第三章中值定理与导数的应用自测题A

1、1设则在内 。A至少有三个根B至少有一个根C仅有两个根D至少有两个根2若在上连续, 在内可导,且, 则必有。ABC D3下列求极限题目中，不能使用洛必达法则的是。A B C D4设是曲线的拐点,则在该点处。AB必有切线C D可能没有切线5设一阶可导, 且, 则。A一定是的极大值 B一定是的极小值C一定不是的极值 D不一定是的极值6设为偶函数且二阶可导,若, 则。A一定是的极大值B一定的极小值C一定不是的极值D不一定是的极值7下列各式中, 当时成立的是。A B C D8曲线。A没有拐点 B有一个拐点 C有两个拐点 D有三个拐点1函数的单调增区间是_.2函数的垂直渐进线的方程是_.3,是在内单调增

2、加的条件。4设，则=_.5设某种商品的需求函数为，其中表示需求量，表示产品单价，当=_时，该商品可以获得最大收益，此时的需求的价格弹性。6设，则，。7若，在内，则在内0，0 8.设产量为时的收益为，成本为，利润为。已知都是二阶可导的函数，若为最大利润，则0.（是、否、不一定）小于零。1. 计算2. 计算3. 计算4. 计算1B 2C 3D 4D 5C 6A7C 8C123无关 456 ，-1 6 1 ， 7 8. ，不一定解：，故极限不存在。2解：本题是型极限，直接用洛必达法则求不出该极限，注意到，则，由于。故原式=。3解：。4.解：。5.已知在点的邻域内有定义，且有，其中为正常数，讨论在点处

3、是否有极值。解：由，根据极限与无穷小的关系定理有其中，于是可知当在点的充分小邻域内时，与同符号，因此（1）当在点的充分小邻域内时，若为偶数，则与同符号，当时，可知为的极小值；当时，可知为的极大值；（2）当在点的充分小邻域内时，若为奇数，则在点的两侧异号，即不恒正(或恒负)，可知不是极值。6. 设在内一阶可导，且在点二阶可导，求极限。解：由于在内一阶可导，由洛必达法则可得，这时不符合洛必达法则的条件，因此不能用洛必达法则求它的极限，但，因此7. 已知是曲线的拐点，且曲线在点处取得极值，求。解：由题设有，又。所以有，解得。8设函数具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又 ，求并讨论的连续性。解：，这

4、时连续所以又 9求函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线，并画出草图。解:1)定义域为，且是非奇非偶函数无对称性，2）由于时，。故曲线过原点，又是函数的间断点。3），令得驻点.,令得列表如下13+0+0+0+0无定义由表看出拐点是，极小值是4）渐近线 是其铅直渐近线；，故是其斜渐近线；无水平渐近线。5）作图略。四.1. 证明不等式，其中。证明：令，显然它在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在使即。而 故所以：。2. 设，且，为实常数，试证：。证明：，故显然，在或上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有，在0与之间，因此即：当时，由于在0与之间，故当时，从而可得：。自测题B一 选择题：1

5、设在区间上连续，在区间内可导，且，则在内至少存在一点c，有。A B C D2对函数，柯西公式不成立的区间是，其中。A B C D3设，则。A B C D4函数，若，则。A是函数的极大值 B是函数的极小值C不是函数的极小值 D不能判定是否是函数的极值5条件是的图形在点处是拐点的条件。A必要 B充分 C充分必要 D无关6若点是曲线的拐点，则。A BC D以上都不对7若函数在区间内可导，和是区间内任意两点，则至少存在一点，使。ABCD8在区间内，曲线是。A下降且向上凸 B下降且向下凸C上升且向上凸 D上升且向下凸1曲线的渐近线是。2设时，与是同阶无穷小，则。3曲线的拐点个数是。4函数在区间上的最大值

6、是。5 设函数在内可导，且对任意的，当时则函数单调。6函数的凹区间是。7设函数在连续，在内可导，且，则。8.当时，是的5阶无穷小，则，。1A 2D 3B 4B5D 6C 7C 8C1233 245增加67C(C表示任意常数) 8.1求解：。2求解：原式。3求曲线的渐近线。解：（1），故为的水平渐近线；，故为的水平渐近线；（2）使没有意义的点是。，故为的垂直渐近线；，故为的垂直渐近线；，故不是的垂直渐近线。4已知在内可导，且，又设，求的值。解：由条件易知，另一方面，由拉格朗日中值定理得，其中。因此。比较等式两端得，故。5写出的麦克劳林公式，并求与。解：将公式中的用替换，得。根据泰勒公式系数的定义

