 J5 (舍),.AF _ 5 1AP =2.(2) E是正方形 ABCD边AB的中点，AB=2 ,.BE=I，在RtA BCE中，由勾股定理得： CE= .5,由（1）知：PE=FA+AE=、5 1+1=、5 , .CE = PE,. P= PCE,又 P= DCF ,. PCE= DCF ,F作FH丄CE于H ,如下图所示,过点在厶CFH和厶CFD中, D

14、= FHC =90 FCH=/ FCDCF CF CFH CFD ,.CH=CD=2 , FH = FD= .5 1=AP, EH = EC CH=、.5 2,下载后可编辑可打印 HM=EM EH=3 、5 =AF APF HFM , PF = FM.(3) 在 AD 上截取 AQ' AQ,在 BN 上截取 AB' AB,连接 AB', B'Q过点B'作B'GAD于G,交EN于K,如下图所示,20 tan NBE=2，AB=AB' =2 BB'5 B 'N=BN BB=55由厶 NB'KNBE,1 262得：B&#

15、39;K= , KN= ,B'G= ,DG=,5555 Q 'G= 35 ,5在 RtA B 'GQ '中，由勾股定理得：B 'Q2=B 'G2+ GQ '= 6626 55而-2生旦1,5 B 'Q BQ,即B '不在BN上.题型五：旋转问题中函数及落点问题k例5. (209?连云港)如图，在平面直角坐标系 Xoy中，函数y=- x+b的图象与函数 y= - (XV 0)的图X象相交于点A (- 1, 6),并与X轴交于点C.点D是线段AC上一点， ODC与厶OAC的面积比为2: 3.(1) k=, b=；(2) 求点D

16、的坐标；(3) 若将 ODC绕点O逆时针旋转，得到 ODC,其中点D'落在X轴负半轴上，判断点 C是否落在函数 y = k (XV 0)的图象上，并说明理由.【答案】(1)- 6, 5; (2) (3)见解析.【解析】解：(1)将A (- 1, 6)代入y=- x+b,得，6= 1 + b,. b = 5,k将A (- 1, 6)代入y=X得 k=- 6,故答案为：-6, 5;(2)如下图所示，过点 D作DM丄X轴，垂足为 M ,过点A作AN丄X轴，垂足为 N, ODC与厶OAC的面积比为 2: 3.DM 2AN 3 ,又点A的坐标为（-1, 6）,.AN = 6,.DM = 4,即点

17、D的纵坐标为4,把y= 4代入y=- x+5中，得X= 1,D （1, 4）；（3）由题意可知，OD' = OD = ：_17 ,如下图所示，过点 C作C'GX轴，垂足为G,/ SaODC= SaOD'C', OC?DM = OD'?C'G,即 5× 4= ,17 CG,20 ,1717由勾股定理得： OG =,17在 RtA OCG 中，5.1717 ,20 .17、),17 C'的坐标为（-（-比）× 沁 -6,1717点C'不在函数y=-的图象上.X题型六：几何图形旋转中的类比探究例6. （2019?自贡

18、）（1）如图1 , E是正方形 ABCD边AB上的一点，连接 BD、DE ,将ZBDE绕点D逆时 针旋转90°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.Z线段DB和DG之间的数量关系是 ;Z写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形 ABCD为菱形，ZADC=60° ,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE,将ZBDE绕点D逆时针旋转120°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M

19、 ,若BE=1，AB=2 ,直接写出线段 GM的长度图2图3【答案】（1）DB = DGBE BF JbD （ 2）见解析【解析】解：（1）由旋转知： GDB=90 ° ,四边形ABCD是正方形，BD为对角线， DBG=45 ° , DGB=45 ° , DG = DB,在 DBE和厶DGF中，/BDE / FDGBD DG/ DBE /G DBE DGF , BE=GF,由知，BD=DG , BDG=90 ° ,即厶BDG是等腰直角三角形， BG=、2 BD,即 BE BF 2BD .（2） BE BF 3BD理由如下:1在菱形 ABCD 中， ABD

20、 = CBD = _ ABC=30 ° ,2由旋转可得， EDF = BDG=120° , EDF- BDF= BDG- BDF ,即 FDG = BDE.在厶 DBG 中， G=180° - BDG- DBG=30° , DBG= G=30 ° , BD = DG.在厶BDE和厶GDF中，GDF BDEBD DGDBE DGF BDE GDF (ASA), BE=GF, BE+BF=BF+GF = BG.过点D作DM丄BG于点M,如下图所示， BD = DG, BG=2BM.在 RtA BMD 中， DBM =30 °, BD=2D

21、M ,设 DM =a,贝U BD=2a, BM= . 3a. BG= 2.3a, BG 2、3a 3"BD 2a BF + BE= .3 BD.GM的长度为.3理由：2 4 GF = BE=I , FC=2CD=4, CM = _BC=_,3 34 19 GM=GF+FC+CM=1+4+ 工=3 3题型六：几何图形旋转中的计算题目 例7. (2019?潍坊)如图1 ,菱形ABCD的顶点A、D在直线上， BAD =60°,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转 ( 0° < <30 ° ),得到菱形 AB'C'D' B'C'交对角线AC于点M , C'D'交直线I于点N , 连接MN.(1) 当MN / B'D'时，求的大小.(2) 如图2,对角线B 'D '交AC于点H ,交直线l于点G ,延长C ''交AB于点E,连接EH.当厶HEB