第三章 导数应用

1、第三章导数应用一、中值定理1、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（ D ）A B C D 1、方程至少有一个根的区间为（ B ）A B C D 2、设，则方程（ C ）A 在内没有实根 B 在内没有实根C 在内有两个不同实根 D 内有两个不同实根3、函数在上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，使得（ A ）A B C D 1、函数在满足罗尔定理的1、函数在上满足罗尔中值定理的2、在上满足拉格朗日中值定理的3、，则有 2 个实根在上，（ A ）A B C D 4、5、5、6、7、8、9、10、10、若函数在内满足关系且，则证明：即则将代入上式得二、单调性1、若在内，且在连续，则在上（ B ）A

2、 B C D 2、设函数，则下列结论不正确的是（ A ）A 内单调递增 B 内单调递减C 内单调递减 D 内单调递增1、若在内，则曲线在内单调递减，下凹2、函数的单调递减区间为：又因为函数的定义域为所以单调递减区间为3、证明：设令得驻点可知为极小值点，即三、凹向，拐点，极值1、若，则函数在点处（ C ）A 一定有最大值 B 一定有最小值 C 不一定有极值 D 一定没有极值2、设一阶可导，且，则（ D ）A 必是的极大值 B 必是的极小值C 可能是的极值 D 不是的极值3、若是的极值，则（ D ）A B 不存在 C D 或不存在4、设函数满足，则下列结论正确的是（ B ）A 是极大值点 B 是极

3、小值点 C 是稳定点 D 是拐点2、点是对应图形的拐点，则（ C ）A B C D 1、( )2、设，则在内，（ B ）A 单调增加，曲线为凹 B 单调减少，曲线为凹C 单调减少，曲线为凸 D 单调增加，曲线为凸3、若二阶可导，且，又当时，在内，曲线（ C ）A 单调递减，凸的 B 单调递减凹的 C 单调递增凸的 D 单调递增凸的2、函数在上极大值点（ D ）A B C D 2、函数有（ C ）A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值C 在处取得极大值，在处取极小值D 在处取得极小值，在处取极大值3、条件是在处有拐点的（ D ）A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 以上都不对4、

4、曲线有（ C ）个拐点。A 没有 B 一个 C 两个 D 三个2、若（为常数）在处取得极值，则3、若函数在区间上只有一个极值点，又，则在上的最小值是（ A ）A B C D 以上都不对4、曲线的拐点是（ A ）A B C D 5、函数的最小值点6、在上最大值为7、求函数的极值。解：令，且在不存在极大值极小值3、设点是曲线的拐点，求的值为拐点，得4、5、设某商品的需求量对单价的函数，其销售总额为，最大时，为（ C ）A B C D 5、求的极值令为极小值为极大值6、讨论函数的凹向区间，拐点。解：令上凹拐点下凹拐点上凹6、的凹向区间，拐点令下凹拐点上凹7、设曲线的拐点解：8、求函数的极值点和极值。

5、解：令的驻点以及导数不存在的点则得极小值：极大值：8、求的极值。解：令8、设曲线在处取得极值，且与曲线相切于点，试确定常数。解：为极值点，则即相切于点即切线斜率为即综上：四、应用题1、某公司生产件产品的费用时，则生产件产品的边际成本是：2、商品的需求函数，则的需求收入弹性为：3、设，当时，资本的边际生产率为（ B ）设生产个单位产品的总成本函数，则生产12个单位产品的边际成本是（ A ）A B C D 4、某剧场筹备音乐会，预计票价定为每人50元，听众将有300人，票价每降低1元听众将增加50人，把门票收入作为票价的函数，票价视为连续变量，试写出函数关系，并确定出使门票收入为最大的原则。5、已

6、知生产单位的某产品边际成本为，产量为一个单位时，成本为，该产品产量与价格的关系是，求利润最大时的产量及最大利润。解：得时，令，即得为最大产量，6、将以长为的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积和最小，问两段铁丝的长，宽各是多少？解：设围成正方形一段为，另外一段为设整理得令，所以在处取得最小值，且最小值为：7、某工厂生产某种商品，其固定成本为元，一年最多生产产品个，已知每生产一个产品，成本增加元，其总收益与生产产品数量的关系是，（），问：一年生产产品为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？解：令，且则生产产品个获利最大，最大利润为。8、某产品计划一个生产周期

7、内的总产量为吨，分若干批生产，设每批产品需要投入固定费用元，每批生产的变动费用与产品数量的立方成正比，且系数为，问每批生产多少吨时才能是总费用最省。解：设每批生产吨，总费用为元，则每批所需要的费用为，分批生产总费用为令则每批生产吨时才能使总费用最省。9、从直径为的圆形树干中切出横切面为矩形的梁，此矩形的底为，高为，若梁的强度为，问梁的横断面的尺寸如何，其强度最大，并求出最大强度。解：令因此，当是，强度最大，其最大强度为：10、设某产品每次售件时，每件单价为元，若每次多售出件，则没见相应地降价元，又设生产每种产品的固定成本为元，可变成本为每件元，试求：1）价格函数；2）成本函数；边际成本函数；3）收入函数，边际收入函数；4）利润函数和当产量为多少时，利润最大及最大利润。解：设销售量为件，则价格函数为成本函数：边际成本：收入函数：边际收入：利润函数：令，得唯一极值点则当产量为件时，利润最大，最大利润为元。11、已知某商品的需求量为（件），其中为价格（万元/件）。求使收入最大的销售量和相应的最大收入。解：则收入函数令，则为极大值点。且最大收入为12、设某种商品的销售量与价格的函数关系是，成本与产量的函数关系是。1）求利润与销售量的函数关系；2）求使利润最大的销售量及最大利润