群的自同构群

1、§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定群的任何一个正规子群，就可以产生一个商群，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。1. 自同构群的定义：定理1 设是一个有代数运算的集合（不必是群），则的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为的自同构群。证明 设是的任意两个自同构，则，有 ，即也是的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换的乘法封闭。 又因为有，故即也是的一个自同构。群的定义的第3条成立。另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。所以，的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。注意：前面有的

2、全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为，称为的对称群。定理1表明的自同构群是的一个子群。推论1 群（在定理1中取）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群的自同构群，记作。由上面，如果，则。例1 求Klein四元群 的自同构群。 解 。由于是自同构，必有（幺元变成幺元）。又由于是双射，因此，其中 是的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据的运算特点，可以验证这些全排列都是的自同构。 例如，设，则可以验证它是的自同构: ,.由于的全排列共有6 个，与同构，因此的全体自同构也有6 个，。2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）阶循环群的自同构

3、群是一个阶的群，其中 是欧拉函数（即小于且与互素的正整数的个数）。证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如，设是由生成的循环群，则当是小于且与互素的正整数时，也是的生成元，即。此时，令，则有，且时，即是的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，阶循环群只有个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和阶的群。 例2 （1）求，4阶循环群的自同构群。解 ，两个生成元为，从而，其中是恒等置换，。（2）求，5阶循环群的自同构群。 ，4个生成元为，从而，其中，是恒等置换， ，。推论2 无限循

4、环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同构。证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可以相同。3. 内自同构群定理3 设是一个群，则（1）是的一个自同构，称为的内自同构；（2）的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 的内自同构群，记为；（3）。证明 （1）易知是的一个双射变换。又 ，所以是的一个自同构。（2）设与是的任何两个自同构，则， ， 即有仍是一个内自同构，此表明关于变换的乘法封闭。又易知，且是幺元，结合律显然成立，所以关于变换的乘法作成一个群。（3），。令，即，则，由的任

5、意性有，所以。 注意：设，则有，即，亦即对的任何内自同构都保持不变；反之，若的一个子群有此性质，则它必是的正规子群。这就是说，的正规子群就是对的任何内自同构都保持不变的子群：。因此，也常称正规子群为不变子群。群的中心： 称为群的中心，即群的中心就是与的所有元素都可交换的元素组成的集合。 根据中心的定义，显然有。定理4. 证明 利用同态基本定理。 令 ，显然，这样定义的是满射。由定理3知，即 ，所以是满同态。又 。由同态基本定理，有注意：定理4表明，要求的内自同构群，只需求出的中心，再作商群,即得，所以求一个群的内自同构群相对容易些。但是要求出一个群的自同构群，一般来说是非常困难的。这是因为，在

6、大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。定理4. 设是由生成的阶循环群，是素数，则是阶的群，且。 这里，乘法指模乘法。 证明 略。4。正规子群的推广 前面有，正规子群就是对的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：（1）特征子群：对群的所有自同构都保持不变的子群叫做的一个特征子群，即都有。 例3，任何群的中心都是的特征子群。 证明 只需证明都有，亦即，都有。验证：， ， 所以，结论成立。 注意：显然，特征子群一定是正规子

7、群；但反之不成立， 即正规子群不一定是特征子群。 例如，取，则（是交换群）。取，则前面例1已验证是的一个自同构，对此自同构 ，所以不是特征子群。（2）全特征子群：设。如果对的所有自同态都保持不变，即对的每个自同态都有，则称为 的一个全特征子群。 例4 证明：循环群的子群都是全特征子群。 证明 由于循环群的子群还是循环群，所以可设。例是任何自同态，则存在，使得 。于是，有，所以是的一个全特征子群。 注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。 例如，群的中心总是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。 例5 有理数域上的2阶线性群的中心（高等代数结论）， 则不是全特征子群。 证明 首先，即为有理数域上的2阶