空间曲线方程不同形式间的转化技巧

1、空间曲线方程不同形式间的转化技巧李晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve EquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematic

2、s ,School of Mathematics & Statistics)Abstract: Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve They represent the same curve, so they can be transformed into each other There are many methods for the conversion between these two kin

3、ds of forms This paper mainly introduces several methods commonly used During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solutionKey words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution1 引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解空间曲线方程主要包含两种形式，即

4、一般方程（普通方程）与参数方程空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.1空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程 平面曲

5、线一般方程的定义2 当平面上取定了坐标系之后，如果方程或与一条曲线有着下列关系：满足方程的必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标满足这个方程，那么这个方程就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义2 若取的一切可能取的值，满足：由表示的向径的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由的某一值通过完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中为参数参数方程为.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般

6、方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法首先是代入消元法例1.1 化物体的运动方程 （）为一般方程解 由方程组的第一个式子得,代入方程组第二式子得即这是抛物线方程下面介绍应用三角公式消元法例1.2 化下列参数方程为一般方程:（）（为常数）（） （）解（1）原方程即 ，得 这是双曲线的标准方程当，（是整数）时，,参数方程表示双曲线的右面一支；当 时，表示双曲线的左面一支 （2）原方程即 ，得由此，代入得，得，即， 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程改写为参数方程一般地，根据实际情况选取参数，找出与参

7、数的关系式，然后代入原方程求出，那么，就是曲线的参数方程也可以先求出，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.4例1.3 化普通方程为参数方程，其条件是解 把条件代入原方程，得解得或，所以曲线的参数方程为（其中为参数）或 (其中为参数)第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系例1.4 化平面曲线的普通方程为参数方程解 由原方程可得，即，根据三角公式，我们可设，所以参数方程为（为参数）.2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义3 空间曲线可以看做是两个曲面的交线 设两个曲面的方程分别为和，它们的交线为因为曲线上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，

8、所以应满足方程组 （2.1）反过来，如果点不在曲线上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）因此，曲线可以用方程组来表示，方程组叫做空间曲线的一般方程. 例2.1 方程组表示什么曲线？ 解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个被平面所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆也可以理解为中心轴是轴的圆柱面被平面所截后得到的截口曲线2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义3 空间曲线的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将上动点的坐标表示为参数的函数 （2.2）当时，就得到上的一个点；随着的变动便可得曲线上的全部点方程组（2.2）叫做空间曲线的参数

9、方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程解 设动点在半径为的圆柱面上以角速度做圆周运动同时又以线速度沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点的运动轨迹就是圆柱螺旋线 先建立空间直角坐标系设动点由出发经时间运动到点记在面上的投影为，它的坐标为，由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，所以经过了时间后，从而， 又由于动点同时沿平行与轴的正方向匀速上升，线速度为，所以因此，圆柱螺旋线的参数方程为 令，而，则圆柱螺旋线可用作参数方程表示，即 这里 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平

10、面曲线方程的基础之上的因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法 例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程解 由例22可知动点轨迹的参数方程为接下来，我们将此参数方程转化为一般方程我们运用代入消元

11、法消去参数，由得出，然后代入或，可得或又由和得到因此，动点运动轨迹的一般方程为或 例3.2 化空间曲线的参数方程 为一般方程解 由可知，将代入和得空间曲线的一般方程为由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便3.1.2 三角公式消元法 三角公式消元法的运用也非常广泛例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） （2） 为一般方程解由可知：，又因为,因此曲线的一般方程为 （2）由得：，因为，所以曲线的一般方程为综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般

12、式方程化为参数方程是一个难点将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.53.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现，则可用三角公式法例3.4已知半径为的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆

13、柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式 解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为轴，通过球心的圆柱面的一条母线为轴，建立直角坐标系得到的球面的方程为，圆柱面的方程为因此，维维安尼曲线的一般方程为我们再将上述方程转化为参数方程首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程的参数方程为我们再将其代入球面方程得到 因此，我们得出曲线的参数方程为 与 如果我们令，即，代入公式后，上式就变成了因此，维维安尼曲线的参数方程为 例3.5 把 化为参数方程解 由得令可得，设

14、，则，代入得所以，曲线的参数方程为3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如, (为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程 例3.6 化下列一般方程为参数方程 （1） （2） 解（1）将代入，得，令，则，因此，所求的参数方程为 （2）将代入，得，令，则，则所求的参数方程为3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的 例3.7 将曲线的一般式方程 化为参数方程.6 解 在方程中消去，得到曲线在平面上的投影曲线为配方后，得在xoy平面上作坐标变换 得到的

15、标准方程 此为椭圆方程，其参数方程为 ， 代回原变量，得 将代入的方程，得从而得的参数方程3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了 例3.8 求直线的参数方程 解 令，则，得从而得直线上的一点我们取直线的方向向量为，于是对称式方程为，令，则参数方程为综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，

16、应用三角公式消元法等方法对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值范围在互化前后要保持一致将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程消去参数得到并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值范围把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏有时参数方程中的参数取值有范围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.1总之，在空间曲线的