第一二章概率论及答案

1、一、习题详解1.1 写出下列随机试验的样本空间，并表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有一件是不合格，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，（i）得白球；（ii)得红球。分析：该题考查了样本空间和样本点的基本定义.详解：（1）依题意可知，记9个合格品分别为：记“不合格”为,则共有个样本点，其中任取两件得一不合格品的样本点集为：(2) 记2个白球分别为：，3个黑球分别为：，4个红球分别为：，则，所以（i)=,(ii)=.1.2 设A,B,C为三件事，用A,B,C及其运算关系表示下列事件：（1）A发生而B与C不发生；（2）A,B,C中恰

2、好发生一个；（3）A,B,C中至少有一个发生；（4）A,B,C中至少有两个发生；（5）A,B,C中至少有两个发生；（6）A,B,C中有不多于一个事件发生。分析：本题考查了事件间的关系与运算，可以利用韦恩图进行辅助做出相关的运算。详解：（1）“与不发生”意味着均发生，即有：；(2) “中恰好发生一个”，但未指定哪个发生，于是可以是恰好发生或恰好发生或恰好发生，即：；(3)由和事件的含义知，事件即表示“中至少有一个发生”，即；(4)“恰好有两个发生”，但未指定哪两个发生，于是可以是恰好有或或,即；(5)“中至少有两个发生”，即： 或；(6)“中有不多于一个事件发生”表示都不发生或恰有一个发生，即：

3、 或 ；1.9在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中人去两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。分析：利用罗列法，将问题要求的事件罗列出来，再结合样本空间的实验的次数可求。详解1：只能与 构成既约分数只能与构成既约分数只能与 构成既约分数只能与 构成既约分数只能与构成既约分数只能与 构成既约分数只能与构成既约分数以上总共有种可能构成既约分数（因为分子和分母对调依然是既约分数），而总的基本事件却有种，因此，所得的分数为既约分数的概率为。小小说：对于较少的基本事件或样本点和实在想不出其他有效简便的办法，可用罗列法。详解2：因为由两个偶数所组成的分数不是

4、既约分数即最简分数，故既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，则事件“所得分数为既约分数”包含个样本点，又样本空间样本点总数为,故 小小说：由于任意两个数a,b所组成的分数有两种，即或，因此事件的样本点个数不应为.1.11一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。分析：该题考查了古典概型的应用，该题其实与课本的10页的例5中的球投盒子问题的本质上是一样，人都是等可能的从每个楼层口离开和球等可能

5、的投入盒子。因此，可以利用球投盒子的基本思想求解。详解：由于每个人都等可能的从任意一个电梯口离开（9个），所以总共有种基本事件。而没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开，即为每个楼层至多只有一位乘客离开，因此有种可能的基本事件（其表示为在9个楼梯口中有7个楼梯口是有乘客离开，因此是，而每个人在每个楼层离开都是等可能的，因此是个全排列问题，即）由上，易知没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开的概率为小小说：这道题其实是与例题中的球投盒子问题一样，所以做概率的题亦可类比自己所做过的题，譬如球投盒子问题亦可类比计算人生日的概率等问题，有待读者自行思考！详解2：每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电

6、梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是.小小说：其实我们计算生日概率问题也是用到球投盒子问题模型哦！1.13一个人把6根草握在手中，仅露出它们的头和尾，然后请一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。分析：该题考查了古典概型的用法.详解：6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用A表示“

7、6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以A包含的样本点数为，于是小小说：说实在，这道题也是一种模型，用该模型来解决生活中的连环问题等很有帮助，所以，大家就稍注意这种类型的模型的应用吧！1.14某公交汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。分析：该题考查了几何概型的应用，利用5分钟的时间转为线段的长度来计算。详解：首先将两车间距的五分钟的时间视为轴上的点到

8、点之间，如图1。其中表示为刚离开的车，表示为快要来的车，若人来到3分钟的区间内即等车不超过3分钟，因此不超过3分钟的概率为。小小说：学会将问题转化为别的形式进行求解，其中，几何概型一维空间有线段，二维空间有平面，三维空间有立体，一般是这三种。1.15两艘轮船都要停靠同一泊位，他们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。分析: 甲、乙到达泊位的时间是任意的，等可能性的，是典型的几何概型.详解:只有当甲船比乙船早到1小时内,或乙船比甲船早到2小时内时,有一艘船停靠泊位时必须等等一段时间.以0点为计算时刻的0时, 分别表示甲,

9、乙到达泊位的时间,单位为小时,若以表示平面上的点的坐标,则样本空间为.设事件,则.如图1.9中阴影部分所示,所求概率为小小说：该题将生活中的实际问题巧妙的转化为数学模型解决！还有，在应用几何概型中，一般可以将问题转为线段、平面和立体等.1.16在线段上任取三点，求：(1) 位于 与 之间的概率。(2) 能构成一个三角形的概率。分析：该题考查了几何概型的立体模型的应用！详解:(1)由题意可知, 三点的位置是在线段内任意的,故共有种排列方式, 位于与之间,则可在左边或右边两个位置其中一个, 两点位置确定, 位置也就唯一确定,故共有种情况,记,则.(2)设线段为1个单位长度, 分别为线段的长度, 若

