第二届珥中杯数学竞赛九年级试题及答案

1、第二届“珥中杯”数学竞赛（2011年12月19日 下午2：304：30）九年级试题 全部答案及过程均写在答卷纸（相应位置）上 满分150分第1题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的）1、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）（A） (B) (C) (D)2、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ） （A）15 (B)18 (C)21 (D)243.已知函数，点P(x，y)在该函数的图象上. 那么，点P(x，y)应在直角坐标平面的

2、 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 ( ) A m + n = 10 B m + n = 5 C m = n = 10 D m = 2，n = 3第6题5某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于（ ）A 9人 B

3、 10人 C 11人 D 12人6如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EFAE，交BC于点F，则1与2的大小关系为（ ） A 12 B 12 C 1=2 D 无法确定7如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白第7题ABCDA1B1C1D1两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1A1D1，白甲壳虫爬行的路线是ABBB1，并且都遵循如下规则：所爬行的第条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） A 0 B 1 C D 8.在平面

4、直角坐标系中有两点A(2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则满足条件的点C有 ( )A 1个 B 2个 C 4个 D 6个二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）OP第10题9当整数m 时，代数式的值是整数10如图，O的半径是4，且OP6，在以P为圆心且与O相交的圆中，其半径为整数的圆的个数是 .0135791113S1S2S3S4第11题11如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 12.将n个边长都为lcm的正方形按如图2所示的方法摆放，点A1，A2，An分别为正方形

5、的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 .第12题13设有四个数，其中每三个数的和分别为24，36，28，32则这四个数的平均数为 14、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y = x2 + mx + n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 第15题第16题15.在平行四边形的边AB和AD上分别取点E和F，使，连结EF交对角线AC于G，则的值是 16如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD = 14m，塔影长DE = 36m，小明和小华的身高都是1

6、.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB = m三、解答题(共5题，共70分)17.（本题14分）某校决定购买一些跳绳和排球。需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费 用不低干2200元，但不高于2500元 （1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案?每种方案中跳绳和排球数量各为多少？ （2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少?最少费用是多少元? （3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用

7、（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？ 18. （本题14分）已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求ABC的面积19.（本题12分）（1）如图1，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F试证明：MNEF （2）若（1）中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图2所示，请判断 MN与EF是否平行xOyNM图 1EFxNxOyDM图 2N 20（本题14分）如图，已知：

8、中，将一块三角尺的直角顶点与斜边的中点重合，当三角尺绕着点旋转时，两直角边始终保持分别与边，交于两点（不与重合）（1）求证：；（2）求四边形的面积；（3）若只将原题目中的“”改为“”其它都不变，请你探究：和还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出的值21.（本题16分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动. P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位.以PQ为一边向上作正方形PRLQ.设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ

9、与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）.（1）用含t的代数式表示点P的坐标.（2）分别求当t=1,t=5时，线段PQ的长.（3）求S与t之间的函数关系式.（4）连接AC. 当正方形PRLQ与ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围.第二届“珥中杯”数学竞赛九年级答案及评分标准一、选择题1.C；2.C；3. B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D二、填空题9.0或1；10.7；11.76 ； 12. ；1310； 14 15 16.20三、解答题17. （本题14分）解：（1）根据题意得：解得：x为正整数x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68也必

10、需是整数可取20，21，22有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个：方案二：跳绳63根，排球21个：方案三：跳绳66根，排球22个：（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：60×20+20×50=2200（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y， 解得：y为正整数满足的最大正整数为3多买的跳绳为：（根）答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球。18（本题14分）解：（1）由B（0，4）得，c=4 G与x轴的交点A（，0），由条件，得，所以=，即A（，0）所以解得所求二次函数的解析式为ABDCOxy（2）设图

11、象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），所以，即平移后所得一次函数的解析式为y=令=，解得，将它们分别代入y=，得，所以图象L与G的另一个交点为C（，9）如图，过C作CDx轴于D，则SABC=S梯形BCDO-SACD -SABO=15xOyNM图 2EF19、（本题12分）（1）证明：连结MF，NE 设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2） 点M，N在反比例函数（k0）的图象上， ， MEy轴，NFx轴， OEy1，OFx2 xOyDNM图 3EF SEFM， SEFN SEFM SEFN MNEF （2）MNEF （若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分）20. （本题14分）（1）证明：在中，是的中点，且，而，（2），四边形的面积为1（3）不相等如图所示，过点作于，于，是的中点， ，故，21. （本题16分）解:(1)MP=t,OM=4,OP=t+4, P(t+4,0)(0<t8)(2)当t=1时,PQ=2