等比数列的性质

1、 教学内容【知识结构】1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 成等比数列=q（,q02° 隐含：任一项“0”是数列成等比数列的必要非充分条件3° q= 1时，an为常数2.等比数列的通项公式1: 3.等比数列的通项公式2: 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=&#

2、177;（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列a,G,b成等比数列G=ab（a·b0） 6等比数列的性质：若m+n=p+k，则 在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？ 由定义得： ，则7 等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, 是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列;当q<0时, 是摆动数列;【热身练习】 求下列各等比数列的通项公式： 1.=-2, =-8 2.=5

3、, 且2=-3 3.=5, 且 解：1. 2. 3.以上各式相乘得：【例题精讲】例1 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.例2 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证： 也成等比数列证明：由题设：b2=ac 得： 也成等比数列例3 (1) 已知是等比数列，且, 求 (2) ac,三数a, 1, c成等差数列，成等比数列，求解：(1) 是等比数列， 2()25, 又>0, 5; (2) a, 1, c成等差数列, ac2, 又a

4、, 1, c成等比数列, a c1, 有ac1或ac1, 当ac1时, 由ac2得a1, c1,与ac矛盾， ac1, .例4 已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）（常数）该数列成等比数列 （2），即： （3）， 且，（第项）例5 设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为证一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，成等比数列 设公比为，则，代入 ，即，即证二： ，且 非零，例6设为数列的前项和，其中是常数 （1） 求及； （2）若对于任意的，成等比数列，求的值解（1）当，（） 经验

5、，（）式成立， （2）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 例7在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）；解：在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应地等比数列bn中，则可得

6、：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）。【备选例题】例8如图31，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（nN*），证明an是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn1（n2），于是a1=r12=，故an成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。例9已知数列和满足：a1=,an+1=其中为实数，n为正整数.（）对任意实

7、数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.解：（）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列. ()解：因为又,所以当18， (N+),此时不是等比数列：当18时，,由上可知，(N+).故当-18时，数列是以（18）为首项，为公比的等比数列.点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例10等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比

8、为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得所以【巩固练习】1.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则= .2.等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 1或- .3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= -3 ,ac= 9 .4.在等比数列an中，已知a1a3a11=8，则a2a8= 4 .5.若数列an的前n项和Sn=3n-a，数列an为等比数列，则实数a的值是 1 .6.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，的值为 .7.等比数列an前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 T17 .8.在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ C ）.(A) (B) (C) (D)C.提示：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。9.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ D ）A4 B