10、以表示正方体上的点的坐标,则样本空间为.设事件,则若最长, 如图1.10中阴影部分(三角锥体)所示,所求概率为同理,当分别最长时,有故图1.10小小说：自己都觉得繁琐的说，注意转换为什么样的模式解决问题才更加方面.1.4设且当相互独立时，求.分析：详解1：所以又因为详解2：因此，,又，故由,得 故得.小小说：此题亦可删减掉独立条件，也就是详解1中的解法。1.5设事件及的概率分别为，求，分析：本题考查概率的运算性质。详解：依题意可得，小小说：要掌握基本的定义和公式，请查看我们的教科书和本书的知识点归纳.1.6设三个事件且,求分析：该题考查了基本定义。详解：由题，空集，因此， 1.21 12个乒乓

11、球中9个新、3个旧，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球中有2个新球的概率。分析：该题是一个条件概型，用分类思想较清晰的将解答出.详解1：该题可分为4种情况考虑： 若第一次取出3个新球，发生的概率为,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为 若第一次取出2个新球1个旧球，发生的概率为,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为 若第一次取出1个新球2个旧球，发生的概率为,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,

12、第二次取出2个新球1个旧球的概率为 若第一次取出3个旧球，发生的概率为,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为因此，其发生的总概率为详解2：解：分析在“第一次取出的3个球中有个球是新的”背景下划分，设事件A表示“第二次比赛时取出的3个球中有2个新球”，事件表示“第一次比赛时用了k个新球，所以。由古典概型和排列组合知：如果第一次比赛时用了k个新球，则盒子中还有个新球，有于是按全概率公式得，所求概率小小说：其实这两种解法的思想是一样的，不过还是建议大家用第二种解法答题，较为专业，同时也较为简便。2.23 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每

13、一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。分析：该考查了重伯努利试验，直接其盖面解答.详解：令“母鸡生个蛋”，“母鸡恰有个下一代”，则在发生的条件下，这个蛋能否孵化成小鸡相当于做了一个重伯努利试验：，显然构成一个完备事件，所以由全概率公式可得：小小说：大家注意，其中是利用到泰勒公式来化简的，即为，希望大家有空查阅一下下泰勒展式的几个经典例子.1.23 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少

14、？分析：该题考查了全概型和贝叶斯概型的定义.详解：设表示“次品”，,分别表示“该次品由甲、乙、丙间生产”，那么依题意可知：由全概率公式可得： = =由贝叶斯公式知该产品由甲车间生产的概率为：=同理：由乙车间生产的概率：=由丙车间生产的概率：1.20 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？详解：设表示“迟到”，分别表示“乘火车、船、汽车、飞机”，则由题意知由全概率公式得：由贝叶斯公式知：他迟到的情况下，乘火车的概率为：小小说：大家当心了

15、，如果我们在开会等候某人时，很无聊很不耐烦，就握起笔根据其平常的习惯计算其迟到的概率，消除自己的不爽.1.24 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为.飞机被一人击中而击落的概率为，被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。分析：该题考查了独立事件的应用.详解：设第i人击中，分别表示有一人，二人，三人击中，表示“飞机被击落”。由于事件可伴随三种情况发生，且互不相容。则属于全概率问题。利用事件的独立性及一些事件的不容性可得：又因为所以1.20 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。分析：该题考查伯

16、努利试验的理解与应用.详解：用表示“在成功次之前已经失败了次”，表示“在前次试验中失败了次”，因为每一次试验只有“成功”和“失败”两个结果发生，故在前试验是重伯努利试验，因此有：用表示“第次试验成功”则：小小说：伯努利试验室一种非常重要的概率模型，它表示“在同一条件下进行重复独立试验或观察”的一种数学模型，注意它的应用！第二章2.1 解：根据概率的性质，可知：满足条件的为随机变量的分布律.(1) ，是随机变量的分布律.(2) , 不是随机变量的分布律.(3)，不是随机变量的分布律.(4) 是随机变量的分布律.2.2 解：的可能取值为3,4,5,且有则随机变量的分布律见表2.2.表2.23450

17、.10.30.62.3分析：利用概率的性质可求解得。 解：由题意得：服从几何分布，则有即得，.2.4 解：的可能取13,4,5, 依题意，表示第次首次测到合格品，也就是前次都测到不合格品，故有的分布律为：2.5 解:设代表所抽取的次数,.讨论以下两种情况. (1)放回情况.的可能取值为.设事件,则有.依题意，表示第次首次抽取到合格品，也就是前次都抽取到不合格品，所以,所抽取的次数的分布律为:(2)不放回情况.的可能取值为1,2,3,4. 且有,则抽取的次数的分布律见表2.5.表2.512342.8 解：分别记这两名篮球队员，分别代表队员A、B投篮次数，则可能的取值为. 表示队员投篮次数为，也就是前轮回中队员每人各投次，在第轮回首先投中，或者投不中而投中，所以的分布律为:同理，投中所以的分布律为:2.10设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，由，则有由题意得：，查泊松分布的数值表，得.2.8 解：由，有则，又由，可得：.所以，故2.12 解：的可能取值为，的可能取值为1,0,-1且有同理：则与的分布律见表2.9.1与表2.9.2.2102.14 解：的可能取值为，依题意，有：故的联合分布律见表2.10.表2.101