立体与立体相交

1、第八章 立体 平面、直线、立体与立体相交教学目的要求：掌握各种基本立体的投影及其画法,掌握立体表面上截交线、相贯线投影的作图方法。教学重点难点：截交线、相贯线的基本作图方法。学 时：81 基本立体的投影平面立体由若干平面所围成的立体。如：棱柱、棱锥曲面立体由曲面或曲面和平面围成的立体。主要是回转体，如：圆柱、圆锥、圆球和圆环。一、平面立体特点表面都是多边形，相邻表面的交线为棱线。画图步骤：首先立体组成、摆放。弄清各表面、棱线、各顶点对投影面的相对位置，然后运用点、线、面的投影知识画出三视图。最后判别可见性，可见画成粗实线，不可见画成虚线。1棱柱（1）组成：上下底面、几个侧棱面，顶、底面是正六边

2、形，六个侧棱面都是矩形并垂直于顶、底面。摆放：顶、底面为水平面，前后两侧面为正平面，其余四个侧面为铅垂面，所有侧棱线为铅垂线。（2）三视图：水平投影正六边形，反映顶、底面的实形。六个侧面垂直于H面，其投影都积聚为直线。正面投影矩形线框组成。中间的线框反映前后两侧面的实形；旁边两线框反映其余四侧面的投影，是类似形；顶、底面投影积聚为直线，平行于OX轴。 侧面投影矩形线框，分别反映四个侧面的投影，是类似形；前后两侧面、顶、底面的投影均积聚为直线。（3）表面取点：利用积聚性。已知点的一面投影及可见性判断出点的位置求出点的另外两面投影，并判断可见性。2棱锥（1）组成：底面是多边形，各棱面为有公共顶点的

3、三角形 摆放：底面为水平面，侧面SAC为侧垂面，侧棱线SB为侧平线（2）三视图：水平投影大的等边三角形（反映底面ABC的实形）包含三个小的等腰三角形（三个侧面的类似形）。正面投影大三角形线框包含两个三角形线框，是三侧面的类似形；底面投影积聚为直线并平行于OX轴。侧面投影是一个三角形线框，是两侧面SAB与SBC的类似形,侧面SAC的投影积聚为直线；底面ABC的投影积聚为直线，顶点A与C为重影点。（3）表面取点：辅助直线法（两种）。已知点的一面投影及可见性判断出点的位置做辅助直线，求出点的另外两面投影，并判断可见性。 A过锥顶做通过已知点的辅助直线（下右图） B过已知点做底边的平行线（下左图）C特

4、殊的（点做在平面为特殊位置可以利用积聚性求解（下右图）例 已知立体表面上的点A（a已知）、B（b已知）求：其余两投影。 （图83） 图83 利用积聚性求点的投影 图8-3解 分析 由于A、B位于特殊位置平面上，所以A、B点的其余两投影可利用积聚性求出。二、曲面立体（回转体）由回转面或回转面与平面组成。回转面是由一根动线(曲线或直线)绕一固定轴线旋转一周所形成的曲面，该动线称为母线，母线在回转面上的任意位置称为素线。常见的有圆柱、圆锥、圆台、圆球、圆环等。 1、圆柱 （1）组成：圆柱面、垂直于轴的上、下底面（2）三视图：轴线垂直于H面水平投影圆，反映上下底面的实形，且是圆柱回转面的积聚投影。正面

5、投影矩形线框，其上下边反映上、下底面的积聚投影，左、右边是圆柱面的最左、最右素线的投影。侧面投影矩形线框，其各边分别代表上、下底面的积聚投影与圆柱面的最前、最后素线的投影。（3）轮廓素线投影及曲面可见性 四条转向轮廓素线是圆柱面可见部分与不可见部分的分界线。（4）表面取点：利用积聚性 知点的一面投影及可见性判断出点的位置求出点的另外两面投影，并判断可见性。 2、圆锥以直线为母线，绕与它相交的轴回转一周所形成的面为圆锥面。 （1）组成： 圆锥面，垂直于轴的底面（2）三视图：轴线垂直于H面 正面投影等腰三角形，下边为圆锥底面的积聚性投影，左、右边表示圆锥的最左、最右素线 水平投影圆，反映圆锥底面的

6、实形，同时也表示圆锥面的投影。 侧面投影三角形，两边表示圆锥面最前、最后素线 （3）轮廓素线投影及曲面可见性 四条转向轮廓素线是圆锥面可见部分与不可见部分的分界线。（4）表面取点： A、作辅助直线（过锥顶） B、做辅助圆（/于底面） 知点的一面投影及可见性判断出点的位置作辅助线，求出辅助线的未知投影求出点的另外两面投影，并判断可见性。3、球圆球体是由球面围成，由一圆弧母线绕其轴线旋转而成。（1）组成： （2）三视图：都是与球直径相等的圆，分别是球的三个投影的转向轮廓线，也是球面上平行于三个投影面的最大圆的投影。 正面投影是前半球和后半球平行于正面的大圆A的投影,它是球面正面投影可见与不可见部分

