数值分析法求正弦余弦积分函数

1、天津职业技术师范大学课 程 设 计 任 务 书 理 学院 数学1403 班 学生 张群 课程设计课题： 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数一、课程设计工作日自 2016 年 7 月 4 日至 2016 年 7 月 5日二、同组学生： 无 三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时间、主要参考资料等）：课题来源：教师自拟类型：理论研究目的和意义：培养学生对数值分析中主要算法的应用能力，探索相关算法之间的内在联系。基本要求：根据数值分析课程所学的知识，应用Matlab软件编写程序，完成对算法及其内在原理的实验研究。完成时间： 参考资料：数值分析 李庆扬等 清华大

2、学出版社 指导教师签字： 教研室主任签字： 一、问题叙述用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数提示：正弦积分，余弦函数要求：（1）编写函数，对任意给定的x，可求出值。 （2）使用尽可能少的正余弦函数的调用，计算更精确的值。（用多种方法，创新方法）2、 问题分析 1 、数值积分基本原理：用数值分析求解积分的数值方法有很多，如简单的梯形法、矩形法、辛普森（Simpson）法、牛顿-科斯特（Newton-Cotes）法等都是常用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a，b分成n个子区间xi,xi+1，i=1，2，n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2、 本题要求用

3、数值积分法计算正弦积分函数和余弦函数积分，那么应该从编写函数的入手，建立function的m文件，通过对函数的调用，对任意跟定的x值，求出积分函数的值。3、 数值积分法求解问题1、 梯形公式、矩形公式 首先，积分中值定理告诉我们，在积分区间a，b内存在一点，成立dx=（b-a）f（），就是说，底为b-a而高为f（）的矩形面积恰等于所求区边梯形的面积。如果我们用两端点“高度”f（a）与f（b）的算术平均值作为平均高度f（）的近似值，这样导出的求积公式dxf（a）+f（b）便是我们熟悉的梯形公式。将积分区间a,bn等分，每个小区间宽度均为h=，h称为积布步长。记a=x0x1xkxo=b，在小区间上

4、用小矩形面积近似小曲边梯形的面积,若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高,则分别得到两个曲边梯形面积的近似计算公式。具体程序如下：clear x=linspace(0,pi); dx=x(2); y=sin(x); s1=sum(y)*dx s2=trapz(y)*dx sc1=cumsum(y)*dx; sc2=cumtrapz(y)*dx; plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o') hold on 由图可知这种方法精度太低，应选择其他方法。2、quad函数、quan1函数正弦：function y=si(t) a=1e-

5、8; %函数在0点无界，去掉0点 y=quad('sin(x)./x',a,t) y=quadl('sin(x)./x',a,t)余弦：function y=ci(t) a=-1e1; %函数在0点无界，去掉0点 y=quad('cos(x)./x',a,t) y=quadl('cos(x)./x',a,t)图像:x=1:100;for i=1:100 y2(i)=si(x(i);endplot(x,y2,'r')title('辛普森')x=1:100;for i=1:100 y2(i)=ci(x(

6、i);endplot(x,y2,'b')title('辛普森') 给定任意x值，均可计算出对应的正弦、余弦函数积分。但从结果可以看出精度不是很高。3、 复合求积公式由于牛顿-科特斯公式在n8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低级求积公式。这种方法为复合求积法。3.3.1 复合梯形公式将区间划分为n等分，分点在每个子区间上采用梯形公式，则得记， 称为复合梯形公式。复合梯形公式的余项由于且所以使 于是复合梯形公式的余项为 事实上只要设，则可得收敛性，只要把改写成为程序如

7、下：正弦：function T_n=fhtxs(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)=0 x(k+1)=10(-10); endendT_1=h/2*(SS(x(1)+SS(x(n+1);for i=2:n F(i)=h*SS(x(i);endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;余弦：function T_n=fhtxc(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)=0 x(k+1)=10(-10); endendT_1=h/2*(CC(x(1)+CC(x(n+1);f

8、or i=2:n F(i)=h*CC(x(i);endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;图像： 正弦 余弦3.3.2 复合新普斯求积公式将区间划分为n等分，在每个子区间上采用辛普森公式，若记则得l 称为复合辛普森求积公式。程序如下：正弦function S_n=fhxpss(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if(x(k+1)=0)|(x_k(k+1)=0) x(k+1)=10(-10); x_k(k+1)=10(-10); endendS_1=h/6*(SS(x(1)+SS(x(n+1);

9、for i=2:n F_1(i)=h/3*SS(x(i);endfor j=1:n F_2(j)=2*h/3*SS(x_k(j);endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;余弦：function S_n=fhxpsc(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if(x(k+1)=0)|(x_k(k+1)=0) x(k+1)=10(-10); x_k(k+1)=10(-10); endendS_1=h/6*(CC(x(1)+CC(x(n+1);for i=2:n F_1(i)=h/

10、3*CC(x(i);endfor j=1:n F_2(j)=2*h/3*CC(x_k(j);endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;图像与复合梯形所得图像基本相同，深入分析两只复合函数的优劣，对于积分函数 假设x=1，则将区间0,1划分为8等份，应用复合梯形求得T8=0.9456909而如果将0，1分为4等份，应用复合辛普森有S4=0.9460832通过参考数值分析（李庆阳）的结论，发现无论是复合梯形公式还是复合辛普森公式，最终结果都会随着h值的减小而更加精确。对复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较，发现复合梯形法的结果T8只有两位有效数字，而复合

11、辛普森的结果却有六位有效数字，所以复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。4、 插值型的求积公式clc, clearx0=0:0.5:5; y0= Inf 1.7552 0.5403 0.0472 -0.2081 -0.3205 -0.3300 -0.2676 -0.1634 -0.0468 0.0567;%所求积分函数的数值pp=csape(x0,y0) ; %默认的边界条件，Lagrange边界条件format long gchazhi=pp.coefs %显示每个区间上三次多项式的系数s=quadl(t)ppval(pp,t),0,5) %求积分format %恢复短小数的显示格式x=0:

12、0.1:5;y=cos(x)/x;y1=spline(x0,y0,x);z=0*x;hold onplot(x,z,x,y,'k-',x,y1,'r')plot(x0,y0,'*')hold offclearx0=0:0.5:5; y0= Inf 1.7552 0.5403 0.0472 -0.2081 -0.3205 -0.3300 -0.2676 -0.1634 -0.0468 0.0567; %所求积分函数的数值pp=csape(x0,y0) ; %默认的边界条件，Lagrange边界条件format long gchazhi=pp.coe

13、fs %显示每个区间上三次多项式的系数s=quadl(t)ppval(pp,t),0,5) %求积分format %恢复短小数的显示格式x=0:0.1:5;y=cos(x)/x;y1=spline(x0,y0,x);z=0*x;hold onplot(x,z,x,y,'k-',x,y1,'r')plot(x0,y0,'*')hold off如图所示：5、 高斯求积公式function ql,Ak,xk=gsqj(fun,a,b,n,tol)if nargin=1 a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseif nargin=3 n=7;

14、tol=1e-8;elseif nargin=4 tol=1e-8;elseif nargin=2|nargin>5 error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');end% 计算求积节点syms xp=sym2poly(diff(x2-1)(n+1),n+1)/(2n*factorial(n);tk=roots(p); % 求积节点% 计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);for i=1:n+1 xkt=tk; xkt(i)=; pn=poly(xkt); fp=(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i); Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数end% 积分变量代换，将a,b变换到-1,1xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% 检验积分函数fun有效性fun=fcnchk(fun,'vectorize');% 计算变量代换之后积分函数的值SS=fun(xk)*(b-a)/2;%