随机过程第3讲概念

1、第第1 1章章 概论概论随机过程及其描述随机过程及其描述随机对象的矩描述随机对象的矩描述郑州大学信息工程学院郑州大学信息工程学院 随机过程及其应用随机过程及其应用主要内容主要内容随机过程的定义及描述方式随机过程的定义及描述方式随机过程的分类及例子随机过程的分类及例子随机过程的数字特征随机过程的数字特征2022-3-52郑州大学信息工程学院概率空间和随机对象概率空间和随机对象2022-3-53郑州大学信息工程学院概率空间随机变量随机向量随机过程样本空间随机过程随机过程事物的变化过程不能用一个时间事物的变化过程不能用一个时间t t的确定性函的确定性函数描述。数描述。如果对该事物的变化全过程进行一次

2、观察，如果对该事物的变化全过程进行一次观察，可得到一个时间可得到一个时间t t的函数，但是若对该事物的的函数，但是若对该事物的变化过程重复地独立地进行多次观察，则每变化过程重复地独立地进行多次观察，则每次得到的结果是不相同的。次得到的结果是不相同的。从另一角度来看，如果固定某一观测时刻从另一角度来看，如果固定某一观测时刻t t，事物在时刻事物在时刻t t出现的状态是随机的。出现的状态是随机的。2022-3-54郑州大学信息工程学院例子例子某电话交换台在时间段某电话交换台在时间段0，t内接到的呼唤次数是与内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量有关的随机变量X(t),对于固定的对于固定的t， X(t

3、)是一个取非是一个取非负整数的随机变量，但是负整数的随机变量，但是t是可变参数是可变参数,是一个连续是一个连续变量变量,所以所以X(t)又是一个过程。因此又是一个过程。因此,这个问题所涉及这个问题所涉及的不仅是一个随机变量的问题，它既是随机的，又的不仅是一个随机变量的问题，它既是随机的，又是一个过程。是一个过程。 2022-3-55郑州大学信息工程学院2022-3-56郑州大学信息工程学院例子例子电子元器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引电子元器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的

4、值是随机变量，记为变量，记为V(t)V(t)。如果。如果t t从从0 0变到变到+ + ，t t时刻的热噪声电压需用时刻的热噪声电压需用一族随机变量一族随机变量V(t),tV(t),t 0,0, ) )来表示，则该随机现象就是一个来表示，则该随机现象就是一个随机过程。对某种装置做一次试验，便可得到一个电压随机过程。对某种装置做一次试验，便可得到一个电压时间函数时间函数v v1 1(t)(t)，这个电压，这个电压时间函数是不可能预先确知的，时间函数是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到。如果在相同条件下独立地再进行一只有通过测量才能得到。如果在相同条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同

5、的。如下页图所示。次测量，则得到的记录是不同的。如下页图所示。2022-3-57郑州大学信息工程学院2022-3-58郑州大学信息工程学院样本曲线（轨道或实现）样本曲线（轨道或实现）例子例子在海浪分析中，需要观察某固定点处海平面的在海浪分析中，需要观察某固定点处海平面的垂直振动，设垂直振动，设X(t)X(t)表示在时刻表示在时刻t t该处的海平面相该处的海平面相对于平均海平面的高度，则对于平均海平面的高度，则X(t) X(t) 是随机变量，是随机变量，而而X(t),tX(t),t 0, 0, ） 是随机过程。是随机过程。2022-3-5郑州大学信息工程学院91 1、随机过程的数学定义随机过程的

6、数学定义2022-3-510郑州大学信息工程学院随机对象所描述的客观对象的差别随机对象所描述的客观对象的差别随机变量、随机向量是状态观察的结果随机变量、随机向量是状态观察的结果随机过程是过程观察的结果随机过程是过程观察的结果对随机过程采样得到随机变量和随机向量对随机过程采样得到随机变量和随机向量2022-3-511郑州大学信息工程学院随机过程的两种观点随机过程的两种观点观点一观点一：随机过程是样本空间为函数的概率：随机过程是样本空间为函数的概率空间空间缺点：概率特性描述上不方便。概率集函数描述了样缺点：概率特性描述上不方便。概率集函数描述了样本函数组成的事件的概率，不直观本函数组成的事件的概率

7、，不直观观点二观点二：随机过程是随时间参变量变化的一：随机过程是随时间参变量变化的一族随机变量族随机变量直观，便于用概率函数描述直观，便于用概率函数描述2022-3-5郑州大学信息工程学院12重点考虑第二种描述方式重点考虑第二种描述方式：固定时刻固定时刻t, t,随机过程随机过程 在该时刻所取的值是一个随机变量。在该时刻所取的值是一个随机变量。为描述随机过程在不同时刻的相互关系，就要求用为描述随机过程在不同时刻的相互关系，就要求用n n维联合维联合分布函数来描述分布函数来描述n n个不同时刻个不同时刻t t1 1,t ,t2 2,t,tn n，相对应的，相对应的n n个随机变个随机变量量202

8、2-3-513郑州大学信息工程学院上式中上式中n及及t1,t2,tn是任意选定的，因此要求给出的是是任意选定的，因此要求给出的是一族一族有限维分布函数，故可以利用研究随机矢量的方法研究随有限维分布函数，故可以利用研究随机矢量的方法研究随机过程。机过程。随机过程的分类随机过程的分类时间指标上分类时间指标上分类连续时间随机过程连续时间随机过程离散时间随机过程离散时间随机过程随机变量（状态）的类型上分类随机变量（状态）的类型上分类离散状态随机过程离散状态随机过程连续状态随机过程连续状态随机过程2022-3-514郑州大学信息工程学院离散参数离散型随机过程例子离散参数离散型随机过程例子一维随机游动的研

9、究。质点在x轴上做随机游动，t=0时位置取为x轴原点0，在t=1，2，3，.时质点可在x轴正向或反向移动一个单位距离，正向移动一个单位距离的概率为p，反向移动一个单位距离的概率为q=1-p。经时间n，质点偏离原点的距离为k，问处于k的概率如何？（求一维分布 ）2022-3-515郑州大学信息工程学院解解 ：设质点每次移动的距离为：设质点每次移动的距离为 ， 可取可取+1+1，也可取，也可取-1-1，即，即2022-3-516郑州大学信息工程学院设质点在设质点在t=n时，偏离原点的距离为时，偏离原点的距离为 ， 也也是一随机变量，是一随机变量，于是于是2022-3-517郑州大学信息工程学院以此

10、类推，如果在如果在n n次游动中有次游动中有mm次质点正向移动，即有次质点正向移动，即有mm次次 i i=+1=+1，则有则有n-mn-m次质点作反向运动，即有次质点作反向运动，即有n-mn-m次次 i i =-1 =-1。此时。此时 2022-3-518郑州大学信息工程学院连续参数离散型随机过程举例连续参数离散型随机过程举例设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为T T0 0的脉冲信号，每隔的脉冲信号，每隔T T0 0送出一个脉冲。脉冲幅度送出一个脉冲。脉冲幅度 是一个随机变量，它可取四个值（是一个随机变量，它可取四个值（+2+2，+1+1，-

11、1-1，- -2 2），且取这四个值的概率是相等的，即），且取这四个值的概率是相等的，即不同周期内脉冲幅度是相互统计独立的，脉冲的起不同周期内脉冲幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对于原点（始时间相对于原点（t=0t=0）的时间差）的时间差u u为均匀分布在为均匀分布在（0 0，T T0 0）内的随机变量。试求在两个时刻）内的随机变量。试求在两个时刻t t1 1，t t2 2该该随机过程随机过程 所取值所取值 ， 的二维联合概率密度。的二维联合概率密度。 2022-3-519郑州大学信息工程学院2022-3-520郑州大学信息工程学院该脉冲数字信号的典型样本函数图该脉冲数字信号的典型样本函

12、数图 在时间轴上固定两个时刻在时间轴上固定两个时刻t t1 1，t t2 2。 首先要研究的问题是首先要研究的问题是t t1 1，t t2 2是否处在同一脉冲内。是否处在同一脉冲内。 设事件设事件c c表示表示t t1 1，t t2 2间有不同周期的脉冲沿存在，即事件间有不同周期的脉冲沿存在，即事件c c表示表示t t1 1，t t2 2处在不同的脉冲周期内。它的逆事件处在不同的脉冲周期内。它的逆事件c cc c 表表示在示在t t1 1，t t2 2间没有不同周期的脉冲沿，即间没有不同周期的脉冲沿，即t t1 1，t t2 2处在同处在同一脉冲周期内。一脉冲周期内。 当当|t|t1 1-t

13、-t2 2|T|T0 0时，事件时，事件c c为必然事件，因此为必然事件，因此 当当 |t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0时，时， P(c)=1 P(c)=1 （1 1） 反之，当反之，当|t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0时，时， 事件事件 c cc c为不可能事件，即当为不可能事件，即当 |t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0时，时， P( cP( cc c )=1-P(c)=0 )=1-P(c)=0 （2 2） 2022-3-521郑州大学信息工程学院当当|t|t1 1-t -t2 2| | T T0 0时，时，t t1 1，t t2 2有可能处在同一脉冲内，有可能处在同一脉冲内，也有可能处于两个不同脉冲内。也有可能处于两个不同脉冲内。 设设 为为t t1 1所在的脉冲的起始时刻。由于脉冲的所在的脉冲的起始时刻。由于脉冲的起始时间相对于原点（起始时间相对于原点（t=0t=0）的时间差）的时间差u u均匀分均匀分布于（布于（0 0，T T0 0）内，而且该信号为等脉宽的脉冲）内，而且该信号为等脉宽的脉冲信号，脉宽均为信号，脉宽均为T T0 0，则，则 也是均匀分布的随机变也是均匀分布的随机变量，量， 可视为均匀分布于（可视为均匀分布于（t t1 1-T-T0 0，t t1 1）内的随机）内的随机变量。变量。 2022-3-522郑州大学信息