7、的分界线。大圆的水平投影侧面投影不再处于投影的轮廓位置，而在相应的对称中心线上，不应画出。水平投影是上半球与下半球B的投影。侧面投影是左半球与右半球C的投影。（3）轮廓素线投影及曲面可见性 （4）表面取点：做辅助圆（/于基本投影面） 知点的一面投影及可见性判断出点的位置作辅助圆，求出辅助圆的未知投影求出点的另外两面投影，并判断可见性。 2平面与立体相交截 交:平面与立体相交，截去立体的一部分。截交线：截平面与立体表面的交线。截交线的性质1、为由直线组成的封闭折线（多边形），其顶点是截平面与平面立体的棱线或平面转折处的交点。2、多边形的每一条边是截平面与棱面的交线。求截交线求截平面与各棱线的交点

8、（表面取点法），或截平面与各棱面的交线。求截交线的方法棱线法、棱面法 平面立体截切的画图，即求截交线的步骤 1、空间及投影分析，找出已知，预见未知 A、截平面与体的相对位置确定截交线形状 B、截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性 2、画出所求视图体的完整投影 3、画出截交线的投影，判别可见性 4、分析各棱线的投影，擦去多余部分 5、检查，完成例题棱柱的截切，求侧面投影棱锥的截切补全带切口三棱锥水平投影和侧面投影试完成正四棱锥被两平面截切后的投影。 两平面截切四棱锥作图步骤（1） 求出截平面T与四棱锥的交点的投影。（2） 求截平面R与四棱锥的交点的投影。（3） 求面T与面R的交线上4、5

9、点的投影。（4） 依次连接所求各交点的同面投影。（5） 判别可见性。二、回转体的截切截交线的性质1、一般是封闭的平面曲线，或是由曲线与直线所围成的平面图形，也可能是多边形。2、其形状取决于回转体表面形状和截平面与回转体轴线的相对位置。求曲面立体截交线=求出截平面与曲面立体的被截各素线的交点连接求截交线的基本方法有素线法和辅助平面法。 回转体截切画图步骤 1、空间及投影分析 A、回转体形状，截平面与回转体轴线位置确定截交线的形状 B、截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性 2、画出体的完整投影 3、画出截交线的投影，并判别可见性。截交线的投影为非圆曲线先找特殊点（最高、最低、最前、最后、最

10、左、最右点），补充中间点。然后光滑地连接各点 4、分析轮廓素线投影 5、检查，完成 各种回转体截切的分析1、圆柱的截切截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置（三种情况）矩形、圆和椭圆。截平面位置平行于轴线垂直于轴线倾斜于轴线立体图截交线形状矩形圆椭圆投影图例1：求圆柱与正垂面斜切的截交线 例2：画出开槽的实心和空心圆柱的三视图。 2、圆锥的截切根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状：圆、椭圆、抛物线与直线组成的平面图形、双曲线与直线组成的平面图形及过锥顶的三角形。后三种截交线均为非圆曲线，应用辅助线法或辅助平面法求出。截平面位置过锥顶垂直于轴线平行于轴线倾斜

11、于轴线=立体图截交线形状直线（三角形）圆双曲线椭圆抛物线投影图例1：求作被正平面截切的圆锥截交线例2：已知圆锥体切口的正面投影，完成切口的其他两投影3、圆球的截切平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线，如下图所示。球的截交线 平面与圆球截交线例 求平面与圆球的截交线。 （图814）解 分析 由于截平面P为铅垂面，所以截交线的H投影积聚于PH,V、W投影均为椭圆。这两个椭圆可用两种方法画出，第一种方法是找出一系列公共点，然后光滑连接，第二种方法是找出长、短轴端点，用椭圆的近似画法画出椭圆。作图步骤如图814所示。例 求半圆球切槽后的

12、、投影 。（图815）解 分析水平面截切圆球，截交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线两个侧平面截切圆球，截交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。作图步骤如图所示。图815 求半球截切后的投影4 立体与立体相交两个立体相交称为相贯，其表面产生的交线叫相贯线。相贯线性质：（1）两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，其上的点是两立体表面的共有点。 （2）一般是封闭的空间曲线，特殊情况是平面曲线或直线段。 求相贯线上点的方法-积聚性法和辅助平面法。相贯的形式一、平面体与回转体相贯1. 相贯线的性质由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交

13、线。2. 作图方法求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。二、回转体与回转体相贯1. 相贯线的性质一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。2.作图方法 利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法。 作图过程 先找特殊点-确定交线的范围 补充中间点-确定交线的弯曲趋势（一）圆柱与圆柱相贯常见的相贯形式-轴线垂直相交的两圆柱相贯求其相贯线的投影，利用积聚性，采用表面取点法。 1.不同直径两圆柱相交（直径相等时为特殊的相贯线-椭圆）相贯线的H面投影积聚在小圆柱的H面投影（

