空间解析几何

1、1.1 空间解析几何1) 理解向量的概念及其表示，掌握向量的线性运算、数量积、向量积及混合积，了解两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。2) 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互之间的位置关系解决有关问题3) 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程以及空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.1.1 向量代数向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量。向量的大小称为向量的模，记作。向量的加减法、向量

2、与数的乘法统称为向量的线性运算。向量与向量的和是一个向量，利用平行四边形法则或三角形法则则可得向量，如图1.1-1、图1.1-2所示。向量的加法符合下列运算规律：1) 交换律：2) 结合律：向量与向量的差定义为向量与的负向量的和，即由向量加法的三角形法则可知：；向量与实数的积记作，它是一个向量，它的模它的方向当时，与向量相同；当时，与向量相反。向量与数的乘积符合下列运算规律：1) 结合律2) 分配律；由向量与数的乘积的定义，可得以下定理。定理：设向量，那么，向量与向量平行的充分必要条件是：存在唯一的实数，使。向量的坐标设有空间直角坐标系，分别表示沿着轴正向的单位向量，是以为起点，为终点的向量，

3、则向量可表示为：或其中、称为向量的坐标。利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：设：则非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间有如下关系：、其中，、称为向量的方向余弦。利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：，由上式可得：以向量的方向余弦为坐标的向量（、）是与向量同方向的单位向量。3数量积向量积混合积设向量和向量的夹角为，向量和向量的数量积为一个数量，记作，其大小为，即向量在轴上的投影（记作）等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦，即：由数量积的定义可知，向量与向量垂直的充分必要条件是。向量的数量积符合下列运算规律：1. 交换律2. 分配

4、律3. 结合律,为实数注：数量积不满足结合率：，该式本身就不成立，本身就是一个数量，并非向量，无法与c进行数量乘。数量积的分配率证明如下：对于平面向量：因为因此：对于空间向量因为因此：向量和向量的向量积为一个向量，记作，即，的模的方向垂直于与所决定的平面，的指向按右手法则确定。设向量、，则：或：注：上述两式证明如下：设则：由于之间两两垂直，因此相互之间的点乘为，自身的点乘为，故上式即可简化为：向量积的证明方法同上由向量的的定义可知，向量和向量平行的充分必要条件是。向量的向量积符合下列运算规律：1. ，这表明交换律对向量积不成立2. 分配律：3. 结合律：，为实数三个向量、和的混合积是一个数量，

5、这个数量通过先作向量积，再做数量积得到，混合积记作，即：设，则向量的混合积有下述几何意义：是这样一个数，它的绝对值表示以向量、的棱的平行六面体的体积，它的符号由向量、组成的右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。注例1.1-6 已知不在一平面上的四点：、，求四面体ABCD的体积。解：四面体ABCD的体积V等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一，由混合积的几何意义可知，六面体的体积等于的绝对值，故：上式中符号的选择与行列式的值的符号一致。关于“四面体ABCD的体积V等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一”以正方体为例，对此处的六分之一进行理解：其中，即是向量、和为棱的平行六面

6、体的体积。由此，四面体的体积是平行六面体体积的六分之一。.1.2 平面1 平面的方程设平面经过点，它的一个法向量，则平面的方程为。此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为：其中为该平面的法向量。设一平面与轴分别交于、和三点（其中，），则该平面的方程为：此方程称为平面的截距式方程，、依次称为平面在、轴上的截距。（注：当时，依次考虑三种情况，可理解截距式方程）对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点：如，在方程：中，当时，方程表示一个通过原点的平面；当时，方程表示一个平行于轴的平面，当时，方程表示一个平行于面的平面。类似地，可得其他情形的结论。2 两平面的夹角两平面的法向量的夹角称

7、为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面和平面，则和的夹角由下式确定：由此可得：和互相垂直相当于：（注：可用数量积证明之）和互相平行相当于：（注：可用向量积证明之）3 点到平面的距离空间一点到平面的距离，由以下公式计算：证明：设、的坐标分别是、。则向量。到平面的距离，即向量在法向量上的投影，用数量积的方法证明之：.1.3直线1 空间直线的方程设空间直线L是平面：和平面：的交线，则的方程为：此方程称为空间直线的一般方程。设直线过点，它的一个方向向量为，则直线的方程为：此方程称为直线的对称式方程。如设参数如下：则：，此方程组称为直线的参数式方程2 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（

8、通常指锐角），设直线：和直线：则和的夹角可由下式确定：由此可得：和互相垂直相当于：和互相平行相当于：（用向量积证明）3 直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定，设直线的方程：平面的方程是：则直线与平面的夹角由下式确定：由此可得：直线与平面垂直相当于（即与法向量平行）直线与平面平行或直线在平面上相当于（即与法向量垂直）4 点到直线的距离设是直线外的一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，则由向量积的几何意义知表示以、为棱的平行四边形的面积，而表示以为边长的该平行四边形的高，即为点到直线的距离，即：注：已知直线的一般式方程，求解对称式方程由直线的一般式方程，

9、可知两相交平面的法向量，两法向量的向量积即是直线的方向向量。在求解直线的一般式方程，可得出直线上的任何一点。由方向向量以及直线上的一个点，可列出直线的对称式方程。.1.4 柱面旋转曲面二次曲面1 柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面，定曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。例如，以平面上的圆为准线，平行于轴的直线为母线的圆柱面。以平面上的抛物线为准线，平行于轴的直线为母线的抛物柱面。在空间直角坐标系中，如果曲面方程中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。例如一般表示一个母线平行于轴的柱面，方程，依次表示一个母线平行于轴、轴的柱面。以下三个方程：依次表示母线平行于轴的

10、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。注：椭圆的概念：平面内与两个定点、的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点、叫做椭圆的焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。（定长大于两定点间的距离）。椭圆的标准方程为：双曲线的概念：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（定长小于两定点间的距离）的点的轨迹叫做双曲线。双曲线的标准方程为：，其中（为两定点之间的距离）抛物线的概念：平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。抛物线的标准方程，其中，p为焦点到准线的距离。2 旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做

11、旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，定点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面。已知旋转曲面的母线的方程为：旋转轴为轴，只要将母线的方程中的换成，便得曲面绕轴旋转所成的旋转曲面的方程，即：同理，若曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为：3二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面，例如：球面：圆锥面：椭圆锥面：，椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应知道它们的变形。椭圆锥面在平面上的截痕为椭圆在平面或上的截痕为过原点的直线椭球面椭球面与三个坐标面的交线分别为：均为椭圆单叶双曲面平面上的截痕为椭圆时，截痕为双曲线时，截痕为双曲线双叶双曲面平面（）上的截痕为椭圆平面上的截痕为双曲线平面上的截痕为双曲线将单叶双曲面与双叶双曲面的方程右侧的换为，得到椭圆锥面的方程椭圆抛物面平面上的截痕为椭圆平面上的截痕为抛物线平面上的截痕为抛物线双曲抛物面平面上的截痕双曲线平面上的截痕为抛物线平面上的截痕为抛物线.1.5 空间曲线1 空间曲线的方程空间曲线可以看做是两个曲面的交线，若空间曲线是曲面：和的交线，则的方程可用下述方程组来表示：此方程组称为空间曲线的一般方程。若将空间曲线上动点的坐标、表示为参数