7、，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为与。由此得及。6设函数在区间内有且仅有一个零点，求的取值范围。解：时，在区间内有且仅有一个零点；时，在区间内有唯一驻点且，因此是极小值，从而是最小值。由条件可知，当时，即时，在区间内有且仅有一个零点；时，在区间内严格单减，由于，因此在区间内有且仅有一个零点。综上所述，或时，在区间内有且仅有一个零点。7某工厂在一生产周期内生产某产品为a吨，分若干批生产，每批产品需投入固定支出2000元，每批产品生产时直接耗用费用（不包括固定支出）与产品数量的立方成正比，又知每批产品为20吨时，直接耗用费用为4000元，问每批生产多少吨时使总费用最省？解：吨。8已知函数，试

8、求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数的图形。解：（1）定义域为。（2），令得，且，（3）列表如下：2 0 无定义极小值3 （4）渐近线，因此是它的一条垂直渐近线，又由于，因此是它的一条斜渐近线。（5）作图略。四证明题：1当时，证明不等式.解：所证不等式等价于，作辅助函数，只要证明下面的不等式成立即可：，考虑在内的最小值问题：，令，得驻点。因为，所以为极小值。又因为，所以，也是在最小值。故当时，。即当时，.2设在上连续，在内可导，且，。证明在内至少存在一点，使。提示：对函数在应用拉格朗日中值定理。3设，求证。证明：设，且，由，得，由，可知当时单调增加，所以当时，即也即。自

9、测题 C1设函数在内可导，且对任意，当时，都有，则 （ ）A.对任意B. 对任意C.函数单调增加 D. 函数单调增加2. 设函数在内有界且可导，则 （ ）A.当时，必有B当存在时，必有C.当时，必有D当存在时，必有3设函数有二阶连续导数，且则 （ ）A.是的极大值B.是的极小值C.是曲线的拐点D.不是的极值，也不是曲线的拐点4.曲线的拐点个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.35.若函数在内且则在内有 （ ）A.， B.，C.， D.，6设下列命题正确的是 （ ）A.是的极大值,是的极小值B.是的极小值,是的极大值C.是的极大值,是的极大值D.是的极小值,是的极小值7设则 （ ）A. 是的

10、极值点，但不是曲线的拐点B.不是的极值点，但是曲线的拐点C.是的极值点，且是曲线的拐点D.不是的极值点，也不是曲线的拐点8设函数在内连续,其导函数的图象如图所示,则有 （ ）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C. 两个极小值点和两个极大值点D. 三个极小值点和一个极大值点 yA B O C x1.设函数由参数方程确定，则曲线的凸区间为。2.。3.。4.。5曲线的渐近线方程为。6函数在区间上的最大值是。7。 8已知是由方程所确定的隐函数，曲线有斜渐近线，则，。自测题C参考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C1. 2. 3. 4.5 616

11、72 81，三 计算题与证明题：1讨论曲线与的交点个数。解:设则有不难看出，是的驻点。当时，即单调减少；当时，即单调增加，故为函数的最小值。当即时，无实根，即两条曲线无交点。当即时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。当即时，由于；，故有两个实根，分别位于与即两条曲线有两个交点。2已知函数在连续，在内可导，且。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使得。证明：（1）令则在连续，且所以存在，使得即。（2）根据拉格朗日中值定理，存在使得从而。3设函数在区间上具有二阶导数，且证明存在和，使及。证明：不妨设即故由函数极限的局部保号性知，存在使由闭区间上连续函数的零点定理可得存在使得。再由及罗

12、尔定理，知存在和使，又在区间上对应用罗尔定理，知存在使。4.设且，证明。证明：因为连续且具有一阶导数，所以由知又令则由于所以。又由知单调增加，故是的极小值，且只有一个驻点，从而是的最小值。因此即。5试证：当时，。证明：令则，所以时，；当时，。于是，当时，即。6就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论。解：设，则在上连续。由解得在内的唯一驻点.由于当时,当时,所以在上单调减少,在上单调增加,因此是在内的唯一极小值点,极小值为，故最小值为.又因故在在内的取值范围为因此当即或时,原方程在内没有根;当时, ,原方程在内有唯一根;当时,原方程在和内各恰有一个根,即原方程在内恰有两个不同的根.7. 设函数在区间上连续,其导数在区间内存在且单调减少;试用拉格朗日中值定理证明不等式:,其中常数a,b