14、圆）， W面投影也积聚在大圆柱的W面投影（圆），且应为大小圆柱共有部分的一段圆弧。只需求出相贯线的V面投影。求特殊点。转向轮廓线上的点都是特殊点。 求作一般点。可利用圆柱的积聚性直接求出。 连接各点，判别可见性。2.圆柱孔与实心圆柱相交2.两圆柱直径变化时，正交相贯线的变化趋势两圆柱相贯线的正面投影必然向大圆柱内弯曲。两圆柱直径对比水平圆柱较大两圆柱直径相等水平圆柱较小立体图相贯线特点上、下两条空间曲线两个互相垂直的椭圆左、右两条空间曲线投影图3两圆柱正交相贯的形式（1）两外表面相交 （实实相贯）（2）内表面与外表面相交 （空实相贯）（3）两内表面相交（空空相贯）例 试求两圆柱的相贯线。解 分

15、析 两圆柱的轴线垂直，直立圆柱的水平投影为圆，具有积聚性，相贯线的水平投影积聚在此圆上，相贯线的侧面投影积聚在水平圆柱的侧面投影圆上（两圆柱的一段共有圆弧），显然相贯线的水平和侧面投影已知，只需求正面投影。作图步骤见图819。 图819两偏心圆柱的相贯线（二）圆柱与圆锥相交PV 1.圆柱与圆锥正交分析：上图是圆柱与圆锥相交的立体图。柱轴和锥轴正交，相贯线是一条封闭的空间曲线。这条相贯线是圆锥和圆柱表面的共有线，由一系列共有点所组成。由于圆锥轴线垂直于H面，圆柱轴线垂直于W面，所以可采用一系列水平面P为辅助平面。此时辅助平面与圆锥的截交线为圆，与圆柱的截交线为素线。作图：求特殊点。点I、为相贯线

16、上的最高点和最低点，可直接求得其三面投影。点和为最前点和最后点，可用水平辅助面P求出。在H面投影上，由于点3和4是圆柱面转向轮廓线上的端点，也就确定了圆柱面H面的转向轮廓线的范围。 点是相贯线的最左点，相贯线的最右点不能用辅助平面法直接求出，可在侧面投影中过锥顶作圆柱侧面投影圆的切线Sa和Sb，得切点5、6，即最外辅助素线上点V、的侧面投影。利用圆锥表面取点的辅助素线法求得V、的水平投影和正面投影。求一般点 在点I与点之间适当位置，作辅助水平面，即可由点5、6、7、8求出5、6、(7)、(8)及 5、(6)、7、(8)。用同样方法还可求出任意多的点。判别可见性 在正面投影中相贯线投影以l、2为

17、分界点，曲线l、5、3、7、2位于圆柱和圆锥前半部的表面上故可见，画成实线，l、（6）、（4）、（8）、2为不可见部分画成虚线。相贯线H面投影以3、4为分界点，处在上半圆柱部分的3、5、1、6、4为可见，画成实线，处在下半圆柱部分3、（7）、（2）、（8）、4为不可见，不可见部分画成虚线。连曲线 将各点的同面投影依次光滑连接成曲线，即可得相贯线的投影。2.圆柱与圆锥正交相贯线的变化 图3.25为圆柱与圆锥面轴线垂直相交时，圆柱直径的变化对相贯线的影响。在下图变化的情况中，特别要注意的是当圆柱与圆锥的轴线垂直相交时，如果两回转体公切于一个球面，则相贯线是椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所决定

18、的平面。相贯线的投影呈特特殊情况为两条相交的直线。如图3.25a所示。 a） 立体图 b）公切于球 c）圆锥贯穿圆柱 d）圆柱贯穿圆锥图3.25 圆柱与圆锥面轴线垂直相交时的三种情况（三）圆柱与圆球相交 求作圆柱与半圆球的相贯线，如图所示。分析:圆柱与圆球的轴线垂直相交，由于圆柱轴线垂直于侧投影面，因此，相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。而V面与H面投影均无积聚性，所以不能用积聚性法求相贯线，可采用水平面P为辅助平面求出相贯线的正面投影和水平投影。作图：求特殊位置点。求出最高点和最低点的正面投影l、2可直接求出，水平投影1、（2）在中心线上，可根据正面投影求出。最前点和最后点的投影，

19、可做辅助平面Q，辅助平面Q与圆球的截交线为圆，与圆柱的截交线为素线，5、6即为Q与圆球和圆柱的截交线在水平投影上的交点。由5、6和5、6可求得正面投影5、(6)。求一般位置点。 作辅助水平面P求出、点的水平投影3、4和正面投影3、(4)。判断可见性。相贯体前后对称，所以相贯线正面投影的前半部分和后半部分重合, 将各点的同面投影依次光滑连接成曲线。水平投影5、6为可见和不可见的分界点，把5、3、l、4、6连成实线，把6、(2)、5连成虚线。即可得相贯线的投影。（四）相贯线的简化画法在两圆柱轴线垂直相交，直径不等的情况下，如对作图准确程度不作特殊要求时，为简化作图，可以用圆弧代替这段非圆曲线，便得到了相贯线近似的投影。其作图方法如图3.27所示，其要领可概括为“以大圆柱的半径为半径，在小圆柱的轴线上找圆心,在公共区域内画弧”。 a) b)图3.27 相贯线的近似画法和简化画法用辅助平面法求相贯线辅助平面法